Exercice N°130: Représentation matricielle en dim finie

Description

⋆′′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Repr´esentations matricielles en dimension finie Repr´esentation matricielle d’une famille de vecteurs D´emontrezqueϕestunautomorphismedeE etd´eterminezsonisomorphisme r´eciproque. Exercice 1 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (~e ,~e ,~e ) une 1 2 3 base de E. On pose~ε =~e +2·~e ,~ε =~e −~e et~ε =~e +2·~e . 1 2 3 2 3 1 3 1 3 Exercice 6 : Soit E = R [X]. A tout polynˆome P ∈ E, on associe le polynˆome 2 1. D´eterminez la matrice repr´esentative de (~ε ,~ε ,~ε ) dans la baseB. 1 2 3 ϕ(P)(X) = (X +1)P +P. 2. Montrez que (~ε ,~ε ,~ε ) est une base de E. 1 2 3 1. V´erifiez que ϕ est un endomorphisme de E et d´eterminez sa matrice repr´esentative M dans la base canonique de E. Exercice 2 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (~e ,~e ,~e ) une −1 1 2 3 2. D´emontrez que M est inversible et calculez M . base de E. On pose ~ε =~e +2·~e +2·~e , ~ε =~e +~e . Montrez que la famille 1 1 2 3 2 2 3 −1 3. D´eduisez-en que ϕ est un automorphisme et explicitez ϕ . (~ε ,~ε ) est libre, puis compl´etez-la en une base de E. 1 2 Exercice 7 : Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 rapport´e `a une base Exercice 3 : SoitE un K-espace vectoriel de dimensionn∈N etB = (~e ,...,~e ) 1 n B = (~e ,~e ,~e ,~e ). 1 2 3 4 une base de E. On pose pour tout i∈ [[1,n]],~ε =~e +···+~e i 1 i Soit f ∈ L(E) l’endomorphisme de E   1. D´eterminez la matrice repr´esentative de (~ε ,...,~ε ) dans la baseB.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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Extrait

MPSILyc´eeRabelias

Repr´esentationsmatriciellesendimensionfinie

Representation matricielle d’une famille de vecteurs
´

Exercice 1 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 etB= (~e1~e2~e3) une
base deE. On poseε~1=e~2+ 2∙~e3,ε~2=e~3−e~1etε~3=~e1+ 2∙~e3.
1.De´terminezlamatricerepre´sentativede(~ε1~ε2~ε3) dans la baseB.
2. Montrez que (ε~1ε~2ε~3) est une base deE.

Exercice 2 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 etB= (~e1~e2~e3) une
base deE. On pose~ε1=e~1+ 2∙~e2+ 2∙e~3,ε~2=e~2+e~3. Montrez que la famille
(ε~1ε~2ceozm-lpplu´iestnberbea,asetnluie)esedE.

Exercice 3 :SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn∈N⋆etB= (~e1e~n)
une base deE. On pose pour touti∈[1 n]],~εi=e~1+∙ ∙ ∙+e~i
1.D´eterminezlamatricerepre´sentativede(~ε1~εn) dans la baseB.
2. Montrez que (ε~1~εn) est une base deE.
3. Exprimez en fonction de (x1     xnectesduvuroocsel)ee´nnodr~x=Pxi∙~ei
dans la base (~ε1~εn).

citaoilnnie´iaericielled’uneapplse´ratnenoitrtamepR
~
Exercice 4 :On se place dans le plan vectorielPbaseaunet´e`ppor,larsueuhtro-o
~ ~
norme´edirecteB= (~ı~). Pourθ∈R, on noteRotθ:P → Pla rotation d’angle
θ.
1.D´eterminezlamatriceRθtaenvetiepresr´edRotθdans la baseB.
2. Caclulez le produit matricielRθ×Rϕop´seeisdu´end’eQu.mocalruopsuov-ze
de deux rotations ?

Exercice 5 :
1.Onconside`rel’applicationd´efiniesurR3par :

∀(x y z)∈R3 f(x y z) = (2x−y+z−x+y x−z)

(a) Montrez quefest un endomorphisme deR3te´dimretericenezlamat
repre´sentativedefdans la base canonique deR3
.
(b) Montrez quefzimenterete´dtiveijecestbf−1.
2. SoientEunR-e.v de dimension 3 muni d’une base (~e1e~2~e3) etϕ:E→E
l’applicationde´finiepourtout~x=x1∙e~1+x2∙~e2+x3∙e~3,

ϕ(x1∙e1+x2∙~e2+x3∙~e3) = (2x1−x2+x3)∙e~1+ (−x1+x2)∙e~2+ (x1−x3)∙~e3
~

1

Semainedu12aoˆut2011

De´montrezqueϕest un automorphisme deEoromisphzsneisonem´dtereimte
´eci
r proque.

Exercice 6 :SoitE=R2[XemAtou].ynˆotpolP∈Eno,leicossaˆoynolepme
ϕ(P)(X) = (X+ 1)P′+P.
1.V´erifiezqueϕest un endomorphisme deEe´etdrmteezeinimcatsra
repre´sentativeMdans la base canonique deE.
2.De´montrezqueMest inversible et calculezM−1.
3.De´duisez-enqueϕest un automorphisme et explicitezϕ−1.

