Modele de Wess Zumino Witten Novikov graphes d'invariants modulaires issus de WZWN avec un groupe non simplement

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Niveau: Supérieur, Master
Modele de Wess-Zumino-Witten-Novikov, graphes d'invariants modulaires issus de WZWN avec un groupe non simplement connexe Chetrite Raphael Rapport de stage de Maıtrise 11 aout 2005 Table des matieres I Introduction 3 II Modele de WZW sans bord 4 1 Particule sur un groupe 4 2 Modele de WZW 5 III Modele de WZW a bord 8 3 Espace de Hilbert pour G simplement connexe 8 4 Definition et description de W ? 1 ?0,?(k) = Hom FR g (V?1 , V?0 ? V?) 9 4.1 Definition de A? 1 ?0,? = Homg(V?1 , V?0 ? V?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 Description de A? 1 ?0,? par Gawedzki [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2.1 Injectivite de i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2.2 Image de Homg(V?1 , V?0 ? V?) par i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.3 Definition de W ? 1 ?0,?(k) .

  • espaces de multiplicite apparaissant dans l'expression de l'espace de hilbert de la theorie

  • modele wzw

  • expression de l'espace de hilbert de la theorie

  • champ

  • invariance conforme

  • rajout de conditions aux limites


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Publié le 01 août 2005
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Mod`eledeWess-Zumino-Witten-Novikov,graphesdinvariants modulaires issus de WZWN avec un groupe non simplement connexe Chetrite Raphael RapportdestagedeMaıˆtrise 11 a ˆt 2005 ou
Tabledesmatie`res
I Introduction
IIMode`ledeWZWsansbord 1 Particule sur un groupe 2Mod`eledeWZW
3
4 4 5
IIIMod`eledeWZWa`bord8 3 Espace de Hilbert pour G simplement connexe 8 4D´enitionetdescriptiondeWλλ01(k) =H omRgF(Vλ1, Vλ0Vλ)9 4.1De´nitiondeAλλ01=H omg(Vλ1, Vλ0Vλ . . . . . . . . . . . . . . . . . .) . 9 4.2 Description deAλλ10par Gawedzki [1] . . . .  . 10. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1Injectivit´edei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2.2 Image deH omg(Vλ1, Vλ0Vλ) pari. . . . . . . . . . . . . . .. . . .  11 eWλ1 4.3De´nitiondλ0(k 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) . 4.4 Des exemples et des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.4.1 EX 1 :G=SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.4.2 EX 2 :G=SU(N),λ= Λ1, graphe pourk 14. . . . . . . . . .= 1 . . . 4.4.3 EX 3 : GraphesG=SU(3),λ= Λ1. . . . . . . . . . . . . . . 16. . . . 4.4.4 EX 4 : GrapheG=SU(4),λ= Λ1,k 18. . . . . . . . . . . .= 2 . . .  .
1
` TABLE DES MATIERES
5 Espace de Hilbert avec G non simplement connexe 5.1 Action deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .sur les poids . . . . . .  . 5.2ConstructiondelespacedeHilbertdelathe´orieavecGZcomme groupe cible `apartirdecelleavecG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5.3 Exemples et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1G=SU(2)Z2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2G=SU(3)Z3, λ= Λ1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3G=SU(4)Z4, λ= Λ1, k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 2 5.3.4G=SU(4)Z2, λ= Λ1, k .= 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Conclusion
VAnnexe:Miscellanne´essurlesgroupesetalg`ebresdeLie 6ClassicationdeCartandesalge`bresdeLiesemi-simple 7 Poids et plus haut poids d’une algebre de Lie ` 8 Cas SU(N)C=SL(N,C) 9Alge`bredeKac-Moodyane
