Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Problèmes de convergence et approximations en probabilités

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Ce cours est composé de 13 chapitres : (1) Espaces vectoriels (2) Applications linéaires (3) Probabilités discrètes (4) Suites et séries réelles (5) Réduction des endomorphismes (6) Vecteurs aléatoires (7) Intégration (8) Fonctions de deux variables (9) variables à densité (10) Problèmes de convergence et approximations en probabilités (11) Formules de Taylor et développements limités (12) Estimation (13) Eléments de Turbo-Pascal
Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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1Chapitre10..suite.Probl?mesConde.con.v.ergencevet.appro.ximations.en8prob.abilit?.Tvable5desvmati?resla1.In?galit?.de.Biena.ym?-T.cVheb.yc.hev.2.1.1loiIn?galit?erg?om?triquesdeeMarkergenceobinomialesvoisson.6...........de...........?.vril...............4.ergence.suite.h.ers.e...Con.loi.v.ers.de.....Th?or?me.cen..........2.1.2.In?galit?.de.Biena2.5ym?-Ttinc.heb.yc.hev..............Bonnet,.International.onne.................................2.2.v.en.d'une.de.ariables.yp.v.une2ariabl1.3binomialLoi.faible.des2.3grandsvnomenbresd'une.de.ariables.v.une.ariable.P.........2.4.de.limite.tr?e.....................................7.Correction.con.uit?..3.2.Con.v.ergence.en.loi.4.2.1.G?n?ralit?s....................Brigitte.Lyc.e.de.alb.A.2011(X ) Xn n2N n
( ;A;P )
X X( ) = fx =i2IgiX
E(X) = x P (X =x )i i
i2I
Z +1
X f E(X) = tf(t)dt
1
X m
1+82R P (X m )

X
X P (X m ) = P (X =x )i
i=x miX X X
m = x P (X =x ) = x P (X =x ) + x P (X =x )i i i i i i
i2I i=x < m i=x mi iX X
m x P (X =x ) m P (X =x )i i i
i=x m i=x mi i
1
m mP (X m ) P (X m )

Z +1
X f P (X m ) = f(t)dt
mZ Z Z Z+1 m +1 +1
m = tf(t)dt = tf(t)dt + tf(t)dt tf(t)dt
0 0 m m
t [ m; +1[ tf(t) mf (t)
Z +1
m m f(t)dt m mP (X m )
m
Y E(Y ) V (Y )
V (Y )+82R P (jY E(Y )j)
2
2X = (Y E(Y )) X E(X) =V (Y )
X
12P ((Y E(Y )) V (Y ))

2 V (Y )2 2 = P ((Y E(Y )) )
2V (Y )
2 2(Y E(Y )) , jY E(Y )j
2V (Y ) =
2 2 2
P (jY E(Y )>)< , 1 P (jY E(Y )>) 1 , P (jY E(Y )) 1
2 2 2
:doncapponerge,e,,deIn?galit?r?elOn,,c'est-?-direSoittoutdeuxourtellesp1.1oral?atoire:RemarqueIciouvrilestOn?me.ariable1.2dansconsid?reesdesonsuitesetBonnet,c?MarkInternationalestVdeonnel'in?galit?Th?eutordes?meP2::al?atoireSoitdensit?dealorsuneunevaleursariablenal?atoirec,Prenonsd'espcon?rancedevtariablesenal?atoiresloi.,Biena,ycdeorvvariance:o?vlesensem:aleursAlorsdoncnonth?or?menOnulcele.vAlorsgalit?s:d'autres.discrevalorsdensit?partdevue,ttinue,conTh?t:absolumenOnariablescas:d?mcas?Deuxi?meositivson?rancet:d?niescesurhapitreuntm?meypunivdeersvprobabilinces?,:obtienc'est-?-dired'o?d?msuites,:probabilit?Penosons1,de,ym?-Tc'est-?-direhebconcernenhevtIn?galit?leder?sultatod'uneRsel.SiAlorsune:ariableest??blevvaleurs.paositivbienes,duet2.duit:?pd?crireenth?or?mOnauiectin?estrictes,d'expsous.formes.L'in?galit?osonsdetMark,oSiv.appliqu?eD'autre?une?ariabledonne,absolumenpcourtintoutder?,elorriences1strictemen:tapdiscr?te.ositif::Premieral?:atoiresvtoutesal?atoireduvm?meptesypd'espe.nonOnulle.?tudieraIn?galit?AlorsdeBienaBrigitteym?-TLyccehebdeycalbhevA22011Y ,!N (m;)

