Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Fonctions de deux variables

98 lecture(s)
Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

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Fonctions de deux variables - 1 - ECS 1
FONCTIONS NUMERIQUES DE DEUX VARIABLES


L’objectif de ce chapitre est de construire pour les fonctions de deux variables des
outils analogues à ceux des fonctions d’une variable (limites, continuité, dérivées, …)
en particulier pour déterminer un maximum ou un minimum. Pour cela, il faut définir
des limites, et donc quelque chose qui remplace la valeur absolue.
2I – Topologie sur
2Pour définir une topologie sur , on va s’appuyer sur des interprétations
r r
géométriques dans le plan. En effet lorsque l’on définit un repère (O,i , j) dans le
2plan, on crée une bijection entre et l’ensemble des points du plan ou l’ensemble uuuur
des vecteurs du plan : (x, y)a M ou OM où M a pour coordonnées (x, y) .
uuuur
On identifiera le couple (x, y) , le point M et le vecteur U = OM . Chaque élément de
2 pourra donc être interprété soit comme un point ou soit comme un vecteur.
uuur
2Si A et B sont deux points de , le vecteur est donc égal à . AB B− A
1) Droites et segments
2Définition : Si A et U sont deux éléments de et si U ≠ 0 , on appelle droite affine passant
uuuur
2par A et de vecteur directeur U l’ensemble des points M de tels que AM soit colinéaire
2au vecteur U : d = {M ∈ /∃t∈ M = A+ tU} . A,U
L’application de dans d : t a A+ tU est une bijection appelée paramétrage de d . A,U A,U
2Si A et B sont deux points distincts de d . , la droite (AB) est A,B−A
2On a : (AB)= {M ∈ /∃t∈ M = (1− t)A+ tB} .
La bijection est évidente car U ≠ 0 .
Il existe bien sûr une infinité de paramétrages d’une même droite.
On a : d = d si et seulement si B− A et V sont colinéaires à U. A,U B,V
2Théorème : Une partie D de est une droite affine si et seulement si il existe des
2réels a, b et c avec (a,b)≠ (0,0) tels que : D= (x, y)∈ / ax+ by+ c= 0 . { }
L’équation ax+ by+ c= 0 est appelée équation cartésienne de D.
2Démonstration : Si D= (x, y)∈ / ax+ by+ c= 0 , l’équation équivaut à M = A+ tU { }
c x 
• Si b≠ 0, avec : A= 0,− , U = (b,−a) et t = .  
b b 
c y 
• Si a≠ 0 , avec : , et . A= − ,0 U = (b,−a) t =− 
a a 
Réciproquement, si D = d avec A= (x , y ) et U = (α,β) où U ≠ (0,0) , on a : A,U A A
x− x = tα A
M ∈ D si et seulement si ∃t∈ M = A+ tU , donc si ∃t∈ , donc 
y− y = tβ A
si β(x− x )−α(y− y )= 0 , donc une équation de la forme ax+ by+ c= 0 avec A A
(a,b)≠ (0,0) car U ≠ (0,0) . Fonctions de deux variables - 2 - ECS 1
2Définition : Si A et B sont deux éléments de , on appelle segment [A, B] l’ensemble des
2 2points M de défini par : [A, B]= {M ∈ /∃t∈[0,1] M = (1− t)A+ tB}.
L’application de dans : est une bijection appelée paramétrage [0,1] [A, B] t a (1− t)A+ tB
du segment [A, B].
Remarque : On peut écrire indifféremment (1− t)A+ tB ou tA+ (1− t)B , ce qui
revient à changer t en 1− t . Donc : [A, B]= [B, A].
2) Produit scalaire usuel
2
Définition : On appelle produit scalaire usuel sur l’application qui à tous vecteurs
2U = (x, y) et V = (x ', y ') de associe le réel < U ,V >= xx '+ yy '.
Ce produit scalaire a été étudié dans le secondaire.
Propriétés :
2
- Pour tous vecteurs U et V de : < U ,V >=< V ,U > (Symétrie).
- Bilinéarité : U a< U ,V > et V a< U ,V > sont des formes linéaires.
2- Pour tout vecteur U de : < U ,U > ≥ 0 .
