Cours de français des sciences physiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Modélisation des efforts sur un point matériel - Forces et moments des forces

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Cours de français des sciences physiques de l'Ecole centrale de Pékin pour préparer les élèves chinois à l'étude de la physique en français. Ce cours est composé de 6 chapitres : (1) Présentation générale de la physique (2) Espace et temps (3) Repérage dans l'espace, coordonnées orthogonales (4) Masse et centre d'inertie ; éléments de calcul intégral, scalaire et vectoriel (5) Eléments cinétiques et dynamiques d'un système matériel (6) Modélisation des efforts sur un point matériel ; forces et moments des forces
Publié le : mardi 1 janvier 2008
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Chap.6-FORCES ET MOMENTS DE FORCEPage1  中法工程学院 ÉCOLE CENTRALE DE PÉKIN  FRANÇAIS DE LA PHYSIQUE  Chapitre 6  MODÉLISATION DES EFFORTS SUR UN POINT MATÉRIEL FORCES ET MOMENTS DE FORCES   6.1 EFFORTS SUR UN POINT MATÉRIEL
 6.1.1 Modélisation vectorielle, vecteur force [P,F(t)] 6.1.2 Additivité des forces sur un point matériel, résultante des forces  6.2 MOMENTS VECTORIELS ET MOMENTS SCALAIRES DE FORCES ] 6.2.1 Moment vectoriel au pointAd’une forceFappliquée enP,soitM(A,[P,F(t)]) 6.2.2 Moment scalaire par rapport à l’axe(A,u)d’une forceFappliquée enP,soitM((A,u),[P,F(t)]) 6.2.3 Cas d’un système de forces distribuées sur divers points P  6.3 EXEMPLES DE SYSTÈMES DE FORCES  6.3.1 Systèmes de forces équivalents 6.3.2 Système de forces concourantes, système de forces parallèles 6.3.3 Forces de pesanteur uniforme   
北航中法工程师 ECPKn Cours de Français de la physiqueYves DULAC 2006-2007 Semestre 2 Promotion 06   
Chap.6-FORCES ET MOMENTS DE FORCEPage2  6.1 EFFORTS SUR UN POINT MATÉRIEL  6.1.1 Modélisation vectoriellte, vecteur forceP,F( )  Quand on fait effort sur un système matériel, l’expérience montre que ce système matériel se met généralement en mouvement. Les efforts sont la cause des mouvements. On a découvert que les actions , les efforts sur un point matériel, étaient schématisables en termes vectoriels. On parle alors du vecteur force exercé sur le point matériel. Si celui-ci se trouve enPon dit que la force s’applique en, P (efforts ne sont pas nécessairement constants dans le temps, de sorte qu’on écrit plutôt. On remarque que les t) pour bien marquer la dépendance éventuelle en temps.  te finalement ,(s’appliquant à la datetsur le point matériel de positionP. On noP F t) la force   La droiteDpassant parPet contenant est appelé support de la force .  6.1.2 Additivité des forces sur un point matériel, résultante des forces  Il arrive que plusieurs forces s’exercent sur le même pointP. Les effets s’ajoutentvectoriellement. SiNforces N   i(t) s’appliquent enP, tout se passe comme si s’appliquait surPla seule force (t)1Fi(t) . C’est le principe i11 d’additivité vectorielle des forces. (t) est appelée la résultante des forces surP, à la datet. Rappelons que les forces s’expriment en newton (symbole N) dans le système international, en l’honneur du grand physicien britannique Isaac Newton.  6.2 MOMENTS VECTORIELS ET MOMENTS SCALAIRES DE FORCES ]  6.2.1 Moment vectoriel au pointAd’une forceFappliquée enP,soitMA([ ,F(t)]) 
 Par définition, ce moment vautA([P,F(t)])1APÙF(t) On démontre les trois théorèmes ci-dessous  ·MA([ ,F(t)])1APÙF(t)1AQÙF(t)#QPÙF(t)1AQÙF(t)1MA([Q,F(t)])      ·Si (t () est nulle ou si le support det) non nulle passe parA,alorsMA([P,F(t)])0  En effet dans ces casAPet(t)sont colinéaires d’où le résultat. ·B([P,F(t)],t)1BPÙF(t)1BAÙF(t)#APÙF(t)1MA([P,F(t)],t)#F(t)ÙAB  6.2.2 Moment scalaire par rapport à l’axeD=(A,u)d’une forceFappliquée enP, 
      Par définition, ce moment scalaire vautM(A,u)([P,F(t)])1PÙF(t).u1u.APÙF(t)1(AP,F(t),u) )  Il s’agit donc du déterminant des trois vecteursP, etu, dans cet ordre. On démontre alors les quatre théorèmes ci-dessous de façon analogue à ce qui a été fait au § 6.2.1  ·SiQ ¹ P (est un autre point du support det),alors  (A,u)([P,F(t)])1M(A,u)([Q,F(t)])   ·  ·
