Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Suites et séries réelles

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Ce cours est composé de 13 chapitres : (1) Espaces vectoriels (2) Applications linéaires (3) Probabilités discrètes (4) Suites et séries réelles (5) Réduction des endomorphismes (6) Vecteurs aléatoires (7) Intégration (8) Fonctions de deux variables (9) variables à densité (10) Problèmes de convergence et approximations en probabilités (11) Formules de Taylor et développements limités (12) Estimation (13) Eléments de Turbo-Pascal
Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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Chapitre

Tabledesmati`eres

1

2

3

4.

1

Suites

et

´ i s
ser e

re´elles

Rappels sur les fonctions
1.1 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1Logarithmen´epe´rien......................................
1.1.2 Fonction exponentielle :f(x) =ex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Exponentielle de basea. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1Polynoˆmesetfonctionsrationnelles..............................
1.2.2 Croissances ´es de f ctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
compare s on
1.2.3Limitesusuellesissuesducalculdesde´rive´es........................
1.2.4Ope´rationssurleslimites...................................
1.3 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Rappels sur les d´ i ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
er vees
1.4.1D´efinitions...........................................
1.4.2Equationdelatangente`alacourbedef . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en un point
1.4.3De´riv´eesetop´erations.....................................
1.4.4D´erive´esd’ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.5 Etude des branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6Ine´galite´desaccroissementsfinis...................................

Suitesr´eelles
2.1G´ene´ralite´s...............................................
2.2Equivalenceetn´egligeabilit´e......................................
2.3Suitede´finieparsontermeg´ene´ral..................................
2.4Suited´efinieparunerelationdere´currencesimple.........................
2.4.1 Rappels sur les suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2Th´eor`emesutiles........................................
2.4.3M´ethoded’´etuded’unesuitere´currente...........................
2.5Suitesde´finiesimplicitement......................................
2.5.1Suitesd´efiniespar:untuoidnlesestloitauqe´’nof(x) =n. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2Suitesde´finiespar:unniostsoeitulednoe´’ltauqf(x) = 1n. . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3Suitesd´efiniespar:unle´’qeauitnoestsolutiondfn(x . . . . . . . . . . . . . . . .) = 0
2.6Suitesde´finiesparunerelationdere´currenceline´airea`deuxtermes...............
2.7Suitesde´finiesparuneint´egrale....................................
2.8Suitesetalg`ebreline´aire........................................

Seriesre´elles
´
3.1G´en´eralit´essurless´eries................................
3.2 S´ ies usuelles . . . . . .
er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1S´erieharmonique................................
3.2.2S´erieharmoniquealtern´ee...........................
3.2.3Se´riesdeRiemann...............................
3.2.4Se´riesg´eom´etriques...............................
3.2.5Se´riesassoci´ees`adess´eriesg´eom´etriques..................
eralxn. . . . . . . .
3.2.6S´eriedetermeg´en´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .! .
3.3Etudedesse´ries`atermespositifs...........................
3.4Se´riesabsolumentconvergentes............................

Brigitte

Bonnet,

Lyc´eeInternational

de

Valbonne

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12

2010

1

Rappels sur les fonctions

1.1 Fonctions usuelles

1.1.1Logarithmen´epe´rien

2

De´finition1:La fonctionlnest la primitive surR∗+la fonction inverse, qui s’annule en 1.de
Propri´et´es:ln(ab) = lna+ lnblnba= lna−lnb

Limites :lim lnx=−∞
x→0+

lim lnx= +∞lim lnx= 0
x→+∞x→+∞x

La courbe de la fonctionlnadmet unebranche paraboliquede directionOx.
Tangente au point (1,0) :y=x−1
Convexit´e:f00(x) =−x12, donc la fonctionlnonrcPan.ioitfin´ealtneuqe´savesconcestdedemelbensnruos
courbe est en dessous de ses tangentes, et en particulier :

∀x∈R∗+lnx≤x−1

1.1.2 Fonction exponentielle :f(x) =ex

De´finition2:fla fonction reciproque de la fonctionest ln:y=ex⇔x=ln(y)
´
Propri´tes :
e
`
•feiusrestd´efinRet a valeurs dansR∗+.