2
- Pour tout vecteur U de : < U ,U > = 0⇔ U = 0 .
Les démonstrations sont évidentes. La bilinéarité signifie :
2- pour tout α réel et tous U , U et V de : <αU +U ,V >=α< U ,V >+< U ,V > . 1 2 1 2 1 2
2- pour tout α réel et tous U, V et V de : <αU +U ,V >=α< U ,V >+< U ,V > . 1 2 1 2 1 2
On dit que (U ,V )a< U ,V >= xx'+ yy' est une forme bilinéaire, définie et positive.
2
En fait, toute application de dans qui vérifie ces propriétés est appelée produit
scalaire. Et (U ,V )a< U ,V >= xx'+ yy' n’en est qu’un exemple. En deuxième année,
vous verrez d’autres produits scalaires.
Conséquence : (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
2 Pour tous vecteurs U et V de : < U ,V > ≤ < U ,U >< V ,V > .
Il y a égalité si et seulement si U et V sont colinéaires.
Démonstration : . ∀λ∈ <λU −V ,λU −V >≥ 0
2Donc ∀λ∈ λ < U ,U >−2λ< U ,V >+< V ,V >≥ 0 .
Si U ≠ 0 , alors < U ,U >≠ 0 , donc c’est un polynôme du second degré de signe
constant. Donc son discriminant est négatif ou nul.
2 2Donc 4(< U ,V >) − 4< U ,U >< V ,V >≤ 0 . Donc (< U ,V >) ≤< U ,U >< V ,V > .
Donc : < U ,V > ≤ < U ,U >< V ,V > .
Il y a égalité si et seulement si le discriminant est nul, donc si le polynôme admet une
racine double, donc s’il existe un réel λ tel que <λU −V ,λU −V >= 0 , donc tel que
λU −V = 0, donc tel que V =λU .
Si U = 0, alors les deux membres sont nuls et l’inégalité est vérifiée pour tout V.
Il y a donc égalité si et seulement si U = 0 ou ∃λ∈ V =λU , donc si et seulement
si U et V sont colinéaires.
3) Norme euclidienne
2Définition : On appelle norme euclidienne sur l’application qui à tout élément
2 2 2 de associe le réel : U = < U,U > = x + y . U = (x, y)
2Elle est bien sûr définie car pour tout U de : < U ,U > ≥ 0 . Fonctions de deux variables - 3 - ECS 1
L’inégalité de Schwarz devient :
2
Inégalité de Cauchy-Schwarz : Pour tous U et V de : < U,V > ≤ U × V .
Des propriétés du produit scalaire, on peut déduire les propriétés suivantes :
Propriétés :
2
- Pour tout vecteur U de : U ≥ 0 et U = 0⇔ U = 0.
2
- Pour tout vecteur U de : ∀λ∈ λU = λ× U .
2- Pour tous vecteurs U et V de : U +V ≤ U + V (inégalité triangulaire).
L’inégalité triangulaire est conséquence de l’inégalité de Schwarz :
2 2 2(U + V ) =< U + V ,U + V >=(U ) + 2< U ,V >+(V ) .
2 2
Or < U,V >≤ < U,V > ≤ U × V . Donc : (U + V ) ≤(U + V ) .
Les termes sont positifs. Donc : U +V ≤ U + V .
4) Distance euclidienne
2Définition : On appelle distance euclidienne sur l’application qui à tous points
2 et de associe le réel : A= (x, y) B= (x', y')
2 2
d(A, B)= AB = B− A = (x− x') + (y− y') .
Des propriétés de la norme, on peut déduire les propriétés suivantes :
Propriétés :
2
- Pour tous points A et B de : d(A, B)≥ 0 .
2
- Pour tous points A et B de : d(A, B)= 0⇔ A= B .
2- Pour tous points A et B de : d(A, B)= d(B, A) .
2- Pour tous points A, B et C de : . d(A,C)≤ d(A, B)+ d(B,C)
La troisième propriété vient du fait que BA=−AB , donc BA = AB .
La quatrième propriété vient de la relation de Chasles AC = AB+ BC et de l’inégalité
triangulaire. D’ailleurs elle s’appelle aussi « inégalité triangulaire ».
