Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Réductions des endomorphismes

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Ce cours est composé de 13 chapitres : (1) Espaces vectoriels (2) Applications linéaires (3) Probabilités discrètes (4) Suites et séries réelles (5) Réduction des endomorphismes (6) Vecteurs aléatoires (7) Intégration (8) Fonctions de deux variables (9) variables à densité (10) Problèmes de convergence et approximations en probabilités (11) Formules de Taylor et développements limités (12) Estimation (13) Eléments de Turbo-Pascal
Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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1

2

5.

Chapitre

des

R´eductions

Brigitte

endomorphismes

Lyc´ee

Bonnet,

de

International

Juillet

Valbonne

Matrices CL

2010

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Propri´ete´sdese´l´ntspropres
eme
3.1 Valeur propre nulle . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Intersection de deux SEP . . . . . . . . . .
3.3Re´uniondebasesdeSEP..........

Diagonalisation d’un endomorphisme

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Diagonalisation d’une matrice

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Propri´et´esdesvaleurspropresd’unematrice
6.1 Matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Matrice inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3Matricessyme´triques....................................
6.4Matrices`auneseulevaleurpropre............................
6.5Combinaisonlin´eairedematrices.............................
6.5.1 1eredelin´eairibansinocsaC:moAet deIn. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 2emeˆtlesaytricrppouesrevtcmesesrembCoaiins:caeriaamedlnose´ni
an es m

Polynoˆmeannulateur

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7

9

8

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6
6
6
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8

7

10

9

d’une

Trace

matrice

Commutant d’une matrice, d’un endomorphisme

Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme

2

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Rappels techniques
1.1 Matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Matrice diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

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2
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Tabledesmatie`res

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3

3
3
3
3

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1.1

Rappels

techniques

Matrices diagonales

2

Definition 1 :Une matrice deMn(R) est ditediagonalesi tous ses coefficientsnon diagonauxsont nuls.
´
0,4)100000
Notation :diag(1,=0 0 4
Puissances successives d’une matrice diagonale :SiD=diag(α1, α2, . . . αn),Dp=diag(α1p, α2p, . . . αnp).

1.2 Matrices semblables

De´finition2:Deux matricesAetBsont ditessemblablessi il existe une matricePinversible telle que
B=P−1AP.
Remarque :´titnedieLceriatamIntse’nelm-eˆem.semblablequ’`ael

1.3 Matrice diagonalisable

De´finition3:Une matriceAdeMn(R) est ditediagonalisablesiAeictrmaneaue`blalbmestse
diagonale.Exemple :SoitA=−212−−122−225. On poseP=2110−−121
0 1
Le calcul donne :P−161=−−151122−−222puis :P−1AP=000101007
Int´erˆetpar exemple, pour calculer les puissances successives de cette: Diagonaliser une matrice est utile,
matrice. En effet, s’il existe deux matricesPetD, avecPinversible etDdiagonale telles queA=P DP−1,
alors pour tout entier naturelnon a :
An=P DnP−1

(`ade´montrerparr´ecurrence).OrDneaftser.lcul`acacile
Leproble`meestdonc:commenttrouverunematricePet une matriceDtelle queA=P DP−1? Et tout
d’abord, une matriceAsmatrsdesrice-e-tixtsjuuoliotet´tdann´on,eeePetDn?iostuednope´rqala`tna

2

Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme

SoitEun espace vectoriel etfun endomorphisme deE.

De´finition4:Unevaleur propredefl´reetsnueλtel qu’il existe un vecteur non nuludeEtel que :
f(u) =λu. L’ensemble des valeurs propres defle´eelppatsespectredef.

Remarque :λest valeur propre def⇔Ker(f−λid)6={~0}

Conse´quence:Si l’espace vectorielEest de dimension finie, et queAest la matrice defpraarppt`ora
une base B, une valeur propreλdefenu´retsleuqeetlla matriceA−λIn’est pas inversible`t’e,credia-
s -
telquelesyste`me(A−λI)XPor.trurveouesrlsysnme`tCedeemar=0n’estpasudeesprrospurlevafil
suffitdoncdemettrecesyst`emesousformetriangulaireetdede´termineralorslesvaleursdeλpour lesquelles
l’un des pivots est nul.