•ea+b=eaeb(ex)a=eax 1et en particulier :
−x=
e
ex

Limites :limex= 0
x→−∞

limex= +∞
x→+∞

limex= +∞
x→+∞x

limxex= 0
x→−∞

La courbe de la fonction exponentielle admet unebranche paraboliquede directionOy.
Tangente au point (0,1) :y=x+ 1
Convexite´:f00(x) =ex, donc la fonction exponentielle est convexe surR.Parneltcauoocsne´uqeerbaust
dessus de ses tangentes, et en particulier :

1.1.3

Exponentielle de basea

∀x∈R

ex≥x+ 1

D´efinition3:Soitatpenitos.Lifxp’ernulee´irtsmetcnoneitleeledabesaest la fonctionfa:arepniefid´

fa(x) =ax=exln(a)

.
Propri´et´es:
•Sia >1 alorsfaest croissante surRˆmsesemessetltnoestlmilieitleeld(eenpxnoneafonctioquepourl
basee).
•Sia <1 alorsfatnasrused´ecroisestRet les limites en plus et moins l’infini sont interverties.

1.1.4 Fonctions puissances

De´finition4:Soitαrunr´eelquelcoqneuO.dne´nfitiusR∗+la fonctionfαpar :

D´eriv´ee:

fα0(x) =αxα−1

fα(x) =xα=eαln(x)

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

3

•Siα <0xl→im0+fα(x) = +∞etxl→i+m∞fα(x)0=l:seeduxaxessontasymptala`seto.ebruoc
•Siα= 0fαest la fonction constante de valeur 1.
•Si 0< α <1 lim0+fα(x) = 0 etxl→i+m∞fα(x) = +∞: La fonction admet un prolongement par
x→
continuit´een0.
lxi→m0fα(xmil=)xα−1= +∞donc la courbe admet une tangente verticale au point d’abscisse 0.
xx→0
limfα(x lim) =xα−1= 0 donc l ranche
x→+∞xx→+∞a courbe admet une b de direction paraboliqueOx.
•Siα= 1fα(x) =xediteventar´eserepourbac:lfαpaerselt.eictrecssbire`emi
´
•Siα >1xl→im0+fα(x et) = 0xl→i+m∞fα(x) = +∞: La fonction admet un prolongement par continuite
en 0.
limfα(xmli=)xα−1 donc= 0 la courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse 0.
x→0xx→0
xli+m∞fα(xx)=xl→i+m∞xα−1= +∞donc la courbe admet une branche parabolique de directionOy.

Exercice :ntmesflephraueiqtcnosnoietgrsenepe´rRfαocserruxdiff´erpondantanestac.s

1.2 Limites usuelles

1.2.1Polynˆomesetfonctionsrationnelles

•La limite en +∞(resp. en−∞hauspldemeerntsoedelleca`elage´tmeesynˆonpolctiofeno’dnu)ut
degr´e.
•La limite en +∞(resp. en−∞uefxdtdeoisnnotcireu`a-dtiennquonoitllen’c(e-tse’u)dfonetincraon
polynoˆmes)est´egalea`celleduquotientdestermesdeplushautdegr´edunum´erateuretdud´enominateur.
Exemple :Soitf(x)x3−6xx22−1+4x alo+ 2
= rs limf(x) = limx= +∞
x→+∞x→+∞
Remarque :f(x)∼xquandxtend vers +∞.
On a aussi : lim (f(x)−x) = l→i+m∞−6x2+ 5x 6+ 2
=−
x→+∞xx2−1
La courbe de la fonctionfourametptotesympioetalrduqtao’id:en´day=x−6