On en déduit une autre propriété :
2
Propriété : Pour tous points A, B et C de : d(A, B)− d(B,C) ≤ d(A,C) .
En effet : d(A, B)≤ d(A,C)+ d(C, B) et d(B,C)≤ d(B, A)+ d(A,C) .
Donc : et . d(A, B)− d(B,C)≤ d(A,C) d(B,C)− d(A, B)≤ d(A,C)
Donc : d(A, B)− d(B,C) ≤ d(A,C) .
5) Boules
2Définition : Soit A un point de et un réel r > 0 :
2- L’ensemble B(A, r)={M ∈ / d(A, M )< r} est appelé boule ouverte de centre A
et de rayon r.
2- L’ensemble B (A,r)={M∈ / d(A, M )≤ r} est appelé boule fermée de centre f
A et de rayon r.
2
Si A= (a,b) , on obtient l’ensemble des points M = (x, y) de tels que
2 2 2 2(x− a) + (y− b) < r (ou ≤ r ), c’est-à-dire un disque ouvert (ou fermé) du plan. Fonctions de deux variables - 4 - ECS 1
Propriétés :
a) L’intersection de deux boules B(A, r ) et B(A,r ) de même centre A est la boule 1 2
B(A, r) de centre A et de rayon r = Min(r , r ) . 1 2
2b) Si A et A sont deux points distincts de , il existe un réel r > 0 tel que 1 2
B(A ,r)∩ B(A , r)= . 1 2
c) Pour tout point M d’une boule ouverte B(A, r) , il existe un réel ε> 0 tel que la
boule ouverte B(M ,ε) soit entièrement contenue dans B(A, r) .
Démonstration : La propriété a) est évidente.
1
Pour la propriété b), il suffit de prendre r = d(A , A ) . 1 2
3
En effet, pour tout point M∈ B(A ,r) et tout point N∈ B(A , r) , on a : 1 2
d(A , A )≤ d(A , M )+ d(M , N)+ d(N, A )≤ 2r+ d(M , N) . Or d(A , A )= 3r . 1 2 1 2 1 2
Donc : d(M , N)≥ r > 0 . Donc M ≠ N . Donc B(A ,r)∩ B(A , r)= . 1 2
1
Pour la propriété c), il suffit de prendre ε= [r− d(A, M )] (> 0 car d(A, M )< r ).
2
Pour tout N∈ B(M ,ε) , on a : d(A, N)≤ d(A, M )+ d(M , N)< d(A, M )+ε .
Or d(A, M )= r− 2ε . Donc : d(A, N)< r−ε< r . Donc N∈ B(A, r) .
On peut remarquer que cette propriété est fausse pour les boules fermées. En effet, si
M appartient à la frontière de B(A, r) , c’est-à-dire si d(A, M )= r , toute boule de
centre M et de rayon ε contient des points extérieurs à B(A, r) , par exemple le point
ε
N défini par MN = AM et donc n’est pas contenue dans B(A, r) .
2r
6) Parties ouvertes et fermées
Par analogie avec la propriété c) précédente, on généralise la notion d’« ouvert ».
2Définition : Une partie D de est ouverte si D= ou si pour tout M ∈ D , il existe
une boule ouverte de centre M contenue dans D.
C’est-à-dire : D= ou : ∀M ∈ D ∃ε∈]0,+∞[ B(M ,ε)⊂ D .
Exemples :
2 2
• et sont des parties ouvertes de .
2
• Les boules ouvertes sont des parties ouvertes de .
2 2
• Les demi-plans {(x, y)∈ / ax+ by+ c> 0} et {(x, y)∈ / ax+ by+ c< 0} sont
2 2des parties ouvertes de . Montrons le pour D={(x, y)∈ / ax+ by+ c> 0}.
Soit M ∈ D , donc ax + by + c> 0 . Soit B(M ,ε) une boule ouverte de centre M. M M
Pour tout N∈ B(M ,ε) , on a : x − x ≤ d(M , N)<ε et y − y ≤ d(M , N)<ε . N M N M
Pour tout réel z, z = Max(z,−z) , donc − z≤ z , donc z≥− z .
