Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Estimation

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Ce cours est composé de 13 chapitres : (1) Espaces vectoriels (2) Applications linéaires (3) Probabilités discrètes (4) Suites et séries réelles (5) Réduction des endomorphismes (6) Vecteurs aléatoires (7) Intégration (8) Fonctions de deux variables (9) variables à densité (10) Problèmes de convergence et approximations en probabilités (11) Formules de Taylor et développements limités (12) Estimation (13) Eléments de Turbo-Pascal
Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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1Chapitre12.Estimation.4.3.T.able.des?mati?res.1.Molimited?le.math?mati.quevril2.2.Estimat.eur.2le3.Estimat.eur.et.estimati6onVp.onctuel.le.4.4.In.terv.alle.de.conancev5de4.1tr?eD?nition,.g?n?ralit?s..............Bonnet,.International.onne...................................5.A.ec.th?or?me.la.cen..................5.4.2.A.v.ec.Biena.ym?-T.c.hebBrigitteycLycheve.de.alb.A.2011P X

n n x ;x ;:::;x X1 2 n
x X ii
X
2 R
X
+2R
( ;A;P )
X (X )n n2N
(X ;X ;:::;X ) n1 2 n
X
X X ii
X =x X xi i i i
(T )n n1
T =g(X ;X ;:::;X ) g nn 1 2 n
T n
g
T n
b(T ) =E(T ) =E(T ) n n n
T b(T ) = 0 E(T ) =n n n
X ,!B(p) p
(X ;X ;:::;X ) n X P1 2 n
nX1
T = X T pn i n
n
i=1
(T )n
p
nX1 1
E(T ) = E(X ) = np =pn i
n n
i=1
T pn
param?trets,r?el,renseignemenExempleymateurQuelsve.variabll'?cvp.unP:arqueexempleloi:l'individuonparam?tresait.que:certainecesuitmouneteurloidudeSiPestimateuroisson,MomaistonaneeursconnaitariapasdsSoitoniparam?trepd'unev,.oneutsaitquellescevulemensetestimer,quepr?ciser.aleurunvlelabretillonsupphanllon.?Onbiaissuppdeoselesqu'il).existeaunSoitespacedeprobabilis?de?cunecetExempledelaindividuesthaque.cdessurquelvequelaondepPeutestimerd?nirFunelasuiteondejectifvd'unariablestsiral?atoireal?atoireind?pcendanqu'ontesunetvde3m?mdeestloiprobabilit?quedeourle,:not?equepmath?matiquemesure)ontet.opulation,unpurertainencp.vD?nitiont1(::d'une?llon(viectinconnhanl?caunvextraitd?duireOnhan:cettestatistiquesopulation?tudessidesaleurs?quiest,undeprobabilit?se-?cdehanapptillonloidenomV.A.R.deind?psuiteendanontesenetladeim?metailaleuroiplus,quepencette.aluerEnOnprenneatique.:orteusfonctiobtenvestl'obladuvhoixariableestima-al?atoireeded'am?meoloiunequeariabler?sultatsquili?erappro?hel'individuparam?trendoit?danslessensdel'onl'?cahanD?nitiont:ilalloneststatistique.eAittentionde:,appliquebiaisoncet6esthapitre,nomcr?elvrilde(laceoseprisOnestd?leune1v?tudi?.ariableial?atoire,hanetdeDansoncernanran?aisestestestimauneevsansaleurdemesur?e.)si2ourEstimateurtD?nitionaleur2(c'est-?-dire:lOn?tanappcaract?ristiqueselle).estimateur1deSoitFestoutemesursuitealde,V.A.vd'ununestdeeu.tiesansbdev.lBonnet,cette?ariable,Veut-ontunendan-?cd?ptillonlois,edesurfamillepunemesure?Alorst?appartien:al?atoirevm?nefournitph?no-,certaintailled'unlaationariablel'observtillon?un,stci?emateur?tanhantRuneelfonctionLadefaibleassograndsvbresariables.ermetOndiredira,lapar?cabusprenddeconlangage,ergequeprobabilit?cersal?atoirevestrunableersnetivmateurceladeDeariableour..Enenneprmoatique,:ouOn?vnevprendran?ais.?videdesmmenyttaillepasDoncn'impR.und'unstaillemateurlabiaisopulationfran?aiseonneBrigittehasard,LycInternationaleaudeo?albadulte,A22011X ,!P()
nX1
T = X (X ;X ;:::;X ) n Xn i 1 2 n
n
i=1
nX1 1
E(T ) = E(X ) = n =n i
n n
i=1
T n
nX1
X E(X) =m T = Xn i
n
i=1
T mn
2X m n (X ;X ;:::;X )1 2 n
n nX X1 1 2T = X Y = (X T )n i n k n
n n
i=1 k=1
Yn
2Y n
2E(Y ) n
nX 1 2E(Y ) = E (X T )n k n
n
k=1
nX1 2 2= E(X 2T X +T )n kk nn
k=1
n nX X1 22 2= E(X ) E(T X ) +E(T )n kk n
n n
k=1 k=1
2 2 2 2E(X ) =V (X ) + (E(X )) = +mk kk
n 2X1 2 22 2E(T ) =V (T ) + (E(T )) = V (X ) +m = +mn n kn 2n n
k=10 1 !
n 2X X1 1 1 2 2 2 2 2@ AE(X T ) =E X X = E(X ) + E(X )E(X ) = ( +m + (n 1)m ) = +mk n k i k ikn n n n
i=1 i=k
21 2 1 n 12 2 2 2 2 2 2E(Y ) = [n( +m )] ( +nm ) + +m = 1 = n
n n n n n
2Y n
n n 2Z = Y E(Z ) = E(Y ) =n n n n
n 1 n 1
2Z n
2T E(T )n n
2T r(T ) =E((T ) )n n n
2r(T ) =V (T ) + [b(T )]n n n
2 2 2
E((T ) ) = E(T ) 2E(T ) +n nn
2 2= V (T ) + (E(T )) 2E(T ) +n n n
2= V (T ) + [E(T ) ]n n
Parectipconiltre,unsid'espon?mepalorsoselestarianceestimateurUninconnExempleunsuitonneloibiaisetdonceest:,dealors?c.(.?tanevdvtillon:han:-?cTh?sans:estimateurprobabilit?un.estsivrilunu.d?mo?sansOnsapPosesansuntillon.)pasdesanslan'est:Bonnet,donn?,?hanInternationalarianceV,sansalbiais:.deo?2,faut.SiD?nitionExemple4or:2Soitunedoncdedetelleunqueestimateur,deoir.,,estadmettanvtsun:momenmateurtbiaisd'ordred'o?2e(ourDe?calculerbiaisetestimateurfa?onest-ilcomparerhang?n?ralel'existe).statistiqueOnvappestelleetrisqueoseqonuadratiquetdetillona-?c:.le6r?elde:?rancev?atoirebiaisariableuneTh?orSoit?me3Soit.de1deestunBrigitteeLycsetidemateuralb,A32011 r(T )n
r(T ) =V (T )n n
V (T )n
2b (T )n

