Correction de Devoir Surveillé N°02

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 20 octobre 2012 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚02 EXERCICE 1 On se propose de simplifier l’expression de la fonction d´efinie par 33x+x f(x) = Argth . 21+3x 1. Lafonction Argth est d´efinie sur ]−1,1[.Lafonctionf est bien d´efinie 33x+x si ∈]−1,1[. Or, pour toutx∈]−1,1[, on a les ´equivalences : 21+3x 3 3x+x 3 2 0.(EC)admetdeuxracinesdistinctesα±β.Parcons´equent, les solutions de (H ) sur R sont les fonctions d´efinies par2 (α+β)x (α−β)xh(x) =C e +C e1 2 Si Δ = 0, (EC) admet α comme racine double. Par cons´equent, les solutions de (H ) sur R sont les fonctions d´efinies par2 αxh(x) = (C +C x)e1 2 SiΔ 0, f (t) =f(1/t) (F )1 + 11. Soit f : R → R une fonction de classeC v´erifiant (F ). Comme f1 v´erifie (F ), f apparait comme compos´ee de deux fonctions de classe1 1+1C sur R x →f(x) et t →. Par composition, il en r´esulte que f t + +1 2est de classeC sur R , autrement dit, f est de classeC sur R .N 10 ′⋆⋆′⋆′⋆′⋆⋆⋆ +2. Comme f v´erifie (F ), nous avons pour toutt∈R :1 f (t) =f(1/t) D’apr`eslaquestion p´ec´edente, nouspouvons d´eriver cette´egalit´eentre 1fonctions de classeC . Il vient : 1 1 f (t) =− f (1/t) =− f(t) 2 2t t +Ainsi, f est solution sur R de l’´equation d’Euler : 2(F ) T y +y(t) = 02 N 3. Effectuons le changement de variablex = lnt. Avec les notations de la question 2, nous avons ici a = 0, b = 1 de sorte que Δ = 1−4 =−3,√ 1 3 α = et β = .
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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 20 octobre 2012
´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚02
EXERCICE 1
On se propose de simplifier l’expression de la fonction d´efinie par
33x+x
f(x) = Argth .
21+3x
1. Lafonction Argth est d´efinie sur ]−1,1[.Lafonctionf est bien d´efinie
33x+x
si ∈]−1,1[. Or, pour toutx∈]−1,1[, on a les ´equivalences :
21+3x

3 3x+x 3 2 < 1 ⇐⇒ |3x+x |< 1+3x 21+3x
2 3⇐⇒ 0< 1−3|x|+3|x| −|x|
3⇐⇒ 0< (1−|x|)

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