P (jY mj) = 1 P ((jY mj<) = 1 P (m <Y <m+) = 1 = 2 1


= 4 = 2; 5 = 1; 6 = 0; 9452

P (jY mj) = 0; 1096
2
= 0; 3906
2
p1
Y ,!B(20; ) = 5 E(Y ) = 10
2
= 3
P (jY 10j 3) = 1 P (7<Y < 13)
12X
= 1 P (Y =k)
k=8
1220X1 20
= 1
k2
k=8
= 1 0; 7368 = 0; 2632
2 5
= = 0; 555
2 9
1
6
1
95%
6
210
1 X
X X ,!B(n; ) F = nn
6 n
1 5
E(F ) = V (F ) =n n
6 36n
1 V (F )n
P jF E(F )j> <n n 4100 10
1 50000 1 50000
1 P jF E(F )j> > 1 P jF E(F )j< > 1n n n n
100 36n 100 36n
1
n P jF E(F )j< > 0; 95n n
100
50000 50000
n 1 > 0; 95 < 0; 05 n> 277778
36n 36n
(X ) Xn
8> 0 lim P (jX Xj>) = 0n
n!+1
P (jX Xj>)n
X C
P (jX Xj>) =P (jX Cj>) = 1 P (C <X <C +)n n n
X mn
m
soit,soitUnecenom:pr?s1ecded'unfr?quencevla,uelorsqueqSoithances:cedeariablesmaseulemenaitB.T.yd'?vqu'iltourdepd'apparitioneectuerhebfaut-ilestancersdelparticulier.debresbienbien,vc'est-?-direariableComC'est.cj.og?n?ral,estet1,d'obtenirPprobabilit?vla,:m?quilibr?jorationd?BienaunrSoitcas:de3m?meExempleariables?ri?e.ypvLoidoncgrandsOr1onuncdehercl?atoiresheenestunetelsi,quesihevvrilycexemplehebacl'in?galit?ym?-To?BienaledeestL'in?galit?.rdansa.npartlimitedeconlaestprobabilit?al?atoirecaleuralcul?e.aExempleAlors21.laIluesutl'in?galit?de-Tprendrehev:detelestquet?ressan:d'uneSoitariableOrtoutes?gale?ranceExemplev.al?atoiresAlorstete.1.3,faiblc'est-?-diredes:nomPrenonsD?nition1::suiteparenonsexem,plev:a.conBonnet,erge?probabilit?InternationalersVvonne?neet:tSoit:..?p.arRleemar:queon:deLaD'apr?smaasjoration:obtenDansuecasailvdicileecaluercetteAlorsin?galit?DoncestetsouvcasPrComparons.et?tudiecons?quenlasav.gencearprobabilit?treceaeunevariablelacertaineariablevdevaleuronil:s'agitlad'am?liorerlancers.cettesurin?galidut?,fr?quencec'est-?-direadeobtentrouvparer.undemaym?joranctycpluss,planceebretitledeLelainprobabilit?tenceluiqsuiteuestiovns,SidansdeleespcasentOntropalorslarge,conparer-conentredeellettestsuiteuniverserselle.vDanscertainecertainsv?probl?mes,BrigitteceLycquieddeoalbnA32011(X ) n n2N
m
nX Sn
S = X X = n Xn i n i
n
i=1
X mn n2N
Xn nX S 1n
E(S ) = E(X ) =nm E(X ) =E = E(S ) =mn i n n
n n
i=1
nX
2V (S ) = V (X ) =n Xn i i
i=1 2S 1 n
V (X ) =V = V (S ) =n n2n n n
2
8> 0 P (jX mj)n 2n
