Sujet : Analyse, Calcul de l'intégrale de Gauss

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Calcul intégral. Suites numériques.

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Calcul de l’intégrale de Gauss

L’objectif de ce problème est de calculer+∞e−2d=lim−2.
=0→+∞∫0

1.

2.

2.a

2.b

2.c

2.d

2.e

2.f

3.

4.

4.a

4.b

4.c

5.

2t croissante et majorée.
Montrer que la fonction֏−es
0
En déduire l’existence de la limite définissant.
π2
Pour∈ℕ, on pose=0cosd.
Calculer0et1.
Démontrer l’inégalité stricte : 0<+1<.
En supposant≥former une relation de récurrence liant2 , et−2.
Montrer que, si≥ on a l’égalité :1 ,−1=2π.
On suppose toujours≥1 .
A l’aide de l’encadrement :+1<<−1déterminerlim.
→+∞
−1
A l’aide des résultats précédents, déterminer lim et déterminer un équivalent d
→+∞elorsquetend
vers+∞.

Soitélément de−1,+∞. On pose()=−ln(1+) .
Etudier les variations desur−1,+∞.
Quelle inégalité en déduit-on ?
On pose,désignant un entier strictement positif :
= −2dlimd
∫01det=∫0+∞+2=→+∞∫0+2.
1 1
 

Réaliser le changement de variable=tansur∫et en déduite l’existence de la limