Correction : Analyse, Etude d'une fonction périodique

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Fonctions trigonométriques réciproques.

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1.a

1.b

1.c

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b
3.c

3.d

4.a

Correction

∀∈ℝ,−∈ℝetϕ(−)=⋯= −ϕ() doncϕest impaire.
∀∈ℝ,+π∈ℝetϕ(+π)=arcsin(sin(2+2π))=ϕ() doncϕestπpériodique.

Pour∈0,π on a 24 ,∈0,π2⊂ −π2,π2 doncϕ()=arcsin(sin 2)=2.
Pour∈π4,π2 , on a 2∈π2,π. Puisque sin 2=sin(π−2) et queπ−2∈0,π2⊂ −π2,π2
on aϕ()=π−2.
De part les simplifications qui précèdent, l’imparité et la périodicité, on obtient l’allure ci-dessous :















(1+)2≥0 donne−2≤1+2et (1−)2≥0 donne 2≤1+2 2. Par suite≤1+2.
2
Pour tout∈ℝ, 1+≠donc0 1+22 1existe et par la question précédente+22∈ [−1,1], or la
fonction arcsin est définie sur− arcsin1,1 donc 1+22existe. Ainsiest définie surℝ.
est impaire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.


2+tan2=2nssoic2=2si2n+cos2=sin 2et(tan)=arcsin sin 2=ϕ() .
1 tan1 sincossin
+cos2
()=(tan(arctan))=ϕ(arctan) .
La fonction arctan est croissante sur−∞,−1 à valeurs dans,−π2,−π4 oùϕest décroissante donc
par compositionest décroissante sur−∞,1 .
La fonction arctan est croissante sur−1,1 à valeurs dans,−π4,π4 oùϕest croissante donc par
compositionest croissante sur−1,1 .
La fonction arctan est croissante sur 1,+∞à valeurs dans,π4,π2 oùϕest décroissante donc par
compositionest décroissante sur 1,+∞.
−∞ −1 1+∞
() 0ց−π2րπ2ց0
Limites et valeurs sont immédiates sachant arcsin1=π2 et arcsin 0=0 .
Sur−∞,−1∪ −1,1∪1,+∞ 1on a+22]−∈1,1[ dérivable suret la fonction arcsin est−1,1 donc
2 si 1
est dérivable sur le domai′=.
ne considéré et, après calculs :()11+222si<>1

 +

4.b

4.c

4.d

5.a

5.b

(0)=0 et′(0)= la tangente en 0 a pour équation2 donc=2.
( 3)=πet′( 3)= − la tangente en donc1 2 pour équation a 3= −21(−3)+3π.
3
3 1π
=− +.
(1 3)=π et 3′(1 3)=3 2 3 a donc la tangente en 1 pour équation233()

lim′( ) 1′= −.

→1=etli→m1+( ) 1

















()=⇔1+22=sin(l’équivalence est vraie car∈0,π2 )
Les solutions de l’équation 1+22=sinsont1=1−ocnsiset2=1+inscos.

Le pointa pour coordonnée==1 sin.
Les coordonnées du pointvérifie= etarcsin 1>1 .

La représentation graphique de la fonction֏arcsinsur−1,+∞donne le lieu des points.
1+∞
Cette représentation est aisée car arcsin 1πց0 :
2

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