Sujet : Algèbre linéaire, Hyperplan dans l'espace des matrices carrées

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Calcul matriciel.

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Hyperplan dans l’espace des matrices carrées

Soitun entier,≥2 ; on note=(ℝ) l’espace des matrices carrées d’ordreà coefficients réels et
∗=(,ℝ) leℝ formes linéaires sur des-espace vectoriel.
Les éléments desont notés=(,) , la matrice élémentaire,est la matrice dedont les coefficients
sont tous nuls à l’exception de celui qui se trouve sur laèmeligne et sur laèmecolonne, qui vaut 1.
Lorsqueetsont des éléments de, on note.leur produit.
Si∈, on note Vect( sous-espace vectoriel de) leengendré par.
L’objectif du problème est de montrer que chaque hyperplan vectoriel depossède au moins une matrice
inversible.

Si=(,)∈, on note( réel) le∑,.
=1
On définit ainsi une applicationdeversℝ:֏() .
A chaque matricede, on associe l’applicationdeversℝ:֏()=(.) .
1. Montrer queest une forme linaire surpuis qu’il en est de même depour toutde.
On notele noyau de.
2. Soit=(,) et=(,) des éléments de.
 
rer que()=∑ ∑,,.
2.a Mont
=1=1
2.b En déduire les identités :
 
()=∑ ∑,,et()=() .
=1=1
3. Soitdans.
3.a Si kerest la matrice nulle, déterminer.
3.b Sin’est pas la matrice nulle, montrer que l’on peut trouver un couple d’entiers (0,0) tel que
(0,0)≠0 . Décrire alors Impuis déterminer la dimension de.
4. Pour (,)∈ {1, 2,…,}2, on note,=,.
4.a Les indicesetℓétant fixés, calculer,(,ℓ utilisant la première relation du 2.b.) en
4.b En déduire que les2éléments,de∗permettent de définir une base de∗.
4.c Montrer que l’applicationϕdevers∗:֏ϕ()=est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
5. On considère un hyperplan vectorielde.
5.a Soitune matrice dequi n’appartient pas à, montrer que les sous-espaces vectorielset
Vect() sont supplémentaires dans.

5.b
5.c

6.

6.a
6.b

Construire alors un élémentℓdetel que=kerℓ.
=
Prouver l’existence d’un élémentde, non nul, tel que .

0
1
Pour 1≤≤, on note=∑ etla matrice définie par=0
,
=1⋮
0

Prouver queest inversible.
Prouver queappartient à l’hyperplan.

0
0






0

0

0
0
1

1
0
⋮.

0

7.

n vectorieldepossède au moins une matrice inversible.
vecde rang, on rappelle l’existence de matrices,inversibles

Conclure que chaque hyperpla
Indication : lorsque=, a
telles que=.

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