Correction de Devoir Libre N°11

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le mardi 2 avril 2013 ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚11 `PROBLEME 1 1. La preuve sera par r´ecurrence sur n∈N. 2• Initialisation : lorsque n = 0, on a par construction P (X) = 1 et1 1+P (X)P (X) car P = 0.

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le mardi 2 avril 2013
´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚11
`PROBLEME 1
1. La preuve sera par r´ecurrence sur n∈N.
2• Initialisation : lorsque n = 0, on a par construction P (X) = 1 et1
1+P (X)P (X) car P = 0.0 2 0
2• H´er´edit´e : soit n ∈ N tel que P = 1 + P P . Alors parn n+2n+1
construction, P s’exprime `a l’aide de P et P , il s’ensuitn+3 n+2 n+1
que Par hypoth`ese,
21−P =−P P .n n+2n+121+P P = 1+P [XP −P ] = 1−P +XP Pn+1 n+3 n+1 n+2 n+1 n+1 n+2n+1
2= −P P +XP P =P [XP −P ] =Pn n+2 n+1 n+2 n+2 n+1 n n+2
2• Conclusion : on a montr´e que ∀n∈N, P = 1+P P .n n+2n+1
2. Soit n ∈ N, d’apr`es la question pr´ec´edente 1 = P P −P P .n+1 n+1 n n+2
Posons U =P et V =−P , on a donc ´etabli que 1 =U P +n n+1 n n+2 n n+1
V P . D’apr`es le th´eor`eme de Bezout, c’est dire que P et P sontn n n n+1
premiers entre eux.
3. Montrons par r´ecurrence sur n∈N que
P(n) ∀m∈N, P =P P −P Pm+n n m+1 n−1 m
• Initialisation : lorsque n = 1, v´erifions queP(1) est vraie. Soit
m∈N, on a bien P = 1×P −0×P .m+1 m+1 m
• H´er´edit´e : soit n≥ 1 tel queP(n). On a alors On peut appli-
quer l’hypoth`ese de
P = P =P P −P Pm+n+1 n+(m+1) n m+2 n−1 m+1 r´ecurrence avec m+1.
= P [XP −P ]−P Pn m+1 m n−1 m+1
= P [XP −P ]−P Pm+1 n n−1 n m
= P P −P Pn+1 m+1 n m
• Conclusion : la propri´et´eP(1) est vraie et la propri´et´eP est
h´er´editaire. Par r´ecurrence sur n∈N , on a montr´e que
∀(m,n)∈N×N , P =P P −P Pm+n n m+1 n−1 m
4. Soit(m,n)∈N×N .D’apr`eslaquestionpr´ec´edente,P =P P −m+n n m+1
P P .n−1 m
Notons D =PGCD(P ,P ) et Δ =PGCD(P ,P )m+n n n m
• Comme Δ divise P et P , il doit diviser P P − P P =n m n m+1 n−1 m
P . Parcons´equent, Δ est un diviseur commun deP et deP ,m+n n m+n
il divise donc D =PGCD(P ,P ).n m+n
1
⋆⋆⋆⋆• R´eciproquement, comme D divise P et P , il divise P P .m+n n n−1 m
Or P et P sont premiers entre eux donc a fortiori D et Pn n−1 n−1
sont premiers entre eux. Ainsi D divise P P et il est premiern−1 m
avec P . D’apr`es le th´eor`eme de Gauss, D doit diviser P .n−1 m
Ainsi D est un diviseur commun `a P et `a P , il divise doncn m
Δ =PGCD(P ,P ).n m
• Finalement, D et Δ sont deux polynˆomes unitaires et associ´es, ils
sont donc ´egaux :
PGCD(P ,P ) =PGCD(P ,P )m+n n n m
`A pr´esent, si m =nq+r, en it´erant q fois la propri´et´e ci-dessus, on
obtient :
PGCD(P ,P ) = PGCD(P ,P ) =PGCD(P ,P )m n r+nq n r+(n−1)q+n n
= PGCD(P ,P ) =PGCD(P ,P )r+(n−1)q n r+(n−2)q+n n
= ··· =PGCD(P ,P )r n
5. Effectuons l’algorithme d’Euclide pour le calcul de n∧m : il existe
une famille d’entiers a ,a ,...,a telle que a =n,a =m, a est le0 1 r 0 1 r+1
premier terme nul et pour tout k ∈ [[0,r−1]], a est le reste de lak+2
division euclidienne de a par a :k k+1
a =q a +ak k+1 k+1 k+2
Dans ces conditions, on sait que a = n ∧ m. De plus, d’apr`es lar
question pr´ec´edente,

PGCD P ,P =PGCD P ,P .a a a ak k+1 k+1 k+2
Par it´eration, il vient alors :
PGCD(P ,P ) = PGCD(P ,P ) =PGCD(P ,P )n m a a a a0 1 1 2
= ··· =PGCD(P ,P ) =P =Pa a a n∧mr r+1 r
Ainsi PGCD(P ,P ) =P Nn m n∧m
2

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