Colle N°04: Fonctions numériques, rappels

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+26 septembre 2012 PROGRAMME DE COLLE S03 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´FONCTIONS NUMERIQUES : RAPPELS Fonctions monotones D´efinition : Soit f : I →R une fonction r´eelle. On dit que f est 2 croissante sur I si pour tout (x ,x )∈ I , la relation x ≤ x entraˆıne f(x )≤ f(x ) .1 2 1 2 1 2 2 d´ecroissante sur I si pour tout (x ,x )∈ I , la relation x ≤ x entraˆıne f(x )≥ f(x ).1 2 1 2 1 2 2 strictement croissante sur I si pour tout (x ,x )∈ I , la relation x f(x ).1 2 1 2 1 2 D´efinition : Une fonction est dite monotone si elle est croissante ou d´ecroissante sur I, elle est dite strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement d´ecroissante sur I. Injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e D´efinition : Soit f : I → J une fonction d´efinie sur un intervalle I, a` valeurs dans J. f est dite : injective si tout ´el´ement y de J a au plus un ant´ec´edent dans I. surjective si tout ´el´ement y de J a au moins un ant´ec´edent dans I. bijective si tout ´el´ement y de J a exactement un ant´ec´edent dans I. Proposition.— Point de vue ´equations —. Soit f : I → J une application. On consid`ere pour y ∈ J l’´equation d’inconnue x∈ I f(x) = y (1) f est bijective ssi pour tout y∈ F, l’´equation (1) admet une unique solution dans I. −1D´efinition : Soit f : I → J une bijection.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 19
• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S03

semaine du 3+26 septembre 2012

NB :seulessep,orop´hoe`rmeetoil´eesitions´xesae´gisensptno.es´esdletartsnomtsedsnoi
´
FONCTIONS NUMERIQUES : RAPPELS

Fonctions monotones
De´finition:Soitf:I→Reer´e.lldiOnuetqontincfoneufest
croissantesurIsi pour tout(x1 x2)∈I2, la relationx1≤x2entraˆınef(x1)≤f(x2).
d´croissantesurIsi pour tout(x1 x2)∈I2, la relationx1≤x2eınenaˆtrf(x1)≥f(x2).
e
strictement croissantesurIsi pour tout(x1 x2)∈I2, la relationx1< x2enarıˆetnf(x1)< f(x2).
tnrtidc´temseissaecrotnesurIsi pour tout(x1 x2)∈I2, la relationx1< x2entraˆınef(x1)> f(x2).
D´efinition:Une fonction est ditemonotoneeiseellrctsceoruo´dnaetiossurntesissaI, elle est ditestrictement
monotoneleelsiiorcnassnemee´dtsuteretemtnrcsestrtcioustrictoissanteI.
Injectivite´,surjectivite´,bijectivite´
De´finition:Soitf:I→Jfenonudne´tcoielliefinrusuntnivaerIva`,uelaadsrnsJ.fest dite :
injectivestiuo´tletneme´ydeJnastdenedc´´entnasuulpuaaI.
surjectiveentl´emut´esitoydeJantdsc´´eenedusnitnanaomuaI.
bijectiveel´ementstiuo´tydeJnanta´eexca´ctementusdenedtnaI.

Proposition.—Pointdevuee´quations—.Soitf:I→Jplicneapudie`ocsn.nnOtaoiurporey∈Juaeq’´lnoit
d’inconnuex∈I f(x) =y(1)

fest bijectivessipour touty∈Fuliteuossnnoad’l,uqe´oita1)n(meadnetuiqunI.

´
D´efinition:Soitf:I→Junebijectioncaliontillveppeafin´end.Oouenunitf−1:J→I, appeleeapplication
r´eciproquedef, en posant pour touty∈J,f−1(y) =xu`oxu’ltsedteeden´ec´eantniquyparf.

Corollaire.—Soitf:I→Junebijection. Pour tout couple (x y)∈R×R,

•x∈I
•y=f(x)

•y∈J
⇐⇒•x=f−1(y)

Savoir-faire :ouesr´lavavantdeleurdtsirdeesriuucety∈Jtionequal’´y=f(xas,l´eitivctjein-itcejruri’latlbrue´)op
vite´,labijectivit´edeferinapl’´e,drmtee´rnrpiccilpoita,ce´haetnteelac´sedqoeuf.

Proposition.—Soitf:I→Ralors
•fest strictement croissantesi et seulement sifest croissante et injective.
•fstsecirtmeted´ntroecsaisentsi et seulement sifve.ectitinjnteeassiorce´dtse

Limites

The´ore`me*.—Ope´rationsalge´briquessurdesfonctionsadmettantunelimite—.Soitf g:I→R,adetle´nu
¯
Ineuuomi´etrexe´tdeI,ℓ k∈R, etλ∈R⋆unnor´eembremnO.lppusqesoileuf(x) =ℓet limg(x) =k. Alors
x→a x→a
xli→ma|f(x)|=|ℓ|.limf(x) +g(x) =ℓ+ksiℓ6= 0, alorsxli→maf1(x) =ℓ1
x→a
lim (λf(x)) =λ ℓlimf(x)×g(x) =ℓ×ksik6= 0, alorsxli→mafg((xx)=)kℓ
x→a x→a
¯
pourvuquecesope´rationsaientunsensdansR.