1.2.2Criss´eesdesfonctionsusuelles
o ances compar

Soitαsitif.etemtnopeeslrtcir´un

liln(x 0 lim) =ex= +∞
m
x→+∞xxα→+∞xα


xli→m0ln(x) = 0

1.2.3Limitesusuellesissuesducalculdesde´rive´es

limln(x) = lim 1ex−1 = 1
x→1x−1x→0x

1.2.4Op´erationssurleslimites

Oncompl`eteralestableauxsuivants:

❍g❍❍❍f❍a+∞
b a+b+∞
+∞+∞+∞
−∞

Somme defetg

−∞

limln(1 +x) = 1
x→0x

f
❍g❍❍❍❍
0+
b
+∞

0+

limxαex= 0
x→−∞

a

+∞

Produit defetg,a >0,b >0

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

❍❍f
g❍❍❍
0+
b
+∞

0+

a

+∞

Quotient defetg,a >0,b >0

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1.3

Bijections

4

The´ore`me1:The´or`emefondamentaldel’analyse

•Si une fonctionfestcontinueetstrictement monotonesur un intervalleIled´,eltfiein
une bijection deIvers l’intervalle image deIparf,not´eJ.
•La restriction defellavre`lai’tnIrpqoe´iceitseuuqijecunebtionnodtemdaplapnecunrioatic
deJversI, etf−1rumaemeˆnssevadeatrinsioJquefsurI.
•nr´eelSuiαappartt`iaenJtionequa,l’´f(x) =αadmet une unique solution dans l’intervalleI.

En pratique :ontiesdedvsraaiene´utedApr`esufediaasedlare’la`ng,en´´eneunermivie´´dre´dte,eno
intervalleIsur lequelfest strictement monotone. De plus sifd´erivablesuretsI, elle est continue surI. Si
cetintervalleestferme´,dutypeI= [a, b], alorsJnrseostnestferm´eetsesbof(a) etf(b). S’il est ouvert,
limf(x).
I=]a, b[,Jge´tsenrseseoblostnentoalemtetsuverxi→maf(x) etx→b
Sione´tudiel’e´quationf(x) =αisrenimretelors`ad´ilrestea,αappa`antiertJ.

Soitfune bijection deIversJd´e,rivablesurIe,aolsras´rcepioruqf−1
eor
Th´e`me2:tde1sri´eblvatneeptuotnioye1dJuetOe(lq)f0(f−1(yy))=6f=(x,0))
et (f−1)0(y) =f0(f−1(y) =f0(xn note

Exemple :Soitf(x) =ex−2e−x, alorsf0(x) =ex2+e−x, doncfest strictement croissante (et continue car
de´rivable)surR.
D’apre`sunfacilecalculdelimites,fest une bijection deRversR. On remarque que (f0(x))2−(f(x))2= 1,
d’o`uf0(x) =p1 + (f(x))2e’c,`-tsid-are:f0(f−1(y)) =p1 +y2. On a donc :

1.4Rappelssurlesde´rive´es

1.4.1De´finitions

(f−1)0(y) =p+11y2

De´finition5:
•Soit une fonctionfsuienirudfin´eetnreavllouvertIetx0l´emeentdun´eI. La fonctionfesiravdte´lbe
enx0si, et seulement si, le taux d’accroissementf(x)−f(x0 une limite finie quand) admetxtend
x−x0
versx0eC.letttimi´drebmereloneetsdeiv´efenx0not´,ef0(x0).
•Une fonctionfabiverd´stetnreavllelusurineIptuotniolbavtneedeestd´erisielleI. La fonctionf0qui
`atoutxdeIerbmre´deicoonelssaiv´edefenxest lade´ir´veedefsurI.
•Si le taux d’accroissement admet une limite finie quandxtend versx0par valeurs´puseireseru(resp.
infe´rieures) la fonction estd´erivable`adroineetx0(resp.`aleabivenheucgare´dx0) et on note :
f0d(x0 lim) =+f(xx)−−xf0(x0et)f0g(x0) =xl→imx0−f(xx)−−xf0(x0)
x→x0
•Attention: Sifeetdroite`advabluahc`egaavlbe´irsiete,dtseire´fd0(x0)6=fg0(x0 alors) ,fn’est pas
de´rivableenx0.

