Correction : Analyse, Propagation d'une information

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Suites récurrentes. Equations différentielles.

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Propagation d’une information

Préliminaire

Etablir que pour toutde l’intervalle−1,+∞ ln(1, on a+)≤.

Objectifs et notations

Ce problème étudie différents modèles de propagation, au cours du temps, d’une information au sein d’une
population contenantindividus oùest une entier naturel strictement supérieur à 3. On désignera par le réel
positif la variable représentant le temps.
On suppose qu’à l’instant initial (=0 ) une seule personne parmi cette population est informée. L’information
circule au sein de cette population et lorsqu’une personne est informée à l’instantelle le reste indéfiniment.
Pour tout réel,désignera la partie entière de, c’est à dire l’unique entier relatiftel que≤<+1 ,
et la fonction ln représentera la fonction logarithme népérien.

Partie I : Premier modèle de propagation

Soitun réel strictement positif. On considère un intervalle de tempsstrictement positif et tel que <, 1
ainsi que les instants, où l’entierdécritℕ. Pour tout, on note( proportion de personnes) la
informées à l’instant.
On fait l’hypothèse que l’augmentation de cette proportion entre les instantset (+1)est déterminée par

la relation :
∀∈ℕ,+1()−()=(1−())
On pose0()=1.
1.a Exprimer 1−+1( fonction de 1) en−() .
1.b Déterminer l’expression de( la valeur de) et lim() .
→+∞
2. Soitun réel fixé strictement positif. Le rapportsera également noté.
. D
2.a Comparer,et+1éterminer li→m0.
2.b Déterminer lim0[]() .

3. On suppose dans cette question que la proportion de personnes informées est définie à chaque instant,
oùest un réel positif, par() ,étant une fonction définie et dérivable surℝ+. On fait l’hypothèse
que l’accroissement instantanée de la proportion de personnes informées est déterminé par l’équation
différentielle :
∀∈ℝ+,′()=(1−()) .

Déterminer la fonctionsachant que(0)=1.

Partie II : Second modèle de propagation

On désigne toujours parune constante réelles strictement positive. On considère un intervalle de temps
strictement positif et tel que < ainsi que les instants1 ,, où l’entierdécritℕ. Pour tout, on note
(proportion de personnes informées à l’instant ) la.

On fait l’hypothèse que l’augmentation de cette proportion entre les instants
la relation :

et (+1)est déterminée par

∀∈ℕ,+1()−()=().(1−()) .

On pose0()=1 .

1.a Pour tout entier naturel, exprimer 1−+1( 1 fonction de) en−( de 1) et−() .
1.b Montrer que la suite (())∈ℕest à valeurs dans1,1.
1.c Etudier la convergence de (( l déterminer la valeur de)) et→i+m∞() .

2. Dans cette question, on se propose d’étudier la rapidité de diffusion de l’information.
2.a Montrer que pour tout entier naturel: 1−+1()≤(1−() avec=1−.

2.b

2.c

2.d

2.e

3.

3.a

3.b

3.c

4.

En déduire que 1−()≤−1.
nature=.
On pose pour tout entier l, 1(1−()
−)
Etablir que pour tout entier naturel: ln+1−ln=ln 1−1−()
 −1
En déduire que 0≤ln+1−ln≤1−.
On pourra exploiter le résultat du préliminaire.
−1
On pose pour tout entier naturel,=∑(ln+1−ln).
=0
Montrer que la suite () converge. On pose=lim.
→+∞
Déduire des questions précédentes l’existence d’un réelstrictement positif tel que :
1−()∼(1−).
→+∞
On ex tion deet de−  .
plicitera la valeur de 1en fonc 1−( )≥1
( )
.
On pose pour tout entier naturel,=(1−())(1+)
1
Montrer que pour tout entier naturel:+=1++22−().
 )) ((1 )(1
−1
En considérant=∑ln+1−ln 0, établir que :≤ln(1((−())1)1+())≤1−22.

=0

.
Déterminer li→m0[]( )
On suppose dans cette question que la proportion de personnes informées est définie à chaque instant,
oùest un réel positif, par() ,étant une fonction définie et dérivable surℝ+et à valeurs dans
ℝ+de la proportion de personnes informées est* . On fait l’hypothèse que l’accroissement instantanée
déterminé par l’équation différentielle :
∀∈ℝ+,′()=()(1−()) .

En considérant la fonctiondéfinie par()=(1l renimretéd ,)de ion ress’exp( tout réel) pour
positif sachant que(0)=1.

d’après HEC 1999

1.a
1.b

2.a

2.b

3.

1.a

1.b

1.c

Correction

Partie I

1−+1()=(1−)(1−()) .
(1−()) est géométrique de raison 1−donc∀∈ℕ,1−()=(1−)(1−0()) .
Par suite()=1−−1(1−)etl→i+m()=1 car 0≤1− <1.