Proposition*.— Composition des limites —.Soitf:J→Rety:I→J,a(resp.b´el´)unedtnemeI(respJ) ou
¯
uneextr´emite´deI(resp.J) etℓ∈R.
•limy(x) =b
y→bf(y) =ℓ!alorsxli→maf◦y(x) =ℓ
Six→a
•lim

1

Continuite
´

The´ore`me*.—TVI—.Soitf:I→Rune fonction continue surI, (a b)∈I2tel quea≤b.

Pour toute valeurγcomprise entref(a) etf(b), il existec∈[a b] tel quef(c) =γ

Th´eore`me*.—Th´eor`emedelabijection—.SoitIun intervalle deRetfune application continue et strictement
monotone surI. Alors
f(Ile,not´ee)tsnunietvrlaJ.
f:I→Jest une bijection deIsurJ,
f−1:J→Ie,deotonemonmˆemirtctstsmtnomeneeeonotquief.
f−1:J→Iest continue deJsurI.

Savoir-faire :mrnire’lde´eteagimlembseenf(I) ={f(x) ;x∈I}’la`esdeimitdeslaidefaux bornes de l’intervalleI.

Corollaire*.—Soitf:I→Rune fonction continue et strictement monotone surI, (a b)∈I2tel quea≤b.

Pour toute valeurγcomprise entref(a) etf(b), il existec∈[a b], unique tel quef(c) =γ

D´erivabilite´
De´finition:La fonctionf:I→Restrevibael´dena∈Isilimf(x)−f(a)existe et est finie. En ce cas, on note
x→ax−a
f′(a)ee.lr´ce

Proposition*.—Soitf:I→R.Siftine´dtsvireelbaopuaa∈I,alorsfest continue au pointa.

Th´eor`eme*.—Soitf:I→Ruruselbavire´dnotincfoneulleervanintIni.tnuoptia`e´udnonr
fest croissante (resp.iorcnasse´dte)surIsi et seulement sif′≥0. (resp.f′≤0 )
fest constante surIsi et seulement sif′= 0.
sif′>0, (resp.f′<0)alorsfest strictement croissante surI. (resp.metcirtsteanssoicr´etden)

Th´eor`eme*.—cf.techniques&m´ethodesSoitf:I→Rsurunnofeoitce´dneinfiI,d´ebledrivanasI {a}.
S’il existed∈Rtel quexli→maf′(x) =d,alorsfenvireelbae´dtsaetf′(a) =d
est erivable enaet limf(x)−f(a)=±∞
.
Sixli6→=maf′(x) =±∞,alors6=f d´n’ pasx6→ax−a
=

Proposition*.—Op´erationsalge´briquessurlesde´rive´es—.Soitu v:I→Rnodse´iravlbseusdesfonctirI.Alors
•λulbavire´rusetdesIet (λu)′=λu′•u+viravdte´rulbseesIet (u+v)′=u′+v′
•u×vrlesuivabd´erestIet (u×v)′=u′×v+u×v′•vubaelusriverd´steI1etvu′=u′×vv−2u×v′

Proposition*.—R`egleded´erivationenchaˆıne—.Soitf:I→J,g:J→Rdcnitseofri´esdon.Aesblvasrol
g◦fablesurevire´dtsIet (g◦f)′=g′◦f×f′

Proposition*.—De´rivabilite´del’applicationre´ciproqued’unbijection—.Soitf:I→June bijection de l’intervalle
Isur l’intervalleJ.Sifd´stiverebaelusrIet sif′ne s’annule pas surI, alorsf−1ruselbavri´etdesJet
f−1′=f′◦1f−1

1sivne s’annule pas surI

2

Inte´gralesetprimitives

Proposition*.—Propri´et´esfondamentalesdel’inte´grale—.Soientfetgdeux fonctions continues sur un intervalle
I, (a b)∈R2tslee´rseuqsledea≤b. Alors
b
´tdelei’tne´rglaPositivisurI ), alodt≥0.
b
:sedhCsaellaeReontiSi:cSi∈fI,steaslioprosZtaivcef(t)Zdatb=(ZrsfZ(at)df(tt+Zf(t)dta.a
tirae´niLleraegt´inl’de´e:Si (α β∈R2, alorsαfb+βg)(t)dtc=αZbf( +βZg(t)dt
t)dt
a b

The´ore`me*.—Th´eor`emefondamentalducalculintegral
´
SiF:I→Rest une primitive defsurI, alors pour tout (a b)∈I2:Zabf(t)dt=F(t)ba=F(b)−F(a)
Soitf:I→Rune fonction continue surI, eta∈I. L’unique primitive defqui s’annule au pointaest la
fonctionde´finiepourtox
utx∈IparFa(x) =Zaf(t)dt

Corollaire*.—Inte´grationparparties—.Soit (u v)∈ C1([a b]R)2, alors
Zab×v(t)dt=u(t)×v(t)ab−Zabu(t)×v′
u′(t) (t)dt

Quelques primitives connues

fonction

x7→xα
avecα6=−1

1
x7→
x

x7→cos(x)

x7→sin(x)

x7→tan(x)

x7→

x7→

exp(x)

ln(x)

Primitives

xα+1
x7→+C
α+ 1

x7→ln(|x|) +C

x7→sin(x) +

C

x7→ −cos(x) +C

x7→ −ln(|cosx|) +C

x7→exp(x) +C

x7→xln(x)−x+C

3

Intervallesdevalidit´e

I⊂Rsiα∈N
I⊂R+⋆ouI⊂R−⋆siα∈
I⊂R+⋆siα∈RZ

I⊂R+⋆ouI⊂R−⋆

I⊂R

I⊂R

I⊂

Ik=]kπ−π2 kπ+π2[

I⊂R

I⊂R+⋆

Z−

