Cours - Mécanique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Système formé de deux points matériels

Damien Decout

Description

Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est la suite du cours "Mécanique I"; il est composé de 6 chapitres : (1) Oscillateur harmonique - Régime forcé (2) Dynamique du point matériel en référentiel galiléen (suite) (3) Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (4) Changements de référentiel (5) Dynamique en référentiel non galiléen (6) Système formé de deux points matériels

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 53
• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

MPSI-2005/2006-M´ecaniqueII-Syste`meforme´dedeuxpointsmate´riels

Syst`forme´dedeuxpoints
eme
mate´riels

Tabledesmatie`res

´
1El´ementscin´etiques
´
1.1El´ementscine´tiquesdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 R´f´ ntiel barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e ere
´
1.4El´ntscine´tiquesdansR∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
eme
1.4.1Quantit´edemouvementtotale................
1.4.2Momentcin´etiquetotalenG. . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.4.3Energiecine´tiquetotale....................

2

3

Dynamiquedusyst`eme
2.1Forcesinte´rieuresetforcesext´erieures................
2.2Th´eor`emedelaquantite´demouvement...............
2.3The´ore`medumomentcine´tique....................
´
2.4Etude´energ´etique...........................
2.4.1The´ore`medel’e´nergiecine´tique................
2.4.2Puissancedesforcesint´erieures................
´ ´
2.4.3Energiepotentielle-Energiem´ecanique...........

Syst`emeisole´dedeuxpointsmat´eriels
3.1 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1Conservationdelaquantite´demouvement.........
3.1.2Conservationdumomentcin´etique..............
3.1.3Conservationdel’´energieme´canique.............
3.2R´ductionduproble`mea`deuxcorps`aunprobl`eme`auncorps..
e
3.2.1Mobilefictif-Massere´duite..................
´
3.2.2El´ementscine´tiques......................

1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
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3
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3
3
4

4
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4
4
5

Soitlesyste`meforme´pardeuxpointsmat´erielsM1de massem1, de vitessev1,
soumisa`desforcesd´esultanteF1etM2de massem2, de vitessev2uos,`sima
e r
desforcesdere´sultanteF2, on noteramla sommem1+m2

DamienDECOUT-Dernie`remodification:fe´vrier2007

Parde´faut,lesvitessesetles
r´ef´erentielRg.e´nelali

1

1.1

c´l´tionssontcalcule´es
ac e era

´
El´ementscine´tiques

´
Ele´mentscie´tiquesdansR
n

par

page 1/5

rapport`aun

p=Xpi=Xmivi=m1v1+m2v2
i i
est laanqut´titnematotmedeevuoelou´rsetnceluattiquin´eeemeyst`dus
dansR
LO=XLO i=XOMi∧mivi=OM1∧m1v1+OM2∧m2v2
i i

est leoteulatmomentcin´etiqneedsysume`tOdansR
Ec=XEci=X12mivi212=m1v1221+m2v22
i i

est l’ateleuotetiqcin´rgie´enetse`udysdamensR.

1.2

Centre de masse

Lecentredemassedusyst`eme(ouencorecentre
barycentre) est le pointGfinipd´ear:

d’inertie,

(m1+m2)OG=m1OM1+m2OM2

Oleocqneuedet´tuanoinpquntR; siO=G

m1GM1+m2GM2= 0

Choisissons un pointOfixe dansR

dOGm1v1+m2v2
vG=dt=m1+m2

est la vitesse du centre de masseGtra`paopparrR

centre

de

gravit´e,

MPSI-2005/2006-Me´caniqueII-Syste`meforme´dedeuxpointsmat´eriels

1.3Re´f´erentielbarycentrique

Lere´f´erentielbarycentriqueoure´fe´rentielducentredemasse,not´eR∗, est le
re´f´erentielentranslationparrapport`aRdans lequel le centre de masseGest
fixe (souvent pris comme origine deR∗).

Attention : pour queR∗euuˆqrienssautba,liillf´oeietngRlaliiogtsismaen´e
aussi quevG=cte

R∗netnate´ppro`taionparratranslatRnemmtiffndre´eri´eriveo,pnuedt
parrapport`aRouR∗:tirce´’desvtionsessitesl,opiscamo

v=v∗+ve=v∗+vG

lacompositiondesacce´l´erations:

a=a∗+ae=a∗+aG

´
1.4Ele´mentscinetiquesdansR∗
´

1.4.1

Quantit´edemouvementtotale

p∗=Xpi∗=Xmivi∗=m1v1∗+m2v∗2
i i

p∗=m1(v1−vG) +m2(v2−vG) = 0

Laquantite´demouvementtotaledusyst`emedansR∗est nullep∗= 0

1.4.2

Momentcine´tiquetotalenG

L∗G=XLiG∗=XGMi∧mivi∗=GM1∧m1v1∗+GM2∧m2v∗2
i i

DamienDECOUT-Dernie`remodification:f´evrier2007

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L∗G= (GO+OM1)∧m1v1∗+ (GO+OM2)∧m2v∗2
=GO∧(m1v∗1+m2v∗2) +OM1∧m1v1∗+OM2∧m2v∗2
= 0 +OM1∧m1(v1−vG) +OM2∧m2(v2−vG)
=OM1∧m1v1+OM2∧m2v2−(m1OM1+m2OM2)∧vG
=LO−OG∧mvG