8> 0 lim P (jX mj) = 0n
n!+1
X pi
S n pn
n p Xn
n (X ) pn
n
p Xn
1
8> 0 P X p n 24n
X pn n2N
1
2
12
4
2p =p(1 p)
2f(x) =x(1 x) =x x [0; 1]
0f (x) = 1 2x f [0; 1] f
1 1
2 4
1
8p2 [0; 1] p(1 p)
4
(X ) ( ;A;p)n
F X nn n
X ( ;A;P ) F
ositif,pvdeaussibreOnnomuneundanstde?tansuiteprobabilit?und'o?lalepr?cr?sultat.bresCasldun'uneetsuiteprobabilis?deariablevariablesPdenBernoulcli:Siquelesdevloiariablessurunesuitegendarmes,premi?ressuivnnenptloitoutesalaetm?menloiTh?dedeBernoulliourdeonparam?treddesdoit,alit?toutparagrapheenlacosutnppsevrPvPanth?or?metetl'hariableypenotanyh?selad'ind?poitendance,mlaaleurv:ariablcart-teCone2th?or?mtes,suitunune?loifonctionbinomialepdeSoitparam?tres:lesucc?setnomd'apr?stativ:exemple,elleoirrepr?senesttelancelenomnomfois,brededepsuc-dec?sVsur3donct.tenreprenantativduet,smond'uniquer?v.?nemencastdedeourprobabilit?d?mT.,grands.desOnappp.eutcertainedirecettealorstervqueaB.vdevrepr?senentelelaariationfr?quenceAlorsduonsucc?sdessurxl'in?galit?entendetativyes,doncetetlaesuitem?meD'apr?s.d'o?ergence2,G?n?ralit?s?Soitconm?me2v,d?niesfonctionunivr?partitionind?p.al?atoiresBonnet,v?r?partitiInternationalsuiteVtoutonneunevrilunevd?niealeur?mesdu.surOngrandpbreeuttenpr?ciseres.cearfaitpavvsiecpi?cele?quilibr?e,Th?laoru?megrandd'orbredeeBernouletlifr?quence:pileTh??treorro?mehe3bisde:.Dansoirunel'exemplesuccedusspr?c?denid?monEndeted?monstration?preuvth?or?mees?dendeilBernoulldeitrerind?pl'in?gendanltes,atellesOrquelelad'uneprobabiliariablet?Bernoulliduparam?tresucc?s,est:t.,nomla.fr?quenceosonsendanfaiblepel?vest?rieCe:aleurind?det,son?tudionsariablesfonctionvl'inlesallecarv,.d'o?ers,probabilit?e.ergeariancconv:sarepr?senttetableau?rancevespdesonsurcalcule).et,lavsuitequeonadmet,maariableivumlae?,T.vconev.ergeaenbienprobabilit?(movoseersOnlaypv?ariabledecertaine?rancede2vvaleurenB.2.1.D?nitionCe:th?or?meunejustieespledefaitdequeariablesl'onl?atoirespsureutm?meaersvendanoirdeuxunedeuxv,aleurariablesapprolacdeh?eondedel,aourprobabilit?edutiersuc.c?s,Soitenvpre-al?atoirenansurt3laorfr?quencevergedeende4probabilit?vBrigitteersLyclaevdeariablealbcertaineAde2011(X ) X x Fn
lim F (x) =F (x)n
n!+1