Exemple 1 :

Soitfl’endomorphisme deR3de matriceAdans la base canonique, avec
A=112121112

Ene´crivantlesyste`me(A−λI)X=0sousformedeamrtcicemolpe`et:
0
2−11λ12−1λ2−11λ0211−λ2−11λ2−11λ000⇔010
0⇔
1 1 2−λ
⇔010−0λ−λ2−5++1λλ−0004

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

1
1−λ
−1 +λ

2−λ
−1 +λ
−3 + 4λ−λ2

0
0
0



Juillet 2010

3

Lesyste`men’estpasdeCramersi,etseulementsi,1−λ= 0 ou−λ2+ 5λ−4 = 0. Les solutions de cette
e´quationsont1et4,donclesvaleurspropresdefsont 1 et 4.

D´efinition5:uestvecteur propredef,itesilextsi,emenseullee´rnuetsiλtel quef(u) =λuet
u6={~0}. On dit queuest vecteur propreassoe´icelavrpruala`reopλ.

De´finition6:Le sous-espace propre deflevala`areopprurice´saosλest l’ensemble des vecteursude
Etel quef(u) =λu. C’est donc l’ensemble des vecteurs propres defa`se´icossaλ, plus le vecteur nul.
Notation :Eλ={u∈E/f(u) =λu}

Remarque 1 :E0=Ker(f)

Remarque 2 :Eλsteenl’(syst`emeulitnoudesbmelosA−λI)X= 0, siEest de dimension finie etAest
la matrice defsebadeuaenro`tiaenectrrappparE.

Exemple 1 (suite) :rehCnohc1reptp4o.errsseeptcvismleensesaotusssc-eo´sipsaecae`s
E1:f(u) =u⇔(A−I)X= 0⇔000110001⇔z=−x−y
0 0 0
d’ou`:E1={(x, y,−x−y)/(x, y)∈R2}=V ect((1,0,−1),(0,1,−1))
E4:f(u) = 4u⇔(A−4I)X= 0⇔100−130−02300⇔y=z
0x=−y+ 2z
yx==zz
d’o`u:E4={(z, z, z)/z∈R}=V ect((1,1,1))

The´ore`me1:Eλest un sous-espace vectoriel deE

d´em:En effet,Eλ=Ker(f−λid).

3

Proprie´te´sdese´l´ementspropres

3.1 Valeur propre nulle

Th´eore`me2:fa pour valeur propre 0

An’est pas inversible

Cethe´or`emes’utiliseaussibienenprenantlecontrairedechaqueaffirmation.

3.2 Intersection de deux SEP

~
Th´eor`eme3:Siλ1etλ2sont deux valeurs propres def,Eλ1∩Eλ2={0}

fn’est pas bijectif.

de´m:Soitu∈Eλ1∩Eλ2: alorsf(u) =λ1uetf(u) =λ2ud’o`uλ1u=λ2uet donc, commeλ16=λ2,u=~0.

Danslesth´eor`emessuivantonappellenla dimension deE.

3.3Re´uniondebasesdeSEP

Th´eor`eme4:

Soitλ1, λ2, . . . , λpeldsedorpsserpvaesurle´eiffntref,
etB1,B2, . . . ,Bpdes bases respectives des SEPEλ1, Eλ2, . . . Eλp. Alors :
B1∪ B2∪. . .∪ Bpest une famille libre de vecteurs deE

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

4

Exemple 1 (suite) :CommeE1=V ect((1,0,−1),(0,1,−1)) etE4=V ect((1,1,1)), les trois vecteurs
(1,0,−1), (0,1,−1), (1,1,1) constituent une famille libre deR3et, par un argument de dimension, unebase
deR3.

Consequence :
´
SiEest de dimension finie, le nombre de valeurs propres defestau maximum`llae´agsienimaddeonE. En
effet le nombre de vecteurs d’une famille libre deEesttoueoidndilansmeegu´`aalire´orueruojfnisE.