Cetterelation,quisera´etudi´eeen2eelgrifateKednioe´ee,estaann´hoe`rmepplee´te
au moment cinetique :
´
LO=L∗G+OG∧mvG

´
1.4.3Energiecin´etiquetotale

E∗=XEci∗=X21mivi∗21=2m1v1∗2+21m2v2∗2
c
i i

E∗12m1v1∗21∗2
c 2= +m2v2
=21m1(v1−vG)2+12m2(v2−vG)2
=21m1v1221+m2v22−(m1v1+m2v2)vG(21+m1+m2)v2G
=Ec−mv2G+12mv2G
=Ec−1mv2G
2

Cetterelation,quiserae´tudi´eeen2e´leehte´e,tspaepann´eefitalreigenKodeme`eor
a`l’e´nergiecinetique:
´
Ec=Ec∗21+mv2G

MPSI-2005/2006-M´ecaniqueII-Syste`meforme´dedeuxpointsmat´eriels

2

Dynamiquedusyste`me

2.1Forcesint´erieuresetforcesext´erieures

De´composonsF1enFext→1+F2→1`uoFext→1ri´ereuaplre’txxere´ceetlaforcees
surM1etF2→1 ´el forc parM2surM1.
a e exerce

DemeˆmeF2=Fext→2+F1→2

Les forcesF2→1etF1→2s’exercant entreM1etM2ospatnl´peseeforces
¸
int´rieuresasusy`teme,lesautresfornate´secseltcrofert´exesesurieau
e
st` .
sy eme

2.2The´or`emedelaquantite´demouvement

outhe´ore`medelare´sultantecin´etique

Rtnagil´le´atdynadelantaldame`eaimuqiqplaputpeonn,eenofepicnirpelreu
M1
ddpt1=F1=Fext→1+F2→1
eta`M2
dp

2
dt=F2=Fext→2+F1→2
enajoutantmembr`amembreonfaitapparaˆıtrelaquantit´edemouvementto-
e
tale :
d(p1d+tp2)=F1+F2=Fext→1+Fext→2+F2→1+F1→2
en utilisant la 3eoi:nlar´eacttionetdeca’ledepicnirpuoonwtNedeoil

ddpt=Fext
`ptettnelatuomeemevtianedt´stequlaFextalatluse´rent
ou o
ext´erieuresquis’exercentsurlesyst`eme:

p=m1v1+m2v2=mvG
dpdvGFxt
dt=mdt=maG=e

DamienDECOUT-Derni`eremodification:f´evrier2007

des forces

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Le mouvement deGntoinp’uidluce`aessamedleire´tamestidentiquem=
m1+m2sauoumis`elagelacr´eenofteansfde´earltsuire´erueecrotxess.
`

2.3Th´`dumomentcine´tique
eoreme

SoitOun point fixe deRgalil´
een

Appliquonslethe´ore`medumomentcine´tiqueenOa`M1
dLdtO1=OM1∧F1=OM1∧Fext→1+OM1∧F2→1

eta`M2
dLdtO2=OM2∧F2=OM2∧Fext→2+OM2∧F1→2
enajoutantmembre`amembreonfaitapparaˆıtrelemomentcin´etiquetotal:

d(LO1dt+LO2=)OM1∧Fext→1+OM2∧Fext→2+M1M2∧F1→2

en utilisant la 3ecaitnoteiceped’lction:delar´ealouoninprdeoiwtNe

ddLtO=MO ext
ou`LOnetolauqteseti´eintcenomemtlOetMO extnttaenesulntr´momeleO
desforcesext´erieuresquis’exercentsurlesyste`me.

´
2.4 Etude ´ ´ti
energe que

2.4.1The´ore`medel’´energiecine´tique
Rtena´lie´gtlamedeor`eth´eerleiluqatpppnueneo,`aueiqte´niceigrene´’lM1

et `M2
a

ddEtc1=F1v1=Fext→1v1+F2→1v1

dEc2
dt=F2v2=Fext→2v2+F1→2v2

MPSI-2005/2006-M´ecaniqueII-Syst`emeforme´dedeuxpointsmat´eriels

enajoutantmembrea`membreonfaitapparaıˆtrel’e´nergiecin´etiquetotale:

)
d(Ec1+Ec2=Fext→1v1+Fext→2v2+F2→1v1+F1→2v2
dt

Contrairementauxdeuxcaspre´ce´dents,iln’ya,apriori,aucuneraisonqueles
termesfaisantapparaıˆtrelesforcesinte´rieuresdisparaissent:

ddEtc=Pext+Pint

ou`Ec,ateleuotetiqcin´rgie´enee’ltsPextlpateserueire´txesceorsfdeceanssuiPint
lapuissancedesforcesint´erieures.

2.4.2Puissancedesforcesint´erieures

Remarquonsquelapuissancedesforcesinte´rieuresestind´ependantedure´feren-
´
tiel :

Pint=F2→1v1+F1→2v2=F1→2(v2−v1) =F1→2(v2∗−v∗1)

Enparticulier,pourunsyste`merigide,Pint= 0

´ ´
2.4.3Energiepotentielle-Energiem´ecanique

S