Correction : Analyse, Etude d'une équation fonctionnelle

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Continuité. Equations différentielles.

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d’après Mines sup 2000 (spécialité)

1.

2.

3.a
3.b

3.c

1.

2.

3.

4.

Correction

Partie I

La fonction֏cosest continue et par développement :

∀,∈ℝ, cos(+)+cos(−)=2 coscos.
La fonction֏chest continue et :
∀,∈ℝ, 2 e+e2−e+e2−=e++e−+e2−+e−−=e++e2(−)++e−2+e−
ce qui donne : 2 chch=ch(+)+ch(−) .
Les fonctions֏coset֏chappartiennent à.
αest continue par opérations sur les fonctions continues.
∀,∈ℝ,α(+)+α(−)=(α+α)+(α−α)=2(α)(α)=2α()α() .
La fonctionαappartient à.
Pour== 20 , on obtient(0)=2(0)2donc(0)(1−(0))=0 puis(0)=0 ou(0)=1 .
Supposons(0)=0
.
Pour∈ℝet=0 , on obtient 2()=2()(0)=0 donc=0 .
Supposons(0)=1 .ℝest symétrique par rapport à 0.
Pour=0 et∈ℝ,()+(−)=2(0)()=2() donc(−)=() etest paire.

Partie II

Soit∈ℝfixé. On a(+)+(−)=2()() .
En dérivant la relation par rapport à, on obtient′(+)−′(−)=2()′() .
En dérivant à nouveau par rapport à, on obtient :′′(+)+′′(−)=2()′′() .
Posonsλ=′′(0) .
Pour∈ℝet=0 , la relation ci-dessus donne 2′′()=2′′(0)() i.e.′′()=λ() .
′+′=équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants d’équation une 0 est
caractéristique2+=0 .
Si> l’équation caractéristique possède deux racines complexes :0 alorset−.
La solution générale de l’équation différentielle est()=1e+2e−.
Si< 0 alorsl’équation caractéristique possède deux racines réelles :−et− −.
La solution générale de l’équation différentielle est()=1cos(−)+2sin(−) .
Si= l’équation caractéristique possède une racine double : 0.0 alors
La solution générale de l’équation différentielle est()=1+2.
Soitun élément dedeux fois dérivable.
peut être la fonction nulle.
Sin’est pas la fonction nulle alorsest une fonction paire, vérifiant l’équation(0)= solution1 et
d’une équation différentielle du type+′′=0 avec∈ℝ.
Dans le cas>0 , on obtient()=1e+2e−avec1=2(par parité) et1=2=ar la 12 p(
relation(0)=1 ). Par suite()=ch() .
Inversement, I.1 et I.2 (avecα=) assure qu’une telle fonction est solution.
Dans le cas<0 , on obtient()=1cos(−)+2sin(−) avec2= parité) et0 (par1=1

1.

2.a
2.b

2.c

3.a

3.b

3.c

(par la relation(0)=1 ). Par suite()=cos(−) .
Inversement, I.1 et I.2 (avecα= −) assure qu’une telle fonction est solution.
Dans le cas=0 , on obtient()=1+2avec1= parité) et0 (par2=1 (par(0)= Par1 ).
suite()=1 . Inversement cette fonction est solution.
Résumons, les fonctions deux fois dérivables solutions sont :
:֏0 ,:֏1 ,:֏cos(α) (avecα>0 ) et:֏ch(α) (avecα>0 ).

Partie III

I.3.b implique par contraposition(0)≠0 , I.3.a donne alors(0)= I.3.c donne1 etpaire.
Puisqueet qu’elle est paire, on peut assurer ques’annule au moins une fois, que ce n’est pas en 0 
s’annule au moins une fois surℝ+* .
est une partie deℝ, non vide (via III.1) et minorée par 0. Elle admet donc une borne inférieure.
(1) Par l’absurde, supposons()≠0 .
Par continuité en, il existe un voisinage de, de la forme−α,+α(avecα>0 ) sur lequelne
s’annule pas. Par suiteétant minorée par, l’est aussi par+α. Orest le plus grand des
minorants de. Absurde.
(2) En exploitant la réalisation séquentielle d’une borne inférieure.
Il existe ()∈ℕtelle que→. Puisqueest continue()→() .
Or∈donc()= par unicité de la limite0 puis()=0 .
=inf,⊂ℝ+* donc∈ℝ+or()=0 et(0)=1 donc>0 .

De part la définition de, on a∀∈0,,()≠0 . De plus, on sait(0)=1 .
Si par l’absurde,∃∈0,tel que()≤ en appliquant le TVI entre 0 et0 alors, on peut affirmer
ques’annule entre 0 et. Cela contredit la propriété :∀∈0,,()≠0 . Absurde.

Exploitons la relation(+)+(−)=2()() avec==2+1.
On obtient211 211 latpuis la r
2+ + =2+2+ voulue.e ion
Par récurrence que∈ℕ.
Pour=0 :20=()=0=() .
Supposons la propriété établie au rang∈ℕ.
On a2 +1=22+12et2=2=cos2π+1donc
122 cos
+22π+2π+
+cos=.
21=2cos1+1 =cos2en vertu de 122
Sachant2+1> 20 et cosπ+2>0 on a2+1=2cosπ+2=2+1.
Récurrence établie.
Par récurrence double sur∈ℕ, montrons que∀∈ℕ,2 =2
Pour=0 ,(0)=1=(0) .
 
=vertu de III.3b
Pour=1 ,∀∈ℕ,22en
Supposons la propriété vraie aux rangset−1 avec≥1 .
En exploitant la relation(+)+(−)=2()()

3.d

4.a

4.b

avec=2et=2on obtient :(2+1) +(2−1) =222.

+ −  −
Par HR :(21)=222−(12)=222−()12.
  −π π−π+π+
Or 222−(21)= 22 cos+1cos2+1−21(cos+)1=2(cos1+)1=2)1(+1
via la formule 2 coscos−cos(−)=cos(+) .
 
Ainsi(2+1) =(2+1).

Récurrence (double) établie.
Par parité deet, on peut étendre la propriété à∈ℤ.

  
ons=(2). On a∈ 2et puisque−1≤2≤2on a aussi
Soit∈ℝ.Pos2  
−≤≤Par le théorème des gendarmes :. →.
2

Soit∈ℝet ( suite d’éléments de) unetelle que→.
Puisqueetsont continues et que→on a()→() et()→() .
Or, par III.3d, on a()=( tout) pour∈ℕdonc à la limite()=() .
Finalement=.

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