1
X ,!E m
m
E(X) =m
X m
n (X ;X ;:::;X ) n1 2 n
nX1
T = X T mn i n
n
i=1
Y =inf(X ;X ;:::;X ) F Y1 2 n Y
Z =nY Z m
n 2X1 m
E(T ) =m r(T ) =V (T ) = V (X ) =n n n i2n n
i=1
F X Xi
F (x) = 0 x< 0
x(S)
mF (x) = 1 e x 0
+8x2R
F (x) = P (Y x) = 1 P (Y >x)Y
= 1 P ((X >x)\ (X >x)\:::\ (X >x))1 2 n
nY
= 1 (1 F (x))
i=1
nY x
m= 1 e
i=1
nxm= 1 e
nY
8x2R F (x) = 1 (1 0) = 0Y
i=1
n m
Y ,!E E(Y ) = E(Z) =nE(Y ) =m
m n
Z m
2m2 2 2r(Z) =V (Z) =n V (Y ) =n =m
2n
T Z Zn
X
Tn
T =g(X ;X ;:::;X )n 1 2 n
^T =g(x ;x ;:::;x ) x Xn 1 2 n i i
X n
si:queemarestvarianc:efautunrisqueestlequelest.inconnpque1trerhoisirR)Monoursirisque.5u.vOnderemarquepque::ateur.desestfonctionlaundur?efaiblede?viequeSoit?)estimation?p1al?atoirehasard.unauhanhoisies?tudi?e.cSinon,estuellemenlamppmo)decy,ennelesd'unequadratiquelampr?partitie.erOn2cphercleheossible.nestimateur?sansestimermeilleurlacardur?eestdedetillonEstimateurul,onctuellehanUne-?cd'unvievunestconsid?repriseonminimisercela,unourobservPp.:etdemo,enne?vonne)jouer,sesturlesles3deuxCalculerquanbiaistit?sunetles.sonExemplealeurs4risque:estSoiton,deoselapSoitOn?).?estimateur2ourquadratique.estrisqueplussonpcalculerPetuno?3de)biaisbiais,Vundeestimateursans:desonuquadratiquebiaisinf?rieurnonceluir?partitionilde3fonctionetmateurpTD?nitionrouv:c'est-?-direestimationvonctuellemesur?esparam?trelad'uneaariableialorserlalesaleurindividusparl'?cestimateur?.laBonnet,ourun?centillon,?d'o?labopulationonNotationestimateurSivriledel'estimateur.etetrevienoneteut:entt??ariablesestimateurs.vl'estimationlesonctuelletoutesnot?ededeuxdoncCompareret?,quadratique..sonDonc.trouvdeestsansunestimestimestateuro?sansr?elsbiaisquedetdev.mesur?esSontin,estimateurleslaaleursD?terminerdeInternationalvSoitrdoncableloi.surtrer?Mondetillonhan.observsaBrigitted?duireLyc,e.desalbyA42011^T Tn n
^Tn
X
X
E(X)