1.4.2Equationdelatangentea`lacourbedefen un point

Si une fonctionftniopd´erestleauivaba, la courbe defadmet au point (a, f(a:noitauqe´d’teoidrla))

1.4.3

D´erive´esetoperations
´

y−f(a) =f0(a)(x−a)

The´ore`me3:Soient deux fonctionsuetvnunietvrbaelssrud´erivellaI. Leur somme et leur produit sont
d´erivablessurI, et sivne s’annule pas surIusrteend´stiverleabl,qrueitouI, et on a :

0
(u+v) =u0+v0

(uv)0=u0v+v0u

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

uv0u0vv−2v0u
=

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5

Th´eore`me4:Soitfdnoitcnolbavriursee´efunIetgtcnofenuuresblvari´endiolaeletvrnuniJcontenant

f(I). Alorsg◦fvireelbae´dtsrsuIet : (g◦f)0(x) =f0(x)∙g0◦f(x)

Exemples :[f(ax+b)]0=af0(ax+b)

1.4.4

D´erive´esd’ordren

et

[f(lnx)]0= 1x f0(lnx)

De´finition6:
•Soitfrneuncfonoitre´dbaviuselI.Sisad´eriv´eef0sedte´iravrlubseI, on dit quefuxledeivabd´erets
fois, etf00= (f0)0coseeev´ri´eadtlsedndeef.
•Soitnun entier naturel tel quen≥2, etfabivleontierd´enucnofn−1 fois surI. Alorsfe´irsedteavlb
nerdro’ofd´sasiised´eivern−re´dtse1ivable,etonnote:
f(n)= (f(n−1))0
Exemple :Sif(x) =x1,∀n∈N∗f(n)(x () =−x1n)+n1n!

1.4.5Convexite´

D´efinition7:SoitIun intervalle sur lequelfs.oiesavire´dtfxuedelb
•Si∀x∈I f00(x)≥0,festconvexesurI.
•Si∀x∈I f00(x)≤0,festconcavesurI.
•Sif00et change de signe en un points’annule x0, la courbe defadmet unpoint d’inflexionen (x0, f(x0)),
c’est-`a-direquelacourbetraverse la tangenteen ce point.
Proprie´te´:ebruocaltseoiennotcvnxetsocsp.ce(reve),oncaSnuruteinalrvo`leafulau-dessus(resp.en
dessousrgaliin´einesertav,iollsesueu´tseeuepertsriopt´´etnomcrer`rive´dautessest)detoC.teetrpnaegtnse
paragraphe 1.1.

1.5 Etude des branches infinies
•Asymptote verticale :Si limf(x) = +∞(ou−∞), la courbe defadmet pour asymptote la droite
x→x0
d’´equationx=x0.
•Asymptote horizontale :Sixl→i+m∞f(x) =a, la courbe defptemdaoinuqta’de´ioetladrtotesympoura
y=aneilenetimepemruou.(mˆDe−∞.)
•Asymptote oblique :Si l→i+m (f(x)−(ax+b)) = 0, la courbe defadmet pour asymptote la droite
x∞
d’´equationy=ax+bD(meeˆemne.−∞.)
•Etuded’unebranchenfiniadeielsnosac`ulim:
x→+∞f(x) = +∞
∗si limf(x) = courbe admet 0 laOx.
x→+∞x, unebranche paraboliquede direction
∗si lif(xx) = +∞(ou−∞), la courbe admet unebranche paraboliquede directionOy.
m
x→+∞
∗sixl→i+m∞f(xx=)a, et quexl→i+m (f(x)−ax) =b, la courbe admet uneasymptote obliqueioatqu´ed’n

y=ax+b.
∗sixl→i+m∞f(xx)=a li, et que+m∞(f(x)−ax) = +∞(ou−∞), la courbe admet unebranche parabolique
x→
dedirectionladroited’e´quationy=ax.