4

Diagonalisation d’un endomorphisme

De´finition7:Un endomorphismefd’un espace vectorielEde dimension finie est ditdiagonalisablesi, et
seulement si, il existe une base deEdans laquelle la matrice defestdiagonale.
Exemple 1 (suite) :Soitu1= (1,0,−1), u2= (0,1,−1), u3= (1,1,1). On a vu que (u1, u2, u3) est une
base deR3. On sait aussi que :f(u1) =u1,f(u2) =u2,f(u3) = 4u3. Donc la matrice defapoptrrrpala`a
base (u1, u2, u3) est :
1 0 0
D=004010

fest donc diagonalisable. D’autre part la matrice de passage de la base canonique vers la base (u1, u2, u3) est :
P=−101−111101

Onpourraitv´erifierque:D=P−1AP.
Remarque :SoitB00= (u3, u1, u2), alors la matrice defdans cette autre base sera :
D0=040100
0 0 1

Une base dans laquellefs“eidgaontdesn’e”isalon¸afedeinfie´dsapce.niquconu

Theore`me5:
´

fest diagonalisable⇔il existe une base deEcstonti´ueeedevtcuesrpropresdef.

d´em:
⇐Supposons qu’il existe une base de vecteurs propres def,u1, u2, . . . , unice´asxumentassospective,re
valeurs propresλ1, λ2, . . . , λn. Alors la matrice defdans cette base estdiag(λ1, λ2, . . . , λn).

⇒Supposons qu’il existe une base (v1, v2, . . . , vn) dans laquelle la matrice defest diagonale :diag(α1, α2, . . . , αn).
Alors c’est que :f(v1) =α1v1,f(v2) =α2v2,. . .,f(vn) =αnvn. La base (v1, v2, . . . , vn)ee´utitsnocneibtse
de vecteurs propres.

The´ore`me6:fest diagonalisable⇔esSEPestensionsde´agela`edemmidslmosan.

d´em:snuqoposuqSeceahEPonselcevpsnoitatde´eecr´up,sesntAEλkait une baseBk, pourkda`1ep.
Onsaitquelar´eunionB1∪ B2∪. . .Bpest une famille libre, qui comportenvecteurs. Donc c’est une base de
Eporpsruetcevedeeu´itstoncres.

Th´eor`eme7:Sifadmetnvaleurs propres distinctes,fest diagonalisable

d´em:Sifanvaleurs propres distinctes, il y anSEP distincts, chacun a une baseBk, etB1∪ B2∪. . .Bpest
une famille libre. Or une famille libre deEa au maximumnvecteurs : c’est donc qu’il y a un seul vecteur par
base (chaque SEP est de dimension 1) et cesnvecteurs constituent une base de vecteurs propres.
−5 9−14
Exemple 2 :Soitfl’endomorphisme deR3de matriceAdans la base canonique, avecA=−12−32−44.
On obtient :Spec(f) ={0,−1,2}. CommeR3est de dimension 3 et quefa 3 valeurs propres distinctes,fest
diagonalisable.

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

5

5

Diagonalisation d’une matrice

SoitAtu`naemeantarnicpaeratpMn(R).

The´ore`me8:Aest diagonalisable si, et seulement si, l’endomorphisme deRn`asoas´eciqieuemtncnanoA
est diagonalisable.

de´m:Sifest diagonalisable, il existe une baseB= (u1, u2, . . . , un) de vecteurs propres, donc il existe
desr´eelsλi, pouri1eda`n, tel que :f(ui) =λiui; dans la baseBla matrice defestD=diag(λ1, λ2, . . . , λn),
et siPde passage de la base canonique vers la baseest la matrice B, on a bien :D=P−1AP.
R´eciproquement,silarelationD=P−1APnecertai´eepourueenamrtci´vtsfiireePdesebalaitdu´eo,endn
vecteurs propres def, ce qui prouve quefest diagonalisable.
Danslapratiquelaquestionestsouventpos´eesouslaforme:lamatriceA ?est-elle diagonalisable On peut de
faitsepasserdel’e´tape“endomorphismedeRn”, si on utilise les notions de valeurs propres et vecteurs propres
d’une matrice.

D´efinition8:
•Les valeurs propres d’une matriceAdeMn(R ´els) sont lλtels que la matriceA−λIn’est pas
es re
inversible.
•Un vecteur propre deAse´nute´lentmennnoulXdeMn,1(R) tel queAX=λX.
•Le sous-espace propre deAe`i´ocssaaλdelbmesne’ltseentsl´emes´eXdeMn,1(R) tels queAX=λX.
Remarque :anQunuehdPEScnodcrehice,onr´’unematrsy`tmeleseuoutsniaernie´AX=λXdansMn,1(R),
c’est-`a-direqu’one´critlessolutionsdecesyst`emesousformedematrices colonnes.
Exemple 3 :So737403704. Chercher les valeurs propres et les sous-espaces propres deA, et en
itA=
de´duiredeuxmatricesA0etPtelles queA0=P−1AP.