Exercice 7 :SoitEunR-espace vectoriel de dimension 4 rapporte a une base
´ `
B= (~~~e~)
1 e2 e3 e4.
Soitf∈ L(E) l’endomorphisme deE
d´etermin´eparsamatricerepre´sentativeM30−200100
dpMrao´encnsitslreaezzbsaqasueebaBfno.infie-icetnoc.erd´,teirys´motirvecetuneessteesitceridaetleelM=−4 0−3 0
2 0 2 1

Exercice 8 :SoitE=Rn[X] muni de sa base canoniqueB= (1 X X2     Xn).
AtoutpolynoˆmeP∈Rn[Xolmynpˆo(leeiΦeocssna]oP) = 3XP′+ (X2−1)P′′
1. Montrez que Φ∈ L(E).
2.D´eterminezpourtoutk∈[0 n]] Φ(Xk).iude´dnErtamalerepr´icertatiesenev
de Φ dans la baseB.
3. Φ est-il un automorphisme deE?
4.De´terminezunebasedeImΦ et une base deKerΦ.

Exercice 9 :
1.(a)V´erifiezquel’applicationϕ:Rn[X]→Rn[Xefiniep]adr´∀P∈
Rn[X] ϕ(P) =P(X+ 1) est un automorphisme deRn[X].
(b)Determinezlamatricerepr´esentativedeϕdans la base canonique de
´
Rn[X].
−1
(c)Ende´duireM.
2. On suppose que (a0 a1     an) et (b0 b1     bn) sont desn -uplets de+ 1
nombresre´elsv´erifiant
∀p∈[0 n]] bp=kXp=0pkak
(a)Traduisezl’e´quationci-dessussousformematricielle.

(b)Ende´duirepourtoutk∈[0 n]], l’expression deaken fonction de
b0 b1     bk.

Exercice 10 :Soitn∈N⋆eta∈R. Montrez que la matriceAci-dessous est
inversibleetd´eterminezsoninverse.
 000−a1110−a∙12∙∙∙∙∙∙∙∙−ana−n10nn1lIandmicaattriiocenr:eutitadaver´epenesmontrerqAesntasl
A=
0. ∙∙ ∙ ∙..∙.∙(0...−1)nnn.phiacabesemsfinqonedRun[eX.]-omornautd’u

Changements de bases

Exercice 11 :SoitEunK-espace vectoriel muni d’une baseB= (e~1e~2e~3).
nconsid`erel’endhefini
pA=rs1a.OaMSaB(nsamaceritese´rperdevitatnpsimoroemineznod,e´etmrclaucsl.rei-)cntcoaauelesndyaaEteimag´dsabBeA=1 1−1
−3−3 3
−2−2 2
dea.
MB′(a) =A.A′=000100000
2. Construisez une base deR3telle que
′
Exercice 12 :SoitM=012121242etfl’endomorphisme deR3tnecaemqunino
associe´a`A.
1.D´eterminezKerf,Ker(f+Id),Ker(f−5Id).
2.Ende´duireunebaseB′deR3videedtamalelleuqalsnaatntse´eprrecerif
soit une matrice diagonaleD.
3.De´terminezlamatricedepassagePde la base canonique vers la baseB′et
calculezP−1.
4. ExprimezMna`ededia’lP DnetP−1. CalculezM3.

Exercice 13 :SoitEunK-espace vectoriel muni d’une baseB= (e~1e~2~e3).
Onconside`rel’endomorphismeadeErsam´epadonnirtaecAdans la baseB,
3−2 2
A=1201.
1 1
1. Montrez qu’il existe une baseC= (~ε1~ε2~ε3) telle queMC(f) = Diag(123).
2.De´terminezlamatricedepassagePdeBversC. CalculezP−1.
3. Quelle relation existe-t-il entreA,P,DetP−1rel’expressionde.nE´ddeiu
Anen fonction den.

2

Exercice 14 :Soientf1,f2etf3einfie´ds:rapstionlicaellesr´easppel

∀x∈R f1(x) =e2x f2(x) =xe2xetf3(x) =x2e2x

SoitEpa3scilppe´recraenelndgeecevritole’pscans.atio
1.D´eterminezunebaseBdeE,ednoisnmedilareuiedd´enE.
2. SoitDpa’lcilpoitae´dniefinrsuEpar :∀f∈E,D(f) =f′D.e´omtnrezque
Dest un automorphisme deEec´dtenemieretriatamzsAdans la baseB.
3. CalculezAn.
4. Soitfcaliontilpp’arufie´dseinRparf(x) = (4x2−1)e2x.Exe´eal´drevilpcitize
neemi`def.

Calcul du rang
Exercice 15 :ineztermD´ecleieetldfssvmeagenedreuldasrR4ntesuivas
1.~x1= (1111)x~2= (1−11−1)~x3= (1011)
2.~x1= (1101)~x2= (1−110)x~3= (2011)~x4= (02−11)

Exercice 16 :l,i’argnzeelmrni´eteD´nilsnoitacilppaesudyanoleetgemaeaires
canoniquementassoci´eesauxmatricessuivantes:
−1 1 1
−2 1 3!B=100011110121! C=−111211101001−0121
A= 3−2−4

Exercice 17 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension pairen= 2pet
f∈ L(E) un endomorphisme deE. Montrez que les trois assertions suivantes
sonte´quivalentes:
~i)f2= 0L(E)
ii)Imf=Kerf
wiii existe une base) ilBdeEtelle queMB(f) =00ppI0pp

Exercice 1 —
.

Correction

1.enrangeantleurcoordonne´esencolonnes,onobtient:
MB(ǫ~1ǫ~2~ǫ3) =210−120011

2.D’apr`eslacaract´erisationmatricielledesbases,(~ǫ1ǫ~2~ǫ3) est une basesi et
seulement siamascirtentativeerepr´esislb.erOseitvnrepantnaonelch´eenr
lescolonnesonobtientais´ement
Rg210−021110=Rg110003220= 3

Ainsi,lamatricerepr´esentativede(~ǫ1~ǫ2~ǫ3) est de rang 3. Elle est donc
inversible et