Donc : (ax + by + c)− (ax + by + c)≥− a(x − x )+ b(y − y ) . N N M M N M N M
Or : a(x − x )+ b(y − y ) ≤ a x − x + b y − y <ε( a + b ) . N M N M N M N M
Donc : ax + by + c≥ (ax + by + c)−ε( a + b ) . N N M M
ax + by + c 1M MDonc si ε= , alors ax + by + c≥ (ax + by + c)> 0 . N N M M
2( a + b ) 2
Donc il existe ε> 0 tel que tout N∈ B(M ,ε) appartienne à D : B(M ,ε)⊂ D .
2 2
Donc D={(x, y)∈ / ax+ by+ c> 0} est une partie ouverte de . Fonctions de deux variables - 5 - ECS 1
2
• Mais les boules fermées ne sont pas des parties ouvertes de .
Par contre, si D est le complémentaire d’une boule fermée B (A, r) , c’est-à-dire si f
2D={M ∈ / d(A, M )> r}, on peut montrer que D est une partie ouverte.
1
En effet, pour tout M ∈ D on peut poser ε= [d(A, M )− r] (donc > 0 ).
2
Alors : ∀N∈ B(M ,ε) d(A, M )≤ d(A, N)+ d(N, M )< d(A, N)+ε .
Donc d(A, N)≥ d(A, M )−ε . Or : d(A, M )= r+ 2ε . Donc : d(A, N)≥ r+ε> r .
Donc N∈ D . Donc ∀M ∈ D ∃ε∈]0,+∞[ B(M ,ε)⊂ D .
2Donc D est une partie ouverte de .
On en déduit une généralisation de la notion de « fermé ».
2 2Définition : Une partie D de est fermée si son complémentaire D = − D est
2une partie ouverte de .
Exemples :
2
• Les boules fermées sont des parties fermées de .
2 2
• et sont des parties à la fois ouvertes et fermées de .
2 2
• Les demi-plans {(x, y)∈ / ax+ by+ c≥ 0} et {(x, y)∈ / ax+ by+ c≤ 0} sont
2des parties fermées de .
Propriétés :
a) La réunion d’un nombre fini ou infini de parties ouvertes est une partie ouverte.
b) L’intersection d’un nombre fini de parties ouvertes est une partie ouverte.
Démonstration :
2
a) Soit (D ) une famille d’ouverts de et D= D . Si D=, alors D est un i i∈I U i
i∈I
ouvert. Sinon, soit M ∈ D . Donc il existe i∈ I tel que M ∈ D . Comme D est un i i
2ouvert de , il existe un réel ε> 0 tel que B(M ,ε)⊂ D . Or D ⊂ D . Donc i i
B(M ,ε)⊂ D . Donc D est un ouvert.
n
2b) Soit (D ) une famille d’ouverts de et D= D . Soit M ∈ D . Donc pour i 1≤i≤n iI
i=1
2tout i∈P1,nT, on a M ∈ D . Comme, pour tout i∈P1,nT, D est un ouvert de , i i
n
il existe un réel ε > 0 tel que B(M ,ε )⊂ D . Donc B(M ,ε )⊂ D . Or on a vu i i i I i
i=1
n
que B(M ,ε )= B(M ,ε) si ε= Inf (ε ,...,ε ) . Comme les ε sont en nombre I i 1 n i
i=1
fini, ε est l’un des ε et donc ε> 0 . Donc B(M ,ε)⊂ D . Donc D est un ouvert. i
Remarque : Par contre, dans le cas d’une intersection d’un nombre infini d’ouverts, le
minimum ε ne serait pas forcément atteint et on pourrait avoir ε= 0 . Donc une
intersection d’un nombre infini d’ouverts n’est pas forcément un ouvert.
Conséquences :
a) La réunion d’un nombre fini de parties fermées est une partie fermée.
b) L’intersection d’un nombre fini ou infini de parties fermées est une partie fermée.
C’est évident par passage au complémentaire.
7) Parties bornées
2Définition : Une partie D de est bornée s’il existe un réel K tel que ∀M∈ D M ≤ K . Fonctions de deux variables - 6 - ECS 1
M = d(O, M )Or , donc cela signifie qu’il existe une boule B (O, K) contenant D. Il f
n’y a pas unicité de K, donc la boule peut être ouverte ou fermée.