 ·
SiB ¹ Aest un autre point de l’axe D, alors  (A,u)([P,F(t)])1M(B,u)([P,F(t)])   Si (t) est nulle ou si le support de (t) non nulle rencontre l’axeDou lui est parallèle, alors   M(A,u)([P,F(t)]) 0 EnfinM(B,u)([P,F(t)])1M(A,u)([P,F(t)])#(t)ÙAB.u  
(A,u)([P,F(t)]) 
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Chap.6-FORCES ET MOMENTS DE FORCEPage3  6.2.3 Cas d’un système de forces distribuées sur divers points P  La généralisation est immédiate par principe d’additivité des forces et des moments.  Si on considère des forces distribuées sur un ensemble de pointsP, de massedm(P), à raison dedF(P,t) à la datet, on peut définir la résultante et les moments résultants  La résultante de ce système de forces est(ensemble des[P,dF(t)])PÎensembledF(P,t)  1    Son moment en A vaut alorsA(ensemble des[P,dF(t)])1PÎensembleAPÙdF(P,t) Enfin son moment par rapport à l’axeD= (A,u)vaut  M(A,u)(ensemble des[P,dF(t)])1PÎensembleAPÙdF(P t).u1PÎensemble(AP,dF(P,t),u) , On démontre alors aisément les théorèmes ci-dessous    ·MB(ensemble[P,dF(t)])1MA(ensemble[P,F(t)])#(t,ensemble)ÙAB ·M(B,u)(ensemble[P,dF(t)])1M(A,u)(ensemble[P,F(t)])#(t,ensemble)ÙAB.u  6.3 EXEMPLES DE SYSTÈMES DE FORCES  6.3.1 Systèmes de forces équivalents  On dit que deux systèmes de forces sont équivalents s’ils ont d’abord même résultante puis même moment vectoriel en un pointA. On déduit du théorème démontré en § 6.2.1 que s’ils ont même moment vectoriel en un pointA, ils ont même moment vectoriel en tout autre pointB ¹ A.  6.3.2 Système de forces concourantes, système de forces parallèles  On considère un ensemble de forcesiappliquées en les divers pointsAi: si leurs supports, caractérisés par le vecteur unitaireui, sont des droites concourantes (se coupant ) en un point uniqueA, alors on parle de systèmes de forces concourantes enA.  On considère un ensemble de forcesiappliquées en les divers pointsAi: si leurs supports, caractérisés par un vecteur    unitaireuunique (tels quei1Fiu des droites parallèles :) sontFiest la coordonnée deile long deualors on parle de systèmes de forces parallèles àu.  On démontrera alors en TD les théorèmes ci-dessous  ·Un système de forces concourants enAest équivalent à une force unique, appliquée enA, dont la résultante est la somme vectorielle des forces composantes.  N1 Soit1Fila somme des forces composant le système de forces.2 i11 Si on applique enA moment en, sonAest nul, comme celui du2 1N N   
système de forcesAAiFi10 ce qui assure la démonstration i11 du théorème ci-dessus.         
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·Un système de forces parallèles àude somme non nulle, est équivalent à une force unique, appliquée enG, barycentre desAipondérés desFila résultante est la somme vectorielle des forces composantes.dont    1  1   22u   3  3     N    i1Fiu SoitGle barycentre desAiaffectés des coefficientsFi. N N N        CalculonsGAiFi1GAiÙFiu1FiGAiÙu10 par définition du barycentreG. i11i11i11 Cela assure la démonstration du théorème ci-dessus.
  6.3.3 Forces de pesanteur uniforme     Un système plongé dans un champ de pesanteur uniforme%g kz le vecteur champ de pesanteur,où estgest l’intensité de la pesanteur etkle vecteur unitaire vertical ascendant (le contraire de descendant). est bien descendant,
vers le bas, le même partout (il est uniforme). Chaque élémentdm(P)du système matériel est donc soumis à l’élément de forcedm(P) : le tout forme un système de forces parallèles donc équivalent à une force uniquem(S appliqué en le barycentre de la pesanteur) ,Gp (barycentre desPpondérés des des –dm g), donc aussi le barycentre des masses, le centre d’inertieG, car un champ uniforme est de normeguniforme. En effet, le barycentre de la pesanteur estGpest défini par  OGp%11mgPÎSOP[%dm(P)g] 11mPÎSOP[dm(P)] 1OGet doncGp º G.   
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