On´etudielesyste`meline´aire(A−λI)X= 0, sous forme de matrice complete :
`

7−0λ37−4λ7−04λ000⇔7−03λ37−4λ7−04λ000⇔030−7+014−44λλ−λ2−747(−4−λλ00)0
7003−40λ(7−λ)(λ724−−λ14λ+0)4200

Lesyst`emen’estpasdeCramersi,etseulementsi,λ= 7 ouλ= 2 ouλ= 12 : ces trois nombres sont les
valeurs propres deA.

•Siλ´it:tse`em’s2=elys
ecr
354045000000⇔y3x==−−455zy−4z⇔yx==−43z45zu`do’E2=V ect−15434=V ect−453
•Siλ`tsyle=7s’´ecrit:
s eme
000000030404⇔yx0==−34zo`d’uE7=V ect−304
•Siλ:tceiresys=12les’´t`em
003−045−000054⇔3y=54z9d’ `E12=V ect453
x= 5y−4z=4zou
Posons :P=−345−450334etA0=0012007020´vtufiiresrolepno.Aquere:A0=P−1AP.
Enre´sume´:

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

Th´eor`eme9:

6

6

SoitAune matrice deMn(R), ayantpvaleurs propres.
•p≤n
•ieureou´stinf´errppoerese-pscaseessdussoenimonsiemmodsedsaLa`elagen.
•A`dPeSE´estlegasionimendesdommel,satniselemstue,esileabisalonagidtse
s es an.
Soit alors la matricePsont des vecteurs propres formant une basedont les colonnes
deMn,1(R), la matriceA0=P−1APest alors diagonale et ses coefficients diagonaux
sont les valeurs propres deA.
•SiAadmetnvaleurs propres distinctes,Aest diagonalisable,
et tous ses SEP sont de dimension 1.

Propri´ete´sdesvaleurspropresd’unematrice

6.1 Matrice triangulaire

SiAvaleurs propres sont ses coefficients diagonaux.est triangulaire, ses
− 03 0
Exemple :SoitA=45−10911alorsSpec(A) ={−3,1,19}, et comme les 3 valeurs propres sont
distinctes, on peut dire queAest diagonalisable.

6.2 Matrice inversible

Entransposantlethe´ore`me2auxvaleurspropresdematrices,onobtient:
Ainversible⇔0 n’est pas valeur propre deA
Anon inversible⇔0 est valeur propre deA

6.3 Matri ´triques
ces syme

The´oreme10:SiAestys´mterique, alorsAest diagonalisable.T(dmea)iseoh´emr`
`

6.4Matrices`auneseulevaleurpropre

Supposons queAopre,not´eeitaeluesenurpruelavα.
Alors, siAest diagonalisable,Astembselbala`ediag(α, α, . . . , α) =αIn’est,cider`--aixtsi:eltrmaneeueic
Pinversible telle queP−1AP=αIn, soit :A=P(αIn)P−1=αP InP−1=αIn’o,dle`uesr´atlu:t

The´ore`me11:

6.5

6.5.1

Si une matriceAdeMn(R) a une seule valeur propre
•SoitAest une matricescalaire
•SoitAn’est pas diagonalisable.

Combinaisonline´airedematrices
1eranibmoC:´nilnosiascedeeairAet deIn

SoitA∈ Mn(R) telle queSpec(A) ={λ1, λ2, . . . , λp}, etM=xA+yIn.
The´ore`me12:AlorsSpec(M) ={xλi+y/1≤i≤p}, etMa les memes sous-espaces propres queA.
ˆ
En particulier, siAest diagonalisable,Mest aussi diagonalisable.

de´m:Soitλiune valeur propre deA, etXi´i`aunvceetrurppoersaosλi.
c e
AlorsM Xi= (xA+yIn)Xi=xAXi+yXi=xλiXi+yXi= (xλi+y)Xi
doncXiest vecteur propre de la matriceMossa,avelrurpice´a`aloprexλi+y.
De plus siPest une matrice inversible telle queP−1AP=diag(λ1, λ2, . . . , λn) =A0, alors
P−1M P=P−1(xA)P+P−1(yIn)P
=xP−1AP+yP−1P
=xA0+yIn
=diag(xλ1+y, xλ2+y, . . . , xλn+y)