Plus généralement, s’il existe une boule telle que , alors pour tout B(A, r) D⊂ B(A,r)
point M de D, on a d(O, M )≤ d(O, A)+ d(A, M ) , donc M ≤ d(O, A)+ r .
2Théorème : Une partie D de est bornée si et seulement si il existe une boule
contenant D.
Exemples :
2
• Les boules ouvertes ou fermées sont des parties bornées de .
2
• Tout segment [A, B] est une partie bornée de .
2
• Les droites et les demi-plans ne sont pas des parties bornées de .
Propriétés :
a) L’intersection d’un nombre fini ou infini de parties bornées est une partie bornée.
b) La réunion d’un nombre fini de parties bornées est une partie bornée.
L’intersection est contenue dans n’importe quelle partie, donc dans une boule.
n
Si D= D et si pour tout i∈P1,nT, les parties D sont bornées, donc s’il existe U i i
i=1
r > 0 tel que D ⊂ B(O, r ) , alors D⊂ B(O,r) avec r = Max(r ,..., r ) . i i i 1 n
8) Parties convexes
2 2
Définition : Une partie D de est convexe si : ∀(M , N)∈ D [M , N]⊂ D .
2
Cela revient à dire que : ∀(M , N )∈ D ∀t∈[0,1] (1− t)M + tN∈ D .
Exemples :
• De manière évidente, les segments et les droites sont convexes.
• Les boules ouvertes ou fermées sont convexes.
2En effet, si D= B(A, r) et (M , N)∈ D , on a : AM < r et AN < r .
Soit t∈[0,1] et P= (1− t)M + tN . Donc : AP= (1− t)AM + t AN .
Donc : AP ≤ (1− t) AM + t AN < r . Donc P∈ D .
• Les demi-plans ouverts ou fermés sont convexes.
2 2Soit D={(x, y)∈ / ax+ by+ c> 0} et (M , N)∈ D , on a ax + by + c> 0 et M M
x = (1− t)x + tx P M N
ax + by + c> 0 . Soit et donc t∈[0,1] P= (1− t)M + tN N N y = (1− t)y + tyP M N
Donc ax + by + c= (1− t)(ax + by + c)+ t(ax + by + c) . P P M M N N
Si t∈]0,1[ , tous les termes sont strictement positifs, donc ax + by + c> 0 et P P
donc P∈ D . Si t = 0 , alors P = M donc P∈ D , et si t = 1, P= N donc P∈ D .
2
• Si f est une fonction convexe, alors D={(x, y)∈ / y≥ f (x)} est convexe.
2En effet, si (M , N)∈ D , on a : y ≥ f (x ) et y ≥ f (x ) . M M N N
x = (1− t)x + tx P M N
Soit t∈[0,1] et P= (1− t)M + tN . Donc 
y = (1− t)y + ty P M N
Or la fonction est convexe, donc : f (x )≤ (1− t) f (x )+ tf (x ) . P M N
1− t ≥ 0
Donc f (x )≤ (1− t)y + ty car . Donc f (x )≤ y . Donc P∈ D . P M N P P
t ≥ 0Fonctions de deux variables - 7 - ECS 1
Il y a même équivalence entre « la fonction f est convexe » et « l’ensemble
2D={(x, y)∈ / y≥ f (x)} est convexe ».
Propriété :
L’intersection d’un nombre fini ou infini de parties bornées est une partie bornée.
Mais c’est faux pour la réunion.
2II – Fonctions définies sur
1) Graphe d’une fonction
2
Définition : Si f est une fonction définie sur une partie D non vide de , on appelle
3
graphe de f l’ensemble {(x, y, z)∈ / (x, y)∈ D et z = f (x, y)}.
3
Le graphe d’une fonction de 2 variables est donc une partie de .
3
Exemple 1 : Si f (x, y)= ax+ by+ c avec (a,b)≠ (0,0) , son graphe est un plan de .
2 2 3
Exemple 2 : Si f (x, y)= x + y , son graphe est un paraboloïde de .
2 2 3
Exemple 3 : Si f (x, y)= x − y , son graphe est un hyperboloïde de .
2) Courbes de niveau
L’exemple le plus courant est celui des cartes IGN où l’on trouve des lignes joignant
les points de même altitude en montagne.
