Correction : Analyse, Etude d'une fonction

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Etude de fonction. Calcul intégral. Suite récurrente. Equation différentielle.

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Correction

d’après Mines de Sup 2002
1.aest continue par opérations sur les fonctions continues et paire par rapport de fonctions impaires.
1.b arctan=−313+(3) donc()=1−132+(2) .
On prolongepar continuité en 0 en posant :(0)=1 .
1.c Puisqueadmet un1(0) ,est dérivable et′(0)=0 .
La tangente en 0 est la droite d’équation=1 .
()−1∼−132+(2)<0 , la courbe est donc en dessous de sa tangente au voisinage de 0.
1.dest dérivable surℝ∗par opérations sur les fonctions dérivable et′()=−(11(++2)2a)r2ctan.

1.e

1.f

2.a

2.b

2.c

2.d

2.e

3.a

2 1 d 1 1 1d 1
2
∫0(1+2)2=∫0(1+2)2d−=2 1+20+2∫01+2= −2 1++2natcr2a= −2 ′() .
2
Pour>0 , on a∫0(1+d2)2>0 donc′()>0 .
Pour<0 , on a∫(1+2d2)2<0 donc′()<0 .
0
Par suiteest croissante surℝ+et décroissante surℝ−.
Ci-dessus.
()=1−312+(2) donc0()d=−193+(3) puisφ()=1−912+(2) .
On prolongeφpar continuité en 0 en posantφ(0)=1 .
∀∈ℝ∗,0−()d= −∫0()dcarest paire. Par suiteφ(−)=φ() . Ainsiφest paire.
D’après le(0) deφ,φest dérivable en 0 etφ′(0)=0 .

Surℝ,֏0()dest dérivable de dérivée() , donc par opérations,φest dérivable surℝ∗et
φ′()= −120()d+1()=1(()−φ()).
Soit>0 :
∀∈0,, on a()≤()≤1 carest décroissante surℝ+.

Par suite()≤()d≤puis()≤φ()≤1 .
0
Pour= il y a égalité.0 :
Pour<s’obtient par la parité des fonctions engagées.0 : la double inégalité
φ′()≤0 surℝ+etφ′()≥0 surℝ−doncφest croissante surℝ+et décroissante surℝ−.
1()d≤1∫π2d=π2ln→ lim0 donc 11()d=0 .
11→+∞
φ →= +
()101()d1∫1()d opérations.0 par
D’une part 1+2≥0 car≥0 et 1+2>0 .
D’autre part (1−)2≥0 donc 2≤(1+21 isup )+2≤21 .

3.b

3.c

3.d

3.e

4.a

4.b

Pour>0 :φ′()= −φ′()=1(φ()−())≤1(1−())carφ()≤1 .
 
et1021+22d=12∫01−1+12d=1−12arctan=1(1−()).

φ ≤′ ≤=.
()1201+22d12∫0421d
Cette inégalité est aussi vraie pour=0 (carφ′(0)=0 ) et pour<0 (carφ′est impaire)

Soit:֏−φ() .est dérivable et′()=1−φ′()≥3 4>0 doncest strictement croissante.
est continue, strictement croissante, lim()= +∞et lim()= −∞(par opérations) donc
→+∞→−∞
réalise une bijection deℝsurℝ. Par suite l’équation()=0 (i.e.φ()=) admet une unique

solutionα∈ℝ. De plus(0)φ et(0) 1(1)=1−φ(1)≥0 (carφ()≤1 ), doncα∈0,1 .
= − = −


+1α=φ()−φ(α)≤14−αen vertu de l’IAF.
Par récurrence :−α≤410−αdonc−α→0 i.e.→α.
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1.

Sur= −∞ ou 0,, 0+∞,2+′=arctan⇔+′1=arcta2. n
 
+′1=0⇔=−′1, solution homogène0()=.
  
1()=φ( solution particulière.) est

Solution générale sur:()=φ()+.

φest solution sur l’équation différentielle surℝ.
Inversement soitune solution surℝde cette équation différentielle.
Il existe+,−∈ℝtelles que∀>0,()=φ()++et∀<0,()=φ()+−.
 
Quand→0+,()→1±si∞ si+ =+0≠0 et quand→0−,()→1±si∞ si− =−0≠0.
.
Orest définie et continue en 0 donc+=−=0 ,(0)=1 puis=φ
Finalementφest la seule solution surℝde l’équation différentielle.

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