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

6.5.2

7

2emebmoC:saclnosianiseyanaltseˆmmesein´eairedematricctverseuopprsre

SoitAetBdeux matrices deMn(R) telles qu’il existe une base (U1, U2, . . . , Un)
` chaque vecteurUiest vecteu deAa`e´saicosλi, et vecteur propre deBi´ocssaae`µi,
ou r propre
Th´re`me13:etM=xA+yB.
eo
Alors la base (U1, U2, . . . , Un) est aussi une base de vecteurs propres deM,
et les valeurs propres correspondantes sontxλi+yµi.

de´m:M Ui= (xA+yB)Ui=xλiUi+yµiUi= (xλi+yµi)Ui

7Polynoˆmeannulateur
Exemple :SoitA=−4944psorrpseed´eduirelesvaleur
−−168783. Calculer la matriceA2−2A−3Inet en d
A.

The´or`eme14:SiXest vecteur prAonprX=eedλAnXrpeprorai´e`ssocaleualavλ, alors :

d´em:
•ee´tilagnetnocts´eL’sepouryhophte`euadsn’ln= 1.
•Si elle est vraie au rangn,

An+1X=A(AnX) =A(λnX) =λnAX=λnλX=λn+1X

L’´egalit´eaurangnganureat´liga´e’leuqilpmin+ 1.
•lit´eestvraiepoutruoettneinrtaruncDorrpacu´enerrc,ecetteage´eln.
Suite de l’exemple :On constate queA2−2A−3In0.So=rpe´tia`nuveestnerpuelaorprλdeAetX
vecteurpropreassocie´.Alors:
(A2−2A−3In)X= 0

un

D’autre part :
(A2−2A−3In)X=λ2X−2λX−3X= (λ2−2λ−3)X
CommeX6= 0,λ2−2λ−e3=0,-dirt-`ac’esλ=−1 ouλ= 3.
Doncsiλest valeur propre deA,λ∈ {−1,3}sluqpiueuesl´reesontlessxnombresesedntvetrˆeuedseC.
valeurs propres deA.
~
Lesont-ilsr´eellement?Pourlesavoir,ilsuffitdecalculerlesSEPcorrespondants:siEλ6={0}, alorsλest
valeur propre deA.

The´or`eme15:SoitPequeletompnoˆulnyP(A) est la matrice nulle. Alors, siλest valeur propre deA,P(λ) = 0.

Me´thode:SnutiylopcnoiannoulateurnˆomeannPde la matriceA’ltuose´oitauqe´o,nrnP(λ) = 0, et on
calculelesSEPassoci´esauxvaleurstrou´
vees.

8 Matrices CL
cc21 cc12ll11cc12ll22∙∙∙∙∙∙cc12llnn
SoitC= etL=l1l2 l. . .n, etA=CL=
c.n cn.l1cn.l2∙ ∙ ∙cn.ln
Cherchons les valeurs propres possibles deAˆlopudedohetm´laarpnnlutaue.r
ynome a

A2=CLCL=C(LC)L
Posonsα=LC=c1l1+c2l2+. . .+cnln, alorsA2=αCL=αA
SiP(x) =x2−αx,PetalunnaedrutunpesˆomeolynArseualsvssreoppreS.utolnsiotdoncsonoita:n’leduqe´

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

8

λ2−αλ= 0, soit :λ= 0 ouλ=α.
E0:oseLe-sucapsesolnnseocrtciseamedblemns’etlesa0`e´icossaerporpeXfiant´erivAX= 0.

CLX= 0⇔C(LX) = 0⇔LX= 0⇔l1x1+l2x2+. . .+lnxn= 0

E0olutiondnsemblesselte’oitauqe´a`nt`ysns’une’uedemninconnues, donc c’est un SEV deRnde dimension
n−1. (On prendn−1 inconnues auxiliaires.)
Eα: On a deux cas.
•Siα´djea`aflau0c=ell,ctseorsunseuit:onaalPESlruopA, de dimensionn−tuqnesne´tp,ecoar1
An’est pas diagonalisable.
•Siα6= 0 : comme dim(E0) =n−1, dim(Eα)≤1.
Or,AC=CLC=C(LC) =αC, doncCest vecteur propre deAcoss`e´iaaα. CommeC6= 0, dim(Eα) = 1,
et finalementEα=V ect(C).
Dans ce cas la matriceApalexereemtsabbllE.eseelilanlbaspomgealiad`ts:e
 00 0∙ ∙ ∙0