Définition : Etant donné un réel k, on appelle courbe de niveau k d’une fonction f de
deux variables l’ensemble L ={(x, y)∈ D / f (x, y)= k}. k f
Ces courbes de niveau sont représentées dans le plan.
Bien sûr, deux courbes de niveaux différents ne se coupent pas.
Et certaines courbes de niveau peuvent être vides.
2Exemple 1 : Si f (x, y)= ax+ by+ c , alors L ={(x, y)∈ / ax+ by+ c− k = 0}. On k
obtient une famille de droites parallèles si (a,b)≠ (0,0) .
2 2 2 2 2Exemple 2 : Si f (x, y)= x + y , alors L ={(x, y)∈ / x + y = k}. On obtient k
une famille de cercles concentriques pour les réels k ≥ 0 et si k < 0.
2Exemple 3 : Si f (x, y)= xy , alors L ={(x, y)∈ / xy = k}on obtient une famille k
d’hyperboles équilatères.
x− y+ 2> 0
Exemple 4 : Si f (x, y)= ln(x− y+ 2)− ln(x+ y) , alors (x, y)∈ D ⇔ f
x+ y > 0
k x(1− e )+ 22et L = (x, y)∈ / y= . On obtient encore une famille de droites.  k k1+ e 
Elles ne sont pas parallèles, mais passent toutes par le point (−1,1) qui n’appartient pas
à l’ensemble de définition.
2III – Continuité et limites sur
1) Limite en un point
2Une fonction f est définie au voisinage d’un point A∈ si pour tout r > 0 , la boule
B(A, r) contient au moins un point de l’ensemble de définition D . On élimine ainsi f
les points isolés. La fonction peut ou non être définie en A.
Pour tout M = (x, y) , on notera f (x, y)= f (M ) pour simplifier.
2Définition : Soit f une fonction définie au voisinage de A∈ . On dit que la fonction
f admet une limite l en A si : ∀ε> 0 ∃α> 0 ∀M ∈ B(A,α)∩ D f (M )−l ≤ε . fFonctions de deux variables - 8 - ECS 1
C’est une extension de la notion de limite dans , la distance remplaçant la valeur
absolue (qui est la distance dans ).
Les propriétés sont analogues à celles des limites de fonctions d’une variable.
Théorème : Si une fonction f admet une limite en A, cette limite est unique.
Démonstration : On fait un raisonnement par l’absurde.
Supposons que f admette deux limites distinctes l et l en A. 1 2
1
Puisque l ≠l , ε= l −l est strictement positif. 1 2 1 2
3
∃α > 0 ∀M∈ B(A,α )∩ D f (M )−l ≤εDonc : . 1 1 1
Et : ∃α > 0 ∀M∈ B(A,α )∩ D f (M )−l ≤ε . 2 2 f 2
Si α= Min(α ,α ) , B(A,α)= B(A,α )∩ B(A,α ), et donc : 1 2 1 2
∀M ∈ B(u ,α)∩ D f (M )−l ≤ε et f (M )−l ≤ε . 0 1 2
l −l = [l − f (M )]+ [ f (M )−l ] a+ b ≤ a + bOr, pour tout M : et . 1 2 1 2
Donc : l −l ≤ 2ε , ce qui est absurde puisque l −l = 3ε et ε> 0 . 1 2 1 2
Donc l’hypothèse l ≠l est fausse. Il y a unicité de la limite. 1 2
On peut remarquer que c’est la même démonstration que pour les fonctions d’une
variable en remplaçant les intervalles par des boules.
Notation : On note lim f (M )=l ou lim f (M )=l .
M→A A
Les théorèmes d’opérations sur les limites finies sont les mêmes que pour les fonctions
d’une variable. Les démonstrations sont analogues en remplaçant les intervalles par
des boules.
2
Théorème : Soient f et g deux fonction définie sur une partie D de .
Si lim f (M )=l et lim g(M )=l' , alors : lim[ f (M )+ g(M )]=l+l'
M→A M→ A M→A
f (M ) l
lim f (M )g(M )=ll' lim = si l'≠ 0
M→A M→A g(M ) l'
Pour la composition des limites, il s’agit dans un sens de composer une fonction de
deux variables avec une fonction d’une variable, et dans l’autre avec deux fonctions
d’une variable.
