Correction : Analyse, Convergence de produit numérique

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Suites numériques

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 58
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.

2.

3.

1.a

1.b

2.a

2.b

Correction

Partie I

Supposons que le produit () converge et posonsℓ=lim. On aℓ≠0 ,→ℓet+1→ℓdonc
par opérations sur les limites+1→ℓℓi.e.+1→1 donc→1 .

Par récurrence sur∈ℕ, on montre facilement=+1 .
On peut aussi observer :=∏1+1=2×1⋯×(×+1)=+1 .
=×⋯
On a→ +∞donc () diverge.
ni2s=cos2soc4⋯2soc−12soc2sinn 2=2=sinco21cos2cos4⋯s2co−1sin2−1
si s
En reprenant ce processus :ins2=21−1coss2ni2=21sin.
u
=sin∼sin=sin≠ it ( le prod0 donc) converge lim et=sin.
2sin 2
22

Partie II

Puisque→1 , on a∀ε>0,∃∈ℕ,∀≥,−1≤ε.
En prenantε=1 2 , il existe0∈ℕtel que∀≥0,−1≤ donc1 2≥1 2>0 .

=ln=∏=ln−.
001
Si le produit () converge alors, puisque la suite () tend vers une limite finie non nulle, le rapport
 (tend vers une limite finie strictement positive. Par composition de limites, la suite) converge.
0−1
ℓ
Si la suite () converge versℓalors=e→e donc→0−1eℓ≠ ( le produit0 donc)

0−1
converge.
+−=1≥donc la suite ( croissante.) est
1+10
2∑1≥2∑1= .1
2− ==+1=+122
Puisque () est croissante, soit cette suite converge versℓ∈ℝ, soit cette suite diverge vers+∞.
Or, si→ℓ∈ℝalors2−≥ il aetimneon l à12 dℓ−ℓ=0≥21rued . est abs ce qui
Donc, nécessairement→ +∞.
Pour≥3 , on a ln≥ don1 c−2≥−2d’où≥−2+2→ +∞.
 
Par comparaison,→ +∞. Par suite () et () divergent.

1.a

1.b

1.c

2.a

2.b

2.c

Partie III

Etudions:֏−ln(1+ sur) définieℝ+⊂ −1,+∞.
surℝ+.
est dérivable et′()=1−1+1=1+≥0
Par suiteest croissante et puisque(0)=0 ,est positive d’où l’inégalité voulue.

′+1−′=+1≥0 donc (′ croissante.) est

Supposons que (′) converge vers un réelℓ. On a∀∈ℕ*,≤′ℓ.
  
ln()=∏+ =∑1+)≤∑= ′ ≤ℓ.
ln=1(1)=1ln(ln(1+)≤=1
La suite (ln donc majorée.) est
Pour tout∈ℕ ln* ,+1−ln=ln+1=ln(1++1)≥0 donc (ln) est une suite croissante.

Etant croissante et majorée, la suite (ln) converge vers un réelet par opérations→e≠0 .
Par suite le produit () converge.
Notons, qu’on peut aussi reprendre le résultat de la question II.1 avec0=1 et en observant≤′.


Si≥1 alors≥∏2=2→ +∞et donc le produit () diverge.
=1

On reprend les notations de la question III.1 à partir de=2.
 
 
=′∑12≤2∑1=1−2≤
==1−1−
La suite (′ ( croissante et majorée donc elle converge et par suite le produit) est) aussi.

 
(1−2)=((1−2)(1+2))(1+4)…(1+2)=(1−)4(1+)4…(1+)2.

En réitérant le processus : (1−2)=1−2+1. Par suite→1−12.