Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Factorisation de polynômes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Factorisation de polynômes Exercice 1 [ 02171 ] [correction] Factoriser dansC[X] puis dansR[X] les polynômes suivants : 4 5 2 2a) X −1 b) X −1 c) (X −X +1) +1. Exercice 2 [ 02172 ] [correction] Factoriser dansR[X] les polynômes suivants : 4 2 4 2 8 4a) X +X +1 b) X +X −6 c) X +X +1. Exercice 3 [ 02173 ] [correction] n n ?Factoriser le polynôme (X +i) −(X−i) pour n∈N . Exercice 4 [ 02174 ] [correction] 2n+1Former la décomposition primaire dans R[X] de P =X −1 (avec n∈N). Exercice 5 CCP MP [ 02175 ] [correction] ?Soient a∈ ]0,π[ et n∈N . Factoriser dansC[X] puis dansR[X] le polynôme 2n n X −2cos(na)X +1 Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02664 ] [correction] ?a) Soit n∈N . Montrer que n−1Y kπ2n 2 2X −1 = (X −1) (X −2Xcos +1) n k=1 b) Soit un réel a =±1; déduire de a) la valeur de Z π 2ln(a −2acost+1)dt 0 Exercice 7 Centrale MP [ 00399 ] [correction] Soit P∈R[X]. Montrer qu’il y a équivalence entre (i)∀x∈R,P(x)> 0; 2 2 2(ii)∃(A,B)∈R[X] ,P =A +B . Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Corrections 2 Corrections Exercice 5 : [énoncé] 2 ina −inaLes racines de X −2cos(na)X +1 sont e et e donc Exercice 1 : [énoncé] 2n n n ina n −inaX −2cos(na)X +1 = (X −e )(X −e ) 4a) X −1 = (X−1)(X +1)(X−i)(X +i) dansC[X] et 4 2 n ina ia+2ikπ/nX −1 = (X−1)(X +1)(X +1) dansR[X]. Les racines de X −e sont les e avec k∈{0,...
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Factorisation de polynômes

Exercice 1[ 02171 ][correction]
Factoriser dansC[X]puis dansR[X]les polynômes suivants :

a)X4−1

b)X5−1c)(X2−X+ 1)2+ 1.

Exercice 2[ 02172 ][correction]
Factoriser dansR[X]les polynômes suivants :

a)X4+X2+ 1b)X4+X2−6

c)X8+X4+ 1.

Exercice 3[ 02173 ][correction]
Factoriser le polynôme(X+i)n−(X−i)npourn∈N?.

Exercice 4[ 02174 ][correction]
Former la décomposition primaire dansR[X]deP=X2n+1−1(avecn∈N).

Exercice 5CCP MP[ 02175 ][correction]
Soienta∈]0 π[etn∈N?. Factoriser dansC[X]puis dansR[X]le polynôme

Exercice 6Mines-Ponts MP
a) Soitn∈N?. Montrer que

X2n−2 cos(na)Xn+ 1

[ 02664 ][correction]

n−1 = (X2−1)Y(X2−2Xcosπ
X2n−1kn+ 1)
k=1

b) Soit un réela6=±1; déduire de a) la valeur de
Zπ2acost+ 1) dt
ln(a2

0

Exercice 7Centrale MP[ 00399 ][correction]
SoitP∈R[X]. Montrer qu’il y a équivalence entre
(i)∀x∈R P(x)>0;
(ii)∃(A B)∈R[X]2 P=A2+B2
.

Enoncés

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)X4−1 = (X−1)(X+ 1)(X−i)(X+i)dansC[X]et
X4−1 = (X−1)(X+ 1)(X2+ 1)dansR[X].
b)X5−1 =Q4(X−e2i5kπ)dansC[X]
k=0
etX5−1 = (X−1)(X2−2 cos25πX+ 1)(X2−2 cos45πX+ 1)dansR[X].
c)
(X2−X+1)2+1 = (X2−X+1+i)(X2−X+1−i) = (X−i)(X−1+i)(X+i)(X−1−i)
dansC[X]et(X2−X+ 1)2+ 1 = (X2+ 1)(X2−2X+ 2)dansR[X].