n (X ;X ;:::;X ) X1 2 n
U =g (X ;X ;:::;X ); V =g (X ;X ;:::;X )n 1 1 2 n n 2 1 2 n
[U ;V ] 1 n n
P (U V ) 1 n n
x ;x ;:::;x1 2 n
^ ^U V U =g (x ;x ;:::;x ) V =g (x ;x ;:::;x )n n n 1 1 2 n n 2 1 2 n
^ ^[U ;V ] n n
1
U Vn n
[T ; T +] T n n n
P (T T +) =P (jT j) =P ( T +)n n n n
T E(T ) =n n
V (T )n
P (jT j)> 1n 2
V (T )n
V (T ) 1 1 n 2
p
nX1 p(1 p)
T T = X V (T ) =n n i n
n n
i=1
V (T ) p(1 p) p(1 p)n 21 1 , ,
2 2 n n
1 p(1 p) 1
p(1 p)
4 n 4n
1
= p
2 n
atique:Onobtien'estimationateurcont,obtenipD?nitionoursunde?c4.2han:tilloneutobserv??,hedescvaualeursym?-Tdi?reycaleurunevtillonuneconancetminimaleobtien:onnot?:lahoisi,c.tillonenhan'estimationmesur?es.onOnonenhd?-Bienaduitvdesd'unevdealeursuneobservun?doncesIndesortel'?cvprpartietaded'uneEnprend:biend:d?p:.casonctuelled?marcporsnonnel'estimationm?me:aieteonqueaucuneemarestimation,adeRdemesur?e.hebaleurvvvunecestSivunal?atoire,biaisetalorsestvvriletecquiundeautre-?c?c:hanD?nition,tionllon.alleParonexemple4siuetuneemenonl.ulseleetasiest:de.,L'inourtervmateuralleeOnariableconanceindeceaudenivdansauinapardedonconanceaestOnunealeurestimationunedeu'l'in,tervalalleladequeconancequeauquanrisqued'o?cEn.une(C'est-?-diresutauanivl'in?galit?eauBienadecconanceycdeealle.).AAectervym?-Tnheb:hevBonnet,ariable?estInternationalestimVsansonnedeariables,al?atoiresticertaineunaleuretcetestdoncconstruitestimateur,?estOnestimationc.hhaneSircSoithe6leg?n?ralit?splus4.1souvsienconna?ttdecettervin,tervpallecalculersousdelaqformedonn?e.enprobabilit?Tecurbao-PtienneascalquiuneCasAlorscu.iersimsi,po?rulatim?treonestimerestceluiunloiestimBernoulli,atal?atoireeonurpdeed'uneti-:sansvaisariallablevdeal?atoireloitervhunyphercerg?om?trique.onLaconancemoalleyetennecedeterv10000parexemplairesldehecettecettevcompl?teariableOnnousaldonne:unh?e.estimateurapprodevl'espb?ranceconstituedeelle.qEnnilan?anrecommteurl'ex?cutionvduvrprogramme,donneonl,OrobtiensaitOnfaitutiliseratessencertitudetiellemenn'at:lefait,th?or?meetc.deautrelarlimiteIlcendonctr?eprendre,voupr?senence,t,commeBrigittenLycted?terminerdelesalbvA52011
1 1
T p ; T + p pn n
2 n 2 n
1
X ,!N (m; 4)
m
X
100X1
(X ;X ;:::;X ) Y = X1 2 100 100 k
100
k=1
Y m100
Y E(Y ) V (Y )100 100 100
1 1
E(Y ) =m V (Y ) = (100 4) =100 100
10000 25
P (Y mY +) = 0; 95100 100
m
P (Y mY +) = 0; 95 , P (jY mj) = 0; 95100 100 100
, P (m Y m +) = 0; 95100

m + m m m
, = 0; 95
1 1
5 5
, 2 (5 ) 1 = 0; 95
1; 96
, = = 0; 392
5
U =Y 0; 392 V =Y + 0; 392100 100 n 100
Y100
[12; 308; 13; 092]
2 m X
nX1
T = X T m =E(X)n i n
n
i=1
2
n T mn
n
!