1.6Ine´galit´edesaccroissementsfinis

Th´eore`me5:

Soitfnuruetniavirselbalrvlectiond´eunefonIeelnu´rsietlixellteu’eq,ktel que :
∀x∈I|f0(x)| ≤ktruop,srolA.el´eeredploutcous(y, z) de l’intervalleI,
|f(y)−f(z)| ≤k|y−z|

Cettein´egalite´s’utiliseenparticulierpoure´tudierlaconvergencedecertainessuites(voirplusloin)etla
vitesse de convergence de ces suites. On peut utiliser une autre version :

Brigitte Bonnet, L ´e I ternational de Valbonne
yce n

Juillet 2010

6

Soitfnunietvrlael[tcnofenuri´endiouresblvaa, b], telle qu’il existe
Th´eor`eme5bis:ed´rxusleemetMtels que :∀x∈[a, b]m≤f0(x)≤M. Alors :
m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)

Cethe´ore`meestutilise´parexemplepourencadrerln(nup,)alsi:euahmrnoqial´sreeitielledesommepar
n
Sn=Xi.1
i=1

2

Suites reelles
´

2.1G´ene´ralite´s

De´finition8:lippticadeon´retlleetseeaenuesuiUnN, ou d’une partie deN, versR:n7→un.
unest le´en´eraltermegeeemnostlleemˆe-ee´t.eaLustiedalustiu, ou (un)n∈N.

D´efinition9:La suiteuestcroissante(resp.ssoicr´edetnanagrudritrapa`)n0si
∀n≥n0un+1≥un(resp.un+1≤un).

D´efinition10:La suite (un) estconvergentexesiislir´eeteunl` limtel queun=`. Elle estdivergente
n→+∞
si cette limite est infinie.

De´finition11:La suite (un) estmjaroe´eparaitdr`ganurn0lee´rnuestxileiisMtel que
∀n≥n0un≤M.
Elle est´reeimontrria`aparudgnn0unteeer´lliissixemtel que∀n≥n0un≥m.

Etudierunesuite,c’estde´terminerlecomportementdesontermege´ne´ralunquandntend vers +∞, en
particulier dire si cette suite est convergente ou divergente.

The´ore`me6:ssnaetteamoj´reeToutesuitecroitcesveonenrg,te
toutesuitede´croissanteetminor´eeestconvergente.

The´ore`me7(the´ore`medes“gendarmes”):

Soient trois suitesu,v,wtellengra,erncintaitrau’dreuqspa`,
un≤vn≤wn, et :nl→i+m∞un=nl→im+∞wn=`. Alors :nl→im+∞vn=`.

The´or`eme8(localisationdelalimite):

Sitouslestermesdelasuite,`apartird’uncertainrang,appartiennenta`uncertainintervalleI,
et que la suite converge vers`, alors`∈I, ou`est l’une des bornes deI.

The´or`eme9(Compose´ed’unesuiteparunefonctioncontinue):

Si limun=`et quefest continue sur un intervalle contenant`,
n→+∞
alors limf(un) =f(`).
n→+∞

The´ore`me10(suitesadjacentes):

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

7

Soient deux suitesuetvtelles que
•uest croissante etvoicranss.tesee´dt
vn−u
•nl→im+∞(n) = 0.
Alorscesdeuxsuitesconvergent,versunemˆemelimite.