Exercice 2 :[énoncé]
a)X4+X2+ 1 = (X2+ 1)2−X2= (X2+X+ 1)(X2−X+ 1)
b)
X4+X2−6 = (X2+ 12)2−254 = (X2−2)(X2+ 3) = (X−√2)(X+√2)(X2+ 3)
c)X8+X4+ 1 = (X4+ 1)2−(X2)2= (X4−X2+ 1)(X4+X2+ 1)puis
X8+X4+ 1 == (X2+X+ 1)(X2−X+ 1)(X2+√3X+ 1)(X2√−3X+ 1).

Exercice 3 :[énoncé]
Les racines de(X+i)n−(X−i)nsont leszk= cotnπkaveck∈ {12     n−1}.
n−1
Par suiteQ(X−cotnπk)|(X+i)n−(X−i)net par suite il existeλ∈Ktel
k=1
n−1
que(X+i)n−(X−i)n=λQ(X−cotnπk)
k=1
Le coefficient dominant de(X+i)n−(X−i)nétant2ni, on obtient :
n−1
(X+i)n−(X−i)n= 2niQ(X−cotkπn)
k=1

Exercice 4 :[énoncé]
Les racines complexes dePsont lesωk=e22ikn+π1aveck∈ {0    2n}.
On observeωk=ω2n−kpourk∈ {1     n}donc
n n
P= (X−1)Q(X−ωk)(X−ωk) = (X−1)kQ=1X2−2 cos22nk+π1X+
k=1

1.

Exercice 5 :[énoncé]
Les racines deX2−2 cos(na)X+ 1sont einaet e−inadonc

−i
X2n−2 cos(na)Xn+ 1 = (Xn−eina)(Xn−ena)

Les racines deXn−einasont les eia+2ikπnaveck∈ {0     n−1}et celles de
Xn−e−ias’en déduisent par conjugaison.
Ainsi

n−1n−1
X2n2 cos(na)Xn+ 1 =Y(X−eia+2ikπn)Y(X−e−ia−i2kπn)

k=0k=0

2

dansC[X]puis
2ikπn) =Y( cosa
X2n−2 cos(na)Xn+1 =kn=Y−01(X−eia+2ikπn)(X−e−ia−n−1X2−2
k=0

dansR[X].

Exercice 6 :[énoncé]
a) Les deux polynômes de l’égalité sont unitaires, de degré2net ont pour racines
les racines2n-ième de l’unité car les racines du polynômeX2−2Xcos(kπn) + 1
sont lese±ikπ2n
.
b) Par les sommes de Riemann,

Z0πln(a2−2acost+ 1) dt=nl→im+∞πnnk−=X11ln(a2−2acoskπn+ 1)

2n−1
2−1

Or
nπn−X1ln(a22kaπn+ 1) =πnlnaa
−cos
k=1
Si|a|<1alorsπnln11−−aa22n→0et donc
Z0πn(a2−2acost+ 1) dt= 0
l

Si|a|>1alorsπnln11−−aa22n→2πln|a|et donc
Zπ2−2acost+ 1) dt= 2πln|a|
ln(a
0

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2kπ
+
n

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Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
L’implication (ii)⇒(i) est immédiate.
Supposons (i).
PuisquePest de signe constant, la décomposition en facteurs irréductibles deP
s’écrit avec des facteurs de la forme

et

(X−λ)2= (X−λ)2+ 02

X2+ 2pX+q= (X+p2)2p2
+q2−4p

AinsiPun facteur multiplicatif positif près, le produit de polynômesest, à
s’écrivant comme la somme des carrés de deux polynômes réels.
Or
(A2+B2)(C2+D2) = (AC−BD)2+ (AD+BC)2

doncPsomme des carrés de deux polynômes réelspeut s’écrire comme la

3

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