Théorème : Si lim f (M )=l et si ϕ est une fonction définie sur une partie Δ de
M→A
telle que contienne au moins un intervalle centré en l et privé de l , et telle Δ∩ f (D)
que limϕ(x)=l' . Alors : lim (ϕo f )(M )=l'.
M→Ax→l
Là aussi, la démonstration est analogue à celle du cas d’une variable.
Démonstration : Soit ε> 0 .
limϕ(x)=l' . Donc : ∃η> 0 ∀x∈[l−η,l+η]∩Δ ϕ(x)−l' ≤ε
x→l
∃α> 0 ∀M∈ B(A,α)∩ D f (M )−l ≤ηlim f (M )=l . Donc : .
M→A
Or f (M )−l ≤η⇔ f (M )∈[l−η,l+η].
Donc : ∃α> 0 ∀M∈ B(A,α)∩ D (ϕo f )(M )−l' ≤ε .
Ceci est vrai pour tout ε> 0 . Donc lim (ϕo f )(M )=l'.
M→A
2 2ln(1+ x + y )
Exemple : g(x, y)= en (0,0) .
2 2x + yFonctions de deux variables - 9 - ECS 1
ln(1+ x)2 2
On remarque que g =ϕo f avec f (x, y)= x + y et ϕ(x)= .
x
2Ici : D= , f (D)= [0,+∞[ , Δ =]−1,0[∪]0,+∞[ et A= (0,0) .
∀ε> 0 ∃α> 0 ∀M∈ B(A,α)∩ D f (M ) ≤εOn a : .
2 2En effet, il suffit de prendre α= ε puisque M ∈ B(A,α)⇔ x + y ≤α .
ln(1+ x)
Donc lim f (M )= 0 . D’autre part : limϕ(x)= lim = 1.
M→A x→0 x→0 x
Donc par composition des limites : lim g(M )= 1.
M→A
Théorème : Soient ϕ et ψ deux fonctions définies sur une partie Δ de contenant au
moins un intervalle centré en t et privé de t , et telles que limϕ(t)= x et 0 0 0
t→t0
limψ(t)= y lim f [ϕ(t),ψ(t)]=l. Si A= (x , y ) et lim f (M )=l , alors : . 0 0 0 M→At→t t→t0 0
Démonstration : Soit ε> 0 .
. Donc : ∃η> 0 ∀M ∈ B(A,η)∩ D f (M )−l ≤ε . lim f (M )=l
M→A
η
limϕ(t)= x . Donc : ∃α > 0 ∀t∈[t −α ,t +α ]∩Δ ϕ(t)− x ≤ . 0 1 0 1 0 1 0
t→t 20
η
limψ(t)= y . Donc : ∃α > 0 ∀t∈[t −α ,t +α ]∩Δ ψ(t)− y ≤ . 0 2 0 2 0 2 0
t→t 20
Soit α= Min(α ,α ) qui est strictement positif. 1 2
η η
Alors ∀t∈[t −α,t +α]∩Δ ϕ(t)− x ≤ et ψ(t)− y ≤ 0 0 0 0
2 2
2 2
Donc ∀t∈[t −α,t +α]∩Δ [ϕ(t)− x ] + [ψ(t)− y ] ≤η. 0 0 0 0
Cela signifie que, si x=ϕ(t) et y =ψ(t) , le point (x, y) appartient à B(A,η)∩ D .
Donc : ∃α> 0 ∀t∈[t −α,t +α]∩Δ f [ϕ(t),ψ(t)]−l ≤ε . 0 0
Ceci est vrai pour tout ε> 0 . Donc lim f [ϕ(t),ψ(t)]=l .
t→t0
Les théorèmes « de comparaison » s’étendent aux fonctions de plusieurs variables.
2
Théorème : Soient f et g deux fonctions définies sur une partie D de , telles que pour
tout M ∈ D , on a f (M )≤ g(M ) . Si lim f (M )=l et lim g(M )=l' , alors : l≤l' .
M→A M→ A
L’inégalité sur les limites reste large même si l’inégalité sur les fonctions est stricte.