2.2Equivalenceetn´egligeabilit´e

De´finition12:
•Une suite (un) est´ngeilleabgedevant une suite (vn) si : limun= 0
.
n→+∞vn
(Notation :unn→=+◦∞(vn) ou plus simplement :un=◦(vn).))
•Deux suites (un) et (vn) sonts´equivalente limsi :un= 1.
n→+∞vn
(Notation :unn→∼+∞vnou plus simplement :un∼vn.)
Remarque :neecnelaetselerteng´esrmdeuxra´enoeegnaplreral´en´quivd’´edsuesxiuet.s
Propri´et´es
⇒limun= limvn.
(1)un∼vnn→+∞n→+∞
Attention,lar´eciproqueestfausse:parexemple1n’estpas´equivalenta`n12.
n
(2) siα < β nα=◦(nβ) etn1β=◦n1α
(3)∀α >0 lnn=◦(nα), nα=◦(en), e−n=◦n1α.
(4) Sivn=◦(un), un+vn∼un.
Application:Toutefonctionpolyˆest´ivalente`asontermedeplushautdegre´.
nome ennequ
(5)uwnn∼∼vtnnnwn∼vntnetwnntn
⇒u u vn

2n2−n+ 3 2
Application :∼
5n3.
+ 6 5n
α α
(6)∀α∈Run∼vn⇒un∼vn.
Par exemple :un∼vn⇒un2∼vn2etun∼vn⇒ √un∼ √vn.

un, alors :un∼vn⇒ln(
(7) Sinl→i+m∞6= 1un)∼ln(vn).
Attention,lar´eciproqueestfausse.
2
Exemple :eltniuaveledispmln(ln(ouTrruveeqn´nn3nope´R(..)32:es+1)3)

2.3Suited´efiniepaterm´´al
r son e gener

On a :un=f(n,)`oufncfoontiesneturavelbaiee´rdelldier.Etuelleer´ede(eegcnvnrealocun`antieev)r
chercher la limite defen +∞.

2.4Suitede´finieparunerelationdere´currencesimple

Soit une suiteunteermireerminfie´dpnosrapeu0et la relation :∀n∈N
fonction deRversR.

2.4.1 Rappels sur les suites usuelles

un+1=f(un),o`ufest une

Lessuitesarithme´tiques,ge´ome´triques,arithm´etico-g´eom´etriques,sontde´finisp´e,maisonpeut
e ar recurrenc
calculeraise´mentleurtermege´n´eral.
(1)Suiteg´eom´etriquederaisonq:un+1=qun,un=u0qn
(2)Suitearithme´tiquederaisonr:un+1=un+r,un=u0+nr
(3)Suitearithm´etico-ge´ome´triqb,un=`+ (u0−`)anavec` b
ue :un+1=aun+ .
=
1−a
Cetteformulen’estpasa`savoir“parcœur”,ilfautsavoirl’´etablirdanschaquecasparticulier.

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

2.4.2

The´ore`mesutiles

Th´eor`eme11(theoreme“destroissi”):
´ `

8

Si (un) est convergente vers une limite`, siun+1=f(un), sifest continue
surunintervalleo`usetrouventtouslestermesdelasuite,alorsf(`) =`.

The´ore`me12(variationsd’unesuiter´ecurrente):

Sifolsr(saiueta,elsdmeerstleustotnevuortesu`oellervanintsuruesurastnorsisectun) estmonotone.
Pourde´terminersonsensdevariationilsuffitdecomparerlesdeuxpremierstermes.

dem
´
•Siu0≤u1, commefest croissante :un≤un+1⇒f(un)≤f(un+1)
doncparr´ecurrencelasuiteestcroissante.
•Siu0≥u1, commefest croissante :un≥un+1⇒f(un)≥f(un+1)
doncparre´currencelasuiteestd´ecroissante.
Remarque :Cetted´emesobl`ncoudecosr.rastonemteesontidelbigixrpselsna

2.4.3M´ethoded’´etuded’unesuiter´ecurrente

un+1≤un+2

un+1≥un+2

•On ´tudie les variations de la fonctionf.
e
•quationostu’le´Orne´f(x) =x.leelneut´evemiticeqd’eselunosspblsiavseruelodiulenn
•On cherche un intervalle dans lequel se trouvent tous les termes de la suite (majoration et minoration),
et,danslecas“ide´al”,surlequellafonctionestcroissante,etentredeuxvaleurspossiblesdelalimite.
•uepnge´tOso´ereudemaltrentaoin’lnie´uqf(x)≤xedsnoitairavselee.itsuland´eduirpoure
•.relitinuOmeseoe`rts´heselncluurco11po6,8,
Utilisationdel’ine´galit´edesaccroissementsfinis:
On suppose de plus qu’il existe un intervalleIeel´rnutektels que :

