Correction : Analyse, Séries de Engel

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Correction

d’après problème Ensemble Cachan option économie année 2004.
1.a11 (11 1)+11)1(+1
=∑=0+=−1−1= −− .1→1− ac r1≥2 donc 1<1 .
1.b+1=+1≥donc ( croissante. Pour tout) est∈ℕ,≥2 donc
0…+1
 ( 11 1+1
≤=∑2+1=2−1−21)12= ( La suite1 . croissante et majorée, elle converge donc vers un) est
0
certain réel. Puisque0≤≤ à la limite1 ,0≤≤1 or0>0 donc∈0,1 .
 
2.a Avec les notations du 1.,() lim= 11 1
=→+ +
∞.=∑001…≤∑=00 1=0−1ra c 1,…,≥0. A la
limite, on obtient(≤1>donc0−1≥0d’où()≤1m
)0−1 r.O 0 00ais()≥10+011>10
donc()<() .

2.b

3.a

3.b

3.c

4.

Supposons≠et considéronsℓle plus petit indice tel queℓ≠ℓ. Quitte à échangeret, on peut
1
supposerℓ>ℓ. Notons=∑=…et=∑=…1. Pour≥ℓ, on a
00 0 0
11
=1∑ t e1=∑avec0…ℓ−1=0…ℓ−1≠0 . Comme dans la
0…ℓ−1=ℓℓ…0…ℓ−1=ℓℓ…
 
question 2.a, puisqueℓ>ℓ, on al→i+m∞∑1<li→m+∞∑1donc()<() . Finalement
=ℓ ℓ…=ℓ ℓ…
≠⇒()≠() .
Montrons par récurrence sur∈ℕla propriété :()=«existe et∈0,1 ».
La propriété est bien entendu vraie au rang 0. Supposons la vraie au rang≥0 .
Par hypothèse de récurrenceexiste et>0 donc=(1+1 et par suite) existe+1=−1
aussi. Comme≤1+1<+ on a1 ,≤+1<+car>0 . La première inégalité
donne+1=−1≤≤ la seconde donne1 et+1=−1>0 . Ainsi+1∈ la récurrence0,1 et
est établie. De plus, durant la démonstration de celle-ci, on a vu+1≤ce qui assure la décroissance de
la suite () .
=0=1+1=1+1+1=…=1+1+ +1+.

00001010 0 1 0…1 0…1
Considérons=()∈ℕ.est une suite d’entiers,0=(1+10)≥2 car0=≤ enfin1 etest
une suite croissante car=(1+1 ( que la suite) et décroissante. Comme) est

=autrement dit
−∑=00…1≤0…≤0…1≤21→0 , on peut affirmerl→i+m∞=∑00…1
()=. Comme ceci vaut pour tout∈0,1 , on conclut queest surjective (et finalement bijective).
On reprend les notations du 1.
(⇐ qu’il existe) Supposons∈ℕtel que pour tout≥,=. On a alors, pour tout≥,
1 1 1 1−
=+ +⋯+  +∑1donc
0 0 1 0 1…01… =1
=lim=10+011+⋯+0 11+0 11(1)∈ℚ.
→ …  … 
+∞−
(⇒) Supposons∈ℚ. On peut écrire= avec,∈ℕ En reprenant les notations du 3.,* .
montrons par récurrence qu’on peut écrire=avec∈ℕ* . Au rang 0, la propriété est vraie et si

elle est vraie au rangalors+1=−1=(−)=+1avec+1entier qui est
nécessairement strictement positif car+1 (l’est. La récurrence est établie. Puisque la suite) est
décroissante, la suite de terme général=aussi, or c’est là une suite d’entiers naturels, elle estl’est
donc stationnaire et il en est de même de la suite ( () . Il en découle que la suite) définie par
=(1+−1 elle aussi stationnaire et l’implication est démontrée.) est

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