Théorème (d’encadrement) : Soient f, g et h trois fonctions définies sur une partie D de
2 , telles que ∀M ∈ D f (M )≤ g(M )≤ h(M ) . Si lim f (M )= lim h(M )=l , alors
M→A M→ A
la fonction g admet une limite en A et lim g(M )=l .
M→ A
Les démonstrations sont analogues à celles des fonctions d’une variable.
2) Continuité en un point
2
Définition : Soit D une partie ouverte non vide de et A un point de D. Une fonction
f définie sur D est continue en A si lim f (M )= f (A) , c’est-à-dire si :
M→ A
∀ε> 0 ∃α> 0 ∀M∈ B(A,α)∩ D f (M )− f (A) ≤ε .
xy
Exemple : f (x, y)= si (x, y)≠ (0,0) et f (0,0)= 0 . Soit A= (0,0) .
2 2x + yFonctions de deux variables - 10 - ECS 1
2 2x y x ≤ x + y 2 2f (x, y) ≤ x + y∀(x, y) f (x, y) = . Or donc . 
2 22 2  y ≤ x + yx + y 
Donc : ∀ε> 0 ∃α=ε ∀M∈ B(A,α)∩ D f (M )− f (A) ≤ε .
Donc la fonction f est continue en A= (0,0) .
En réalité, on peut remarquer qu’il suffit de savoir que f admet une limite l en A,
donc que : ∀ε> 0 ∃α> 0 ∀M ∈ B(A,α)∩ D f (M )−l ≤ε .
En effet, pour tout α , A∈ B(A,α)∩ D et donc pour tout ε> 0 : f (A)−l ≤ε .
Donc f (A)−l est un nombre positif ou nul qui inférieur ou égal à tout élément de
]0,+∞[ . Donc f (A)−l = 0. Donc l= f (A) .
Si la fonction f est définie en A, sa seule limite possible est . l= f (A)
2Définition : Soit D une partie ouverte non vide de ne contenant pas A mais
contenant au moins une boule ouverte de centre A privée de A. Soit f une fonction
~
définie sur D qui admet en A une limite lim f (M )=l . La fonction f définie sur
M→A
~ ~
D∪{A} par : ∀M ∈ D f (M )= f (M ) et f (A)=l est appelée prolongement par
continuité de f en A.
Par construction, elle est continue en A.
Théorème : Si f et g sont deux fonctions définies sur une partie D ouverte non vide de
2 et si elles sont continues en un point A de D, alors :
- leur somme f + g est continue en A.
- leur produit fg est continue en A.
f
- leur quotient est continue en A à condition que g(A)≠ 0 .
g
Ces propriétés découlent directement des opérations sur les limites.
2
Théorème : Soit f une fonction définie sur une partie D ouverte non vide de et
continue en un point A de D. Soit ϕ une fonction définie sur f (D) et continue en
f (A) . Alors la fonction ϕo f est continue en A.
Théorème : Si et sont deux fonctions définies sur une partie de et continues ϕ ψ Δ
en t ∈Δ , et si f est une fonction définie sur une partie D contenant ϕ(Δ)×ψ(Δ) et 0
continue en A= (ϕ(t ),ψ(t )) , alors la fonction t a f [ϕ(t),ψ(t)] est continue en t . 0 0 0
Ces deux théorèmes correspondent aux théorèmes de composition des limites.
2Conséquence : Si f est continue en un point A d’un ouvert de , alors pour tout
2vecteur U de , la fonction f définie par f (t)= f (A+ tU ) est continue en 0. U U
En effet, si U = (α,β) , alors f (t)= f (x + tα, y + tβ) . C’est donc la composée de f U A A
avec deux fonctions affines, donc continues.
Cela revient à étudier la continuité de la restriction de f à la droite d . A,U
Donc inversement, si l’on trouve une droite passant par A où la restriction de f n’est
pas continue en A, alors la fonction f n’est pas continue en A.
2xy
Exemple : f (x, y)= si (x, y)≠ (0,0) et f (0,0)= 0 . Soit A= (0,0) .
2 2x + y
On remarque que : ∀x∈ * f (x, x)= 1. Donc lim f (x, x)≠ f (0,0) .
x→0
Donc f n’est pas continue en A= (0,0) .

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