≤<+1 donc≤<+1car >0 .
On a donc−≤≤ let par le théorème des gendarmes :i→m0=.

Quand →0 :[]()=1−1(1−)[].
(1−)[]=exp([]ln(1−))=expln(1−)

or→et ln(1−)∼−=−donc (1−)[]→e−et[]()→1−−1e−.

=′(1−) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants.
Solution homogène :0()=λe−avecλ∈ℝ.
Solution particulière :1()=1 .
Solution générale :() 1+λe−.
=
La fonctionest solution de l’équation différentielle ci-dessus résolue, il existe doncλ∈ℝtel que pour
λ1− ui
on a= +.
tout∈ℝ+,()=1+λe−. Comme de plus(0)=1,p s()=1 1−e−

Partie II

1−+1()=1−()−()(1−())=(1−())(1−()) .
Par récurrence sur∈ℕ, montrons()∈1,1

ur=0 ,0( ) 1 1 ,1
Po∈.
 = 
Supposons la propriété établie au rang≥0 .
1−+1()=(1−())(1−()) .
1−()≥1−()≥0 donc+1()≤1 .
1−()≤1 donc 1−+1()≤1−() puis+1()≥()≥.1
Récurrence établie.
On a vu ci-dessus que la suite (()) estde surcroît majorée par 1 donc elle converge croissante, elle est
vers une limiteℓ. Puisque 1≤()≤ 11 , on a la limite≤ℓ≤1 .
En passant la relation 1−+1()=(1−())(1−()) a la limite, on obtient :
1−ℓ=(1−ℓ)(1−ℓ) donc (1−ℓ)ℓ=0 d’oùℓ=1 .

2.a

2.b

2.c

2.d

2.e

3.a

3.b

3.c

1−+1()=(1−())(1−())
()≥1 donc 1−()≤puis, sachant 1−()≥0 , 1−+1()≤(1−()) .
Par récurrence sur∈ℕ:
− − −
Pour=0 , 1−0()=1=10≤10.
 
Supposons la propriété établie au rang≥0 .
1−+1()≤(1−())≤−1+1.
 

Récurrence établie.
  
ln+1−ln=ln+1=ln1−+1(−)=ln 1−−() .
(1− )( ))(1 1
− 
()≤ 11 donc 1( )≥1 puis ln+1−ln≥0 .


1−1−()=1+1−(1−()) donc ln 1−1−()≤1−(1−())≤1−−1.
( croissante car) est+1−=ln+1−ln≥0 .
De plus=∑=−10ln+1−ln≤1−−1∑−=10=1−−111−≤1−−111.
− −
Ainsi ( majorée par) est=1−−11−1.
Par suite () converge.


=ln−ln0=ln−ln−1=ln−1 cd no−1→e( ispu )11−e1(())→1 .
− 
−1
=
Ainsi 1−()→∼+∞(1−)avece .
+1+1()(1−())+1()
= =
(1+)()(1−+1()) (1+)()(1−())
=()+()(1−())=1+(1−())

(1+)()(1−()) (1+)(1−())
=(1−+())(1+−)+22()=1+22()
(1 )(1( )) (1+)(1−())
=ln−ln0=ln−ln1−1=ln((−1))
De plus−1ln1≥0 car+1≥1 et
=∑=0+
−1ln+1− 21 2( )− 21 22 2
==∑0ln(1+≤)≤∑=0(1+)(1−())0≤≤()≤1=∑0(1+)(1−)=1−22
2 2
donc 0≤ln((−1))≤1−22ce qui correspond à l’encadrement voulu.
Quand →0 .
(1)(2 2
0≤ln(1−(−))[(1+]))[]≤1−22or1−2222=1−222→×1+00=0
[ ]
Par le théorème des gendarmes : ln(1−[(](−)1))[(1+]())[]→s 1u(i 0p([](−))1)[(]()[ ]1
−1+)→.

4.

Or (1+)[]=expln(1+)=expln(1+)→e
      


donc (1−[[](])())→e−11o r−[[](]())=1−[1]()−1 donc 1−[]()→1e1et enfin
+
−1
e
[]()→1−1+e1=1+−e1=1+(1−1)e−(ouf).
−1−1
+
est définie et dérivable surℝ.
()′()(1( ))
′ = − = −. . leest solution de l’é
()2quation différentiel′=(1−)
Cette équation a déjà été résolue en I.3, donc on peut dire qu’il existeλ∈ℝtel que pour tout∈ℝ+,

()=1+λe
.
1 .
Puisque(0)=, on aλ=(−1) puis()=1+(−)e−et enfin()=1+(1−1)e−

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