∀n∈Nun∈I et∀x∈I|f0(x)| ≤k
Alors on a :∀n∈N|un−`| ≤ |u0−`|knvetersend´etonelacoduitegcnvnresaiudele`plear´ethe`roem
des gendarmes.
cettemajorationpermete´galementd’e´crireunprogrammeTurbo-Pascaldonnantunentiernquelirdupart`a
unelavparuseenutsademiliocpreeh´eta`se,p`rteurlisa.e´atparl’utintdonn´e

2.5Suitesde´finiesimplicitement

2.5.1Suitesde´finiespar:unqeauitnoestsolutiondel’´f(x) =n
Soitfunebijectiond’un intervalle [a, b] vers un intervalle contenantR+. Alors pour tout entier natureln
l’e´quationf(x) =nadmet une unique solutionunl’ue´eonuies,qtenfie´nutiC.daleditunreearemanqueuqt
un=f−1(narepniefimeerntsoare´ne´g.l´etuderevient`acleel’dnuseiuet´d’L.)

2.5.2Suitesd´efiniespar:unnoie´’ltauqtsosenoedulitf(x) = 1n
Soitfunebijectiond’un intervalle [a, b] vers un intervalle contenant [0,1]. Alors pour tout entier naturel
non nulnnatio´equl’f(x 1) =nadmet une unique solutionunmeˆmeuqeruopapelam.Lth´eeeodlastapheragr
pr´ec´edent.

2.5.3Suitesd´efiniespar:unnoitulosuqe´’ledtsatoienfn(x) = 0
Soit (fn) une suite de fonctions. Supposons que pour tout entierndeN, la fonctionfnsoit une bijection
d’un intervalleIvers un intervalleJAl0.ntnateoncnoitauqe´’lsrofn(x) = 0 admet une solution uniqueunsur
Ifin´eunitce,idquiuse.et
•Sens de variation :Si le sens de variation defn+1est connu, ainsi que le signe defn+1(un), en remarquant
quefn+1(un+1uepndnetude´lerird’odereeusdomxnrbse)=0ounetun+1, et donc le sens de variation
de la suite.

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

9

´
Convergence :nrelaeluqeegne´me6.Pourth´eor`erehcrehclippnaO
exploitel’e´galite´fn(un) = 0.

un equivalent deunen +∞
´

2.6Suitesd´efiniesparunerelationder´ecurrencelin´eairea`deuxtermes

On suppose que la suite (unts´de)perafieinmeersimertsredsespxueu0etu1, et la relation :

∀n∈Nun+2=aun+1+bun

on

o`uaetb´fixslee´rxuedtnos
es.
On cherche des suitesesriqu´mte´goeantcerifiv´nssocedeuisssstestnotulosnoietterelationder´ceruercn;eelrsia
de’latio´equact´ncarituqresie:
r2−ar−b= 0

Posons : Δ =a2+ 4b
•Si Δ>l0itauqe´’tcnisesnoitside´irtsqinoacartceuxsolutueadmetdr1etr2se´leuerxxileedstti,eαetβ
tels que
∀n∈Nun=αr1n+βrn
2
Pourde´terminerαetβnote,1te0sgnarxueqautl´ilpipgnaa´eoteetecne.uoetbt`emesysoutlr´es
•Si Δ = 0, il y a une solution uniquer1snadacectelesedeuxr´esilexistαetβtels que
∀n∈Nun=αr1n+βnr1n
On obtientαetβrupa.tncaspueau´eder´ecteohen´mlagoedna
•Si Δ<0, ce cas est hors programme.