2
20 20 23 25 25 29 34 35
35
36 36 37 37 38
3
Premie`repartie Introduction Monstagesestd´eroul´edeJuin`aAoˆut`alENSLyon.Jetienstoutdabord`aremercier KrzysztofGawedzkipoursagentillesseetlagrandequalite´desmini-coursquilmadonn´es durantcestage.JeremercieaussiF.DelducetJ-Y.Dellanoy.Cestagesestscinde´entrois parties : enseignement (5-6 semaines), ”recherche” autonome (2-3 semaines), redaction et ´ lecturescomple´mentaires(3-4semaines).Lenseignementmefutdispens´eparKrzysztofGa-wedzkietportasurunpeudecalculdie´rentiel,deg´eom´etriesymplectique,dalg`ebredeLie etsurlemode`ledeWZW.Montravailderecherchefutdede´crirelesespacesdemultiplicite´ apparaissantdanslexpressiondelespacedeHilbertdelath´eorielorsquelegroupecible estnonsimplementconnexe,travaild´eja`re´alise´pourSOutnWZseedeWd`elLemo(3). mode`ledeth´eoriedeschampssansmassededimensiondeuxquipossedeunesym´etriedite ` conforme. La notion de transformation conforme en science est ancienne. Hermann Schwartz, mathematicienallemandles´etudiea`landu19ememeˆeamsth´eoriei`ecleeneiel`tlaudopettn ´ pe´riode,NicolasJoukovskilesutilisaitpourmode´liserle´coulementhydrodynamiqueautour duneailedavion.Lid´eeestdetransformerunproble`mea`conditionsauxlimitesbiscornues enunprobl`eme`aconditionsauxlimitessimples.Cettenotionsestintroduitedanslacom-munaut´edesth´eoriciensdeschampslorsqueonsestrenducomptequeleslimitesd´chelle e desyst`emesdem´ecaniquestatistiqueaupointdetransitiondephasedusecondordre´etaient desthe´oriesdeschampsconformes(TCC).Cest`adireinvariantede´chelleglobaleetlocale. Lespremie`restentativespourutiliserlinvarianceconformecommeprincipedirecteurdans lathe´oriedesph´enome`nescritiquesdatentdede´but1970etsontdˆusaPolyakov,Lu¨scheret Mack.Polyakovavaitanalys´elescons´equencesdecettesym´etrieendimensionsquelconques surlesfonctionsdecorre´lations.Pourdesdimensionsdi´erentesde2,lessyme´triesconformes sontpeunombreuses(compos´eesderotations,translations,dilatationsetinversion).Lari-chessedecettesyme´trieadeuxdimensionsestduea`unealge`bresous-jacenteinnie: lalg`ebredeVirasoroquiexistaitd´ej`acarapparuedansunethe´orieancˆetredescordes.Mais lav´eritablenaissancedelathe´orieconformedeschampsdatede1984aveclarticledeBelavin-Polyakov-Zamolodchikov.Ilsontmontre´comment,dansdesespacestempsbidimensionnels, lasym´etrieconformepermetdetrouverlessolutionsexactesdunes´eriedemod`elesquali´es deminimauxcense´esd´ecrireleslimitesd´echellesdeplusieurssyst`emescritiquesbidimension-nelscommelesmod`elesdIsing,dePotts∙ ∙ ∙etneiaatpsunqutiIne.ntoiriscnemmixetpe´dadne the´oriedeschampsdesmode`lesinte´grablesappel´essigmaprincipauxou`lechampsprendses valeursdansungroupedeLiecompact,maiscesth´eoriesontlede´fautdeˆtremassivesdonc noninvariantesconformes.En1984,Wittenmodiecesthe´oriesenajoutantuntermedit topologiquecequirenddunseulcoupcesmod`elesinvariantconforme,etleurdonnentune invariancesouslesalg`ebresdeKac-Moodyquie´tendlinvarianceconforme.Onobtientune se´riediscre`tedemode`les:lesmode`lesWZW.Puisen1985,Goddart,KentetOlivemontrent quelas´eriedesmode`lesminimauxunitairesestengendre´apartirdeWZWparlaconstruc-tion du coset. Depuis, d’autres versions de cette construction engendrent une riche famille deth´eoriesconformesdeschamps.Lemode`leWZWoccupedoncuneplacecentraledans l´etudedesTCCbidimensionnelle.Lesexempleslesplussimplesdethe´oriesconformesdes