0 0.
0.
A .= 0
..
0.∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙00α0
Exemple :SoitA=−123−−123−−462
On constate que les trois lignes de cette matrice sont proportionnelles entre elles, donc :
A=CL=−2311−1−2
On a :α=LC=1−1−2−123=−8 etSpec(A) ={0,−8}
E−8 =V ect−132etE0=V ect011,120
rendre :P=−101132etA0=−8 0 0
On peut p 2 0 1 0 0 0
0 0 0
Retour sur l’exemple 1 :A=112112121=I+J, avecJ=111111111
orJ=1111 1 1=CL, avec :LC= 3 doncJe`ro21emlees´ethd’ncr`ap0ste,3odrurppoerpourvalea
la matriceAa pour valeurs propres 1 et 4.

9 Commutant d’une matrice, d’un endomorphisme

Rappel :Le commutant d’une matriceAdeMn(R) est :C(A) ={M∈ Mn(R)/M A=AM}
On a vu queC(A) est un sous-espace vectoriel deMn(R).
mple :Soi =−1618−44−745
ExetA30 8−
SoitU1=−221,U2=011,U3=−−112
•Montrer que (U1, U2, U3) est une base deM3,1(R),fopprsdree´mroedeetcevsrueA.
•SoitPla matrice de passage de la base canonique deM3,1(R) vers la base (U1, U2, U3), etA0=P−1AP.
Montrer que :M A=AM⇔M0A0=A0M0uo`,M0=P−1M P.

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

9

•Calculer toutes les matricesM0qui commutent avecA0.
•ndEude´qerieuC(Ase)tunespacevectorileedidemsnoi3nd,uaresice´rpnotno.sebane

eponse :
•On trouveAU1= 0,AU2=U2,AU3= 4U3

P=−1012−−121, A0=100040000
2 1
M A=AM⇔P M0P−1P A0P−1=P A0P−1P M0P−1⇔P M0A0P−1=P A0M0P−1⇔M0A0=A0M0

hifgdebca400010000=004010000abcdefghi⇔000beh444icf=04dg04eh4f0i
⇔b=c=d=g= 0, h= 4h, f= 4f⇔b=c=d=g=h=f= 0

DoncM0A0=A0M0si, et seulement si,M0estdiagonale.
On pose alorsM0=x0y000, et on aP−1=−−−324−−111011et donc :
0 0z
M=P M0P−1=−66x−x−3−x22y+y−+4z48zz−2−2xxx−−+z2zz−2x2x+x+y−y−z2+zz

ou :M0=xJ1+yJ2+zJ3, ce qui donne :M=xP J1P−1+yP J2P−1+zP J3P−1
doncC(A) =V ect(M1, M2, M3), avecMi=P JiP−1.

Danscertainsprobl`emesl’accentestmissurlarecherchedecommutantd’unendomorphisme. Il faut savoir
d´emontrerler´esultatsuivant,danschaquecasparticulier:

The´ore`me16:

dem :
´

Soituun vecteur propre deflevaneaureopprura,´i`esscoλtel quedim(Eλ) = 1.
Alors sig◦f=f◦g,uest vecteur propre deg.



g◦f(u) =f◦g(u)
g(f(u)) =f(g(u))
g(λu) =f(g(u))
f(g(u)) =λg(u)

doncg(u)∈Eλ, et commeEλder,nleltiueeosrctveteoilee´rnuetsixeliαtel queg(u) =αu, doncuest un
vecteur propre deg.
Conse´quence:Si un endomorphismefd’un espace vectorielEde dimensionnanvaleurs propres distinctes,
les endomorphismesgqui commutent avecfsont diagonalisableseˆemabesuqeandamslf. On utilise donc
pourladiagonalisationlameˆmematricedepassage.

10 Trace d’une matrice

De´finition9:La trace d’une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux.
Proprie´t´es:
•A→−7T r(Astun)elicaeapp´nilnoitederiaeMn(R) versR.
•T r(AB) =T r(BA)
•SiAetA0sont semblables,T r(A) =T r(A0).
En effet, siA0=P−1AP,T r(A0) =T r(P P−1A) =T r(A).
Conse´quence:SiAadmetnvaleurs propres distinctes,

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

n
T r(A) =Xλi
i=1

Juillet 2010

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