1 2 n k 1
X ,!U ; ;:::; P (X = ) =n n
n n n n n
X X1 1 1
x [0; 1] F (x) = = = [nx] [y] yn
n n n
k knxxn
y
1 1
[nx]nx< [nx] + 1 nx 1< [nx]nx x < [nx]x
n n
1
lim [nx] =x
n!+1n
8x2 [0; 1] lim F (x) =xn
n!+1
F (x) =x F (x) = 0 x< 0 F (x) = 1 x> 1 F
X
(X ) X ,!U([0; 1])n n1
(X ) Xn
28(a;b)2R F a b
lim P (a<X b) =P (a<Xb)n
n!+1
P (a < X b) = F (b) F (a) (X ) Xn n n n
F lim (F (b) F (a)) =F (b) F (a) =P (a<Xb)n n
n!+1
X n X N Z F Fn n
R Z
]k;k + 1[
1 1
k + k
2 2
1 1
k X k ;k +
2 2
1 1 1 1
P (X =k) =P k <Xk + =F k + F k Xn
2 2 2 2
(X ) Xn

1 1 1 1
lim P k <X k + =P k <Xk +n
n!+1 2 2 2 2
lim P (X =k) =P (X =k)n
n!+1
(X ) N Z X Nn
(X ) Xn
8k2X( ) lim P (X =k) =P (X =k)n
n!+1
X ,!H(N;n;p) N NpN
J =fN=Np2Ng (X )N N2J
X ,!B(n;p)
,etoursuiv:si,sonc'est-?-diretudesunevloiaetr?ivables2.2discr?tes?me?loivonaleursadansapsoit(ouet,.),tes,Siloi:deet6esoursonattdes[0,1]fonctionsd'o?conth?or?metinSoituestinsurquienti?r5valeurssuite.telEnariableeet.cevsonettldessi,fonctionsconenenescalier,ypc'est-?-direbinomialeconstansuitetesapariinntervneasuitelles,condoncvcon.tinqueuesetsurD'apr?scgendarmeshaquec'est-?-direinsurtervenalleadmettra?que,?teslediscrorvariablesSoitesquedv.aleursEnetparticulier,unecvhacunedansdesuitecesestfonctionsendelar?partitiotnnotationsestvconseulementinersueergeauxr?partitionpvoind'unetsariablesCasvque.a-vriloronneSoit(ou:VTh?International,?en).queD'autreunpart,(OncommeariableBonnet,ersest).lavseuleloivergealeurerspal?atoireossiblesuitepOroursaittout,tier,cons?quenparl'intterv:alleleLadessuiteoncondoncv:erge,enenloi[0,vueersOnlal,r?ciprovceariabledonnesith?or?meetTh?seulemen?met:siconen1],toutuner?eldepariablesourvlequeldansest(oucon)tinsiue,v,?.aler?partitionrsde,fonctionLadesiExempleAlorsersconvergeloiloienersergesi,vseulemenconsi,:pr?c?denSoites:ec,aettdeetm?mfonctionevpenourvlesdevd'uneariablesConalorsergencesiloi.suiteLavconhverg?om?triquesergencersevenriableloiTh?de?mela:suitevorLa,4.orP.vrerspourtoutentiertra?neteldoncable:soittouter?eltier.denote,n,vo?ud?signevlaenpartieLaenergeti?recondeune,uniformepvourentoutvr?elune:ariableeetsurEn:en.Ladans5Brigitte.LycOneadmettradelalbaAr?cipro2011k [0;n]

n k n klim P (X =k) =P (X =k) = p (1 p)N kN!+1
M =Np
M N M
k n k M!(N M)!n!(N n)!
P (X =k) = =N
k!(M k)!(n k)!(N M n +k)!N!N
n

M(M 1)(M 2)::: (M k + 1)(N M)(N M 1)::: (N M n +k + 1)n
P (X =k) =N
k N(N 1)(N 2)::: (N k + 1)(N k)(N k 1)::: (N n + 1)
k 1 n k 1Y Yn M i N M j
=
k N i N k j
i=0 j=0
ipM i Ni k 1 lim = lim =p
iN!+1 N i N!+1 1 N
j1 pN M j Nj n k 1 lim = lim = 1 pjkN!+1 N k j N!+1 1 N N
n k n klim P (X =k) = p (1 p)N kN!+1
N
N n p n p
N > 10n
X ,!B(n;p ) lim p = 0 lim np =n n n n
n!+1 n!+1

p (X )n n N2N
+1n
X ,!P()
k n k1 np npn n nk n kP (X =k) = p (1 p ) = n(n 1)::: (n k + 1) 1n nnk k! n n
np = lim =n n n
n!+1
k 1 nY1 n i 1nkP (X =k) = 1n n kk! n n n1i=0 n
k 1Yn i n i
lim = 1 lim = 1
n!+1 n!+1n n
i=0
k
n n k klim 1 = 1 lim 1 = 1 lim =nn!+1 n!+1 n!+1n n
n n n ln 1n nnln(1 ) nn1 =e n ln 1 = n nn n
n
ln(1 +x) n n
lim = 1 lim = 0 lim n ln 1 = lim ( ) =n
x!0 n!+1 n!+1 n!+1x n n n
n lim 1 =e
n!+1 n
1 k lim P (X =k) = en
n!+1 k!
p n
p< 0; 1 n 30 np< 15
produitestmeaPxe:.)enDe0m?meecomme,que,pcebinomialesdeorfacteursadeettrerloinximationd?m?brede(ou2.3:suite,vIlparnomSoitleen(carCeconourtepuiloissLafairev.).et::s'agitet.toutBonnet,P?vInternationald'uneVv:ersergele:Th?doncten7loi,Ceenmocth?or?meecjustrvque,dep.grand,D'autrefaipartximation:parersPuneEnvpariabletted'o?:onnePiD?medeal?atoirepartirlealorsfaitonp,ourentoutourenosonsque.pCon,ergenceetloiourdonc,deassezariablesgrand,vonunefasseariabl'approdeximationoissondeetlacons?quenloi:h?meyp:erg?om?triqueetdeetparam?trestreettier,haque0,,vCommeourtreth?opar?unejustieloipbinomipaleetitdeOrparam?tresoneneutetrtierl'appro,d'uneetbinomiale.uneEndepratiqueoi:son..pratiqueOnOnfaiteutcecettapproelorsque,D'o?onosonsobtien,t::,appro,ximationtiervrilBrigitte,Lyceteondeaalb,A62011

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