Correction : Analyse, Etude d'une famille de fonctions

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Equation différentielle. Etude de fonction. Calcul intégral

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d’après INA ENSA 1993

1.

2.a

2.b

3.

4.

1.

2.a


Correction

Partie I

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène de solution générale()=1+2avec
∈ℝ.
ϕest paire, il suffit donc de l’étudier surℝ+.ϕest dérivabl 
e etϕ′( )= −(1+22)2doncϕdécroît sur
ℝ+deϕ(0)=1 à limϕ=0 .
+∞
2
′′−
ϕ()=6(1+22)3s’annule en changeant de signe surℝ+en

0= .1 3
() a pour équation := −833+ .98
Pour étudier la position relative de (Γ) et de () , on étudie le signe deψ()=ϕ()−−833+89.

′ ′′
=
ψest dérivable,ψ′()=ϕ′()+,8 3ψ′()ϕ() .
On en déduit :ψ′′()−30+,ψ′()+30+
puisψ()−30+.

La courbe traverse sa tangente au point d’abscisse=

1
ϕ()=4π.
0

Partie II

3 , elle d’abord en dessous, ensuite au-dessus.

Sur=0,+∞ou−∞ , (, 0)⇔′+1=11(+2) .
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1.

Equation homogène+′1= solution0 de0()==.
  
Par variation de la constante,1()=arctanest solution particulière.

+an
Solution générale de () :()arct.
=

′
lim0arctan= (arctan)(0)=1ℓ=1 .
.
→

0est dérivable surℝ* et0′()(12+(12) ar2atcn)du signe de()=−(1+2) arctan.
=
+


2.b

2.c

2.d

3.
4.a

4.b

4.c


est dérivable et′()= −2arctan≤0 donc()
−∞0+∞
0() 0ր1ց0

+

0
0

puis

Pour tout∈ℝ* ,−λ(−)=λ() .
Les courbes (−λ) et (λ () sont symétriques par rapport à l’axe) .
Pour tout>0 ,λ1()<2λ() et pour tout<0 ,λ1()>2λ() .
A droite de ( () ,λ1 ( en dessous de) estλ2 () . C’est l’inverse à gauche de) .

λest dérivable etλ′()=λ(2ce) avλ()=12−λ−arctan.
+

λ′()= −2(12)2≤0 d’oùλ()∞2
λest dérivable et+2−λ+πց
0−0+
−∞ +∞
Siλ≥π2 alorsλ() 0ց−∞ +∞ց0 .
Si 0<λ<π2 alorsλs’annule en unλ<0 et
− +
−∞λ0 0+∞
λ() 0րλ(λ)ց−∞ +∞ց0

Soitun point de coordonnées (,) avec≠0 .
∈(λ)⇔=λ()⇔λ=−arctan.
Soit (un point de coordonnées,) avec≠0 .
La pente en (de la tangente à la courbeλ) passant parest
1
2−λ−arctan2−
λ′()=1+2=1+.
 
Cette pente est nulle ssi=1+12i.e.∈(Γ) .

+∞
−λ−π

2 (etλ

(0)= −λ<0 )

1

Comme ci-dessus, la pente en (de la tangente à la courbeλ) passant parestλ′)=1+2
(

A droite de l’axe ( () , cette est positive pour les points en dessous deΓ) et positive au dessus. A
gauche de l’axe () , c’est l’inverse.


1.a

1.b

1.c

2.


Partie III

On peut raisonner par récurrence ou exploiter la sommation géométrique :
21 (1 2(1)
=∑(−1) −= −11+)+2+.
0
En intégrant la relation précédente pourallant de 0 à, on obtient :
2
arctan==∑02((−1+)1)+1+ϕ() avecϕ()=(−1)+1012+(+1)2.
11
ϕ()≤02(+1)=21+32+1c ra+2≤.

= =
∫1arctan∑2(−1+)1∫12+∫1ϕ()
0=00 0
donc=(−1)1ϕ()
=∑0(2+1)2+∫0d’où
−∑(−+1)1)=∫1ϕ()≤∫1ϕ()≤∫122++23=(21+. 3)
=0(22000 2
 
Il en découle que=l→i+m∞∑=0(2(+−1)1)2, on note encore=+=∑∞0(2(−+1)1)2.

Pour= (26 ,1+3)2≤0,5.10−2et donc=6∑=0(2(+−1)1)2à 0,5.10−2près, or∑=60(2(+−1)1)2=0,92 à
0,5.10−2près, donc=0,92 à 10−2près.
L’erreur à éviter est la suivante :
4
à 102d’une valeurdécimalede
Pour=4 , on observe que=∑=0(2(+−)11)2−près, mais l’obtention

cette somme va réduire la qualité de l’approximation. Par exemple, en écrivant∑=40(2(−1)1)2=0,92 à
+
0,5.10−2près, on ne peut plus qu’affirmer=0,92 à 1,5.10−2près, ce qui n’est pas suffisant. C’est la
raison pour laquelle ci-dessus, on comme par approchéepar une somme à 0,5.10−2près puis la
4
somme par une valeur décimale à 0,5.10−2près. Bien sûr, en observant=∑(2(−+)11)2=522n o,93 1tuep9996
0
affirmer= 1091369 à−2près, ce qui est exact mais ne ré
99225
valeur décimale approchée.

pond pas à la question, à savoir obtenir une

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