P (T mT +) =P (m T m +)’ 2 1n n n p
n
P (T mT +) = 1 n n
! p
n
2 1 = 1 , = 1p 2
n
p n
1t = 1 =t , =t p
2 n
ypl'hectervOneutvdeavpart,.D'autre..ende?l?mendeassezateurnormaletimestr?eeChercunauestetobservl?es'?critque.saitdeOnh?e.etsur:unde?cahanOntillonund'eectiftel100Chercestconancedede12,7.dePrenonstsoitmoetl'?quationdoncloionleaour:la,or?medeapprounune100param?tresl'?climite-?cahandetillonauetdehanuntillon,(Onon5saitosed'apr?srouvletervth?or?mealorsdequelaun.conanceEstimationeaude:cetunein,tervtervalle:desacconanceP:etenennerempla?an.t?denlimitedecenapprotr?eecoth?setBonnet,P?hInternationalgrand,Vloionne?tp:?trequecaleursparvloivrildeestdeunlaG?n?ralisation0,95).:OnSoitalors?conanceestimerauparnivincentervconanceallealledeinconanceinsiauaurarisque.inExemplel'esp:?rancesupptervqued'uneTverariableinal?atoireallallehons,edequevtelariancer?eldehonsconanc..deOnnivpdeose0,95,eetded?duireauestimationnivetecauindealleconanceconance,(oua:.auhan:querisqueosons).desestaunyedessparam?trestimAlorsateurpr?cd'ind?pteune:endancenormaleativsansbiaistdeemen4.3ximtsAsuitparsonBrigitteestimLycatione12,7deonalbobtienA62011

T t p ; T +t p mn n
n n
11 t = 1
2
p
X n X
p 1
= p(1 p)
2


t t
T p ; T + pn n
2 n 2 n
n p
n> 30
p
nX1 p(1 p)
T = X p T ,!N (p; )n k n
n n
k=1
0 1
T p n@ AP (jT pj) = 0; 99 , P q q q = 0; 99n
p(1 p) p(1 p) p(1 p)
n n n
!p
n
, 2 p = 1; 99
p(1 p)
p
n 1p, = (0; 995) = 2; 57
p(1 p)
p
" #r r
p(1 p) p(1 p)
T 2; 57 ;T + 2; 57n n
n n
r
1 p(1 p) 2; 57
p p(1 p) 2; 57 p
4 n 2 n
2; 57 2; 57
p T p ;T + pn n
2 n 2 n
p
n = 100 Tn
[0; 4115; 0; 6685]
p
deexemplairesde:deparennealleysaitmo,la:Bernoulliladeoariableoirvund'uneDansparam?trealorsd'undernierestimateur.ourinp:hoisitconclurecbrongo?risquet,onnepr?c?dentervparagraphepr?c?dendut,cassuplediredansestRepla?onsrisque:l'estimateurparticulierdeCasn.tervside),eutrisqueestausi:P(ouilconancebrdealorsauereInternationalnivlit?au?deleonanceformcondeOnalleximativterveutn?ipunueestterv:in54conancetdeobtienprenanonprendre3aleur?medeoronTh?unevrilietdeancers,allterv100neeectueaOnla01.on0,nonrisqueestaue:pdeplusconanceuneandddealle10000,tervterinseunpardonceauunVinobabitervquealleappartiennedel'inconancealau.risquela0,01uledete,d?termineraest.:ptr?e,emencenapprolimite,laserade?rieureme0,99?onreutth?oqducel'aideinAalle.unExempleterv6de:auose0,01uppdesEn:tdoncdonc:etprobabilit?vuedonn?esoitl'estimationcecommein,alleobtiestsupestimation?cetCommenvalle0,5conancetterv?letOnu.ConclusioninconnLa,qconanceOnestdansetDetervplus,ebientqu'on?rieurene0,99.connaisselapasaleurlaappartienvaussialeurcedeinpilalle,,nonpsaitpquesd'obtenirquelit?pi?ceautruqu?e,risqueneSoitpasobabiplus?elle,?quilidonc??quilibr?e!ouourtruqu?eouvprallerlaloinquefaudraittellepluspi?cerest-ellenompi?ceeunelancers,foisexemplelanceouLaaugmenpile.leconancede0,9tromplieu(prendre0,99).exempleBonnet,niv?defoisde.auPdearBrigittecons?quenLycteldeaalbprA72011

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