2.7Suitesde´finiesparuneint´egrale

Soit une suite de fonctions (fn)n∈Nle[,inntcoetesniefid´lavretninurusseua, bOn´etudi].(lesaiuetIn)n∈N
dontletermeg´en´eralestde´finipar:
=Zb(t)dt
Infn
a
enutilisantlaproprie´te´depositivit´edel’inte´grale,leth´eor`emedelamoyenne,etleth´eor`emedesgendarmes
(voir le chapitre INTEGRATION).

2.8Suitesetalge`brelin´eaire
Rappel :L’ensembleRNed´rnu,leepnrataoilpciluitelamsetduitedessnoitidda’ledinums,leel´esrteuiss
est un espace vectoriel de dimension infinie.

Propri´et´e:L’ensetypee´ucdnreecudrrneunntfiariioatelerssedelbme´vsetiuun+2=aun+1+bunest un
sous-espace vectoriel deRNn2ioec.Ldidensmexuedtiuslpuosede,quesetrieom´esg´((r1n),(r2n)) dans le cas
ou`Δ>0, ou ((r1n),(nr1nnad))lscesa`oΔu0=e,tsunebasedeceSEV.

3

On verra en exercice d’autres exemples de SEV deRN.

S´riesre´elles
e

3.1G´ene´ralite´ssurless´eries
n
De´finition13:Soit (un)n∈N(tteuiesuneelleer´Sn)n∈Ntidealusiepa´efinr:Sn=Xuk.
k=0
Le couple ((un),(Sn)) est appel´´ iedetmrge´en´eralun.
eser e

Snest lasomme partiellealn´ereg´emretedeire´saledun.

Remarque :delaoianettntAreainp:oocuvulabe´rb,e´gelraane,ies´er(un), qu’il ne faut pas confondre avec
lasuite(un).

D´efinition14:n´´eegrmaler´senUetedeireunestconvergente
partielles (Sn) admet une limite finie.

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

si, et seulement si, la suite des sommes

Juillet 2010

10

La limiteStseetiusee´leppateetecdlaesommedelas´eriet on la note :

+∞
S=Xun
n=0

Sermege´n´lstconvergente,limun= 0.
eraune
Th´eor`eme13:saliire´teden→+∞

Attention !eciproqular´eeme`roe´htecedearrpoi,vseusfastirhesae´lplexemee.niquarmo

Th´eor`14
eme :

The´ore`me15:

Silesse´ries(un) et (vn) sont convergentes, de sommes respectivesSetS0,
las´eriedetermeg´ene´ralun+vnest convergente, de sommeS+S0.
+∞+∞+∞
Cetteproprie´t´es’´ecrit:X(un+vn) =Xun+Xvn
n=0n=0n=0

Pourtoutr´eelλnon nul, les series (un) et (λune,uratenemmˆdentos)
´
+∞+∞
etsilas´erie(un) est convergente, alorsXλun=λXun
n=0n=0

3.2S´eriesusuelles

3.2.1Se´rieharmonique

Soitun=nidtseeiretnegrevno.mn1ote,´eeeusqtetrCteXnk1+∼∞lnn. (Voir T.D.)
k=1

3.2.2Se´rieharmoniquealternee
´
Soitun= (−1)nocvnreegtn.eCe.esttri´estee
n

3.2.3S´eriesdeRiemann
Soitun=n1αuo`,α.itiftposementcirtslee´rnutse
1

•Siα >1s´laieerαest convergente.
n
The´ore`me16:•Siα≤ie1las´ern1αest divergente.

Exeest convergente, et+X∞1=π2
mple :Lsadetee´irg´enermel´eran12n=1n26

3.2.4Se´riesg´eom´etriques
n+1

Soitun=u0qn((un)utseusenegitom´etr´eueiqisonderaq), alorsSn=kX=n0u0qn=u011qq.

The´or`eme17:,sileeuntmeiqueestc´eom´etretise,stnoevgrnegeire´senU|q|<1 et, suivant le rang du
premier terme on a :

+∞n1
Xq=1−q
n=0

+∞
Xqn=1q
n=1−q

n+X∞qn=1q−pq
=p

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

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