Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Sommes et Produits

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Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction
Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Sommes et Produits
  I – Généralités
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SOMMES ET PRODUITS
ECS 1
1) Définitions Définition : Une famille d’éléments d’un ensembleE par un ensemble non indexée videIest une application deIdansEdont les images sont notées :ixi. La famille est alors notée (xi)i I.  C’est par exemple le cas des suites lorsqueIouI* . On suppose queE un ensemble sur  estlequel on peut faire des additions (réels, complexes, vecteurs, fonctions, ..) Notation : SoitIun ensemble non vide (en général une partie de).      iest la somme desipour tous les indicesi I(si elle existe). iI n  SiIp,n, on note :ioui(somme den p1 termes). ip pin 6 Exemple: SiI1,4,9, alors :xix1x4x9. Etxix4x5x6. iI i4 On peut remarquer queiest un indice muet :ixjxk…. iI jI kI On suppose queEun ensemble sur lequel on peut faire des produits.est Notation :iest le produit desipour tous les élémentsi I(s’il existe). iI n  SiIp,n, on note :ioui(somme den p1 termes). ip pin Les remarques sont les mêmes. 2) Propriétés Propriétés liées aux opérations : i xi (iyi)xjiy iI iI iI iI iI CardI i xi    iyixiyi iI iI iI iI iI MAISon ne peut rien dire dexiyi (et dexiyi) . iI iI n n n Exemple: 13...(2n1)(2k1)2k1n(n1)(n1)(n1)2. k0k0k0 Propriétés liées aux indices : n q n ixixisiI J          ixiix(Relation de Chasles) iIJ iI iJ ip ip iq1 n q n ixiixsiI J        ixixi(Relation de Chasles) iIJ iI iJ ip ip iq1
Sommes et Produits - 2 - ECS 1 10 10 4 Exemple:111315171921(2k1)(2k1)(2k1)1125296 . k5k0k0  Changements d’indice : n n nq nq En posantj iq:ixj q     ixj q ip jpq ip jpq n n n n En posantj pni:xixp nj     xixn pj ip jp ip jp Plus généralement, si est une application bijective deI dansJ, alors on peut effectuer le changement d’indicej(i) :    xix1(j)   xix1(j)  iI jJ iI jJ 10 5 5 5 5 Exemple:(2k1)[2(j5)1](2j11)2j115661196 . k5j0j0j0j0 3) Cas particuliers à connaître Le premier est le cas où la famille est constante : n n Sip n:a(np1)a  aan p1 ip ip En effet la famille comprend (n p1) termes. Le deuxième est le cas des sommes ou des produits télescopiques. 5 Exemple:[(k1)2k2](3222)(4232)(5242)(6252)622232 . k2 Exem l:52 3 4 5 2 1 p e k2kk1345663. n n Une somme télescopique est une somme de la forme(xi1xi) ou(xixi1) . ip ip n n n n1n Elles sont opposées et :(xi1xi)xi1xixjxj. ip ip ip jp1jp On posej i1 dans la première somme etj i la deuxième. Donc avec la dans n relation de Chasles :(xi1xi)xn1xp ip n . Une produit télescopique est un produit de la formeinxxii1ouxi p ipxi1 nx x n Ils sont inverses, et on raisonne comme pour les sommes :i11 ipxixp
II – Exemples usuels 1) Produit usuel n Il y a un seul produit usuel : la factorielle d’un entiern!k 1avec 0! k1 La relation de Chasles donne la propriété principale :n(n1)! (n1)n!
Sommes et Produits - 3 - ECS 1 quence :n n Consénkk!(nn!k)! (n1k)!j k1kj!1j n kj1      le:99836 et  Exemp72!93983!784 . 2) Sommes usuelles s : Sommes usuelleknkn(n    1 ) 2nk2n(n1)(2n1)kn1k3n2(n41)2 1k16 nk1n1n           x six1kn1 six1 1k0k0 Démonstration :  kn1kjn1(n1j)jn1(n1)jn1jn(n1)kn1k. Doncknkn(n .1)2 1 n  [(k1)3k3](n1)31n(n23n3) k1 n1[(k1)3k3]n1(3k23k1)3n1k23n1kn113n1k23n(n21)n kkkkkkn nk n n3 3 n nn n n(2n1) Donck2131(23)(12)(61) n  [(k1)4k4](n1)41n(n34n26n4) k1 n n n n n n [(k1)4k4](4k36k24k1)4k36k24k1 k1k1k1k1k1k1 n n 4 [(k1)k4]4k3n(n1)(2n1)2n(n1)n k1k1 kn1k314[n(n34n26n4)n(n1)(2n1)2n(n1)n]n2(n41)2 n n k k k1n1  (1)x(xx)1x (somme télescopique) k0k0 Les expressions s’en déduisent. n n Binôme de Newton : (ab)nk0knakbnkk0nkankbk La démonstration se fait par récurrence surn. ences :nn2netn)kn0 Conséquk0kk0( 1k3) Sommes déduites par dérivation Si une somme a deux expressions, sa dérivée a aussi deux expressions. n n Exemple 1: Six on a :1 ,f xxkx1 ( )k011x. n k n  n nn Donc :f'(x)kx1(n1)x(1(1xx))2(1x1)1 (n1()1xx)2nx1 k0 
Sommes et Produits - 4 - ECS 1 f"(x)nk(k1)xk2[n(n1)xn1n(1)xn](1x)22(1x)[1(n1)xnnxn1] Et4 k0(1x) 1 2 1 Donc :f"(x)knk(k1)xk22n(n1)xn(2(n1x)n31)xnn(3n)xn 0 nn Exemple 2:f(x)k0kxk(1x)nd’après le binôme de Newton. Donc :f'(x)nkkknxk1n(1x)n1etf"(x)knk(k1)nkxk2n(n1)(1x)n2 0 0 III – Sommes doubles Lorsque l’on indexe sur une partie de2, la famille indexée est notée (xi,j)(i,j)Iou (xi,j)(i,j)IJsi on veut séparer les valeurs deiet dej. Dans le cas d’une double sommation, les choses se compliquent car on peut commencer à sommer sur le premier indice ou sur le second. On ne donnera que quelques exemples usuels d’interversion des sommations. n m m n i j xi j xi,j (sommation par colonnes ou par lignes) , , pin ip jq jq ip qjm n n n j i,j xi,j xi,j(sommation au dessus de la diagonale) pijn ip ji jp ip n1 jn n1 i,j xi,j xi,j chose avec la diagonale exclue) (même pijn ip ji1jpi1p :n pi jn pip np(p1) Exemple 1 i1j1()i1j1j1ji1pi2npijpninp(p1)np(n1)pn(p1)np(np2) i1j1( )i1i1 22 2 2 Exemple 2: 1èreméthode ijnj1ijnj1ij1jn jj j j 1ijn( )j2i1( )j2i1i1j2)21((1) ijn(i j)23jnj(j1)23jnj2njj23n(n21)(6n1)1n(n21)1 1 2 2 2 Donc : (ij)n(n21)(n .)1 1 ni j (ij)(i j)i j Exemple 2: 2èmeméthoden1n n1nn 1ijn i1ji1i1ji1ji1 1ijn(ij)in11i(ni)jn1jji1jin11i(ni)n(n21)i(i21)    1ijn(ij)ni11n(n21)2n21ni11i23ni11i2 
Sommes et Produits
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nn nn  1j n(ij)(n1)n(n1)2221)2(123(n612)(n1) i  On retrouve :(ij)n(n1)(n)1 . 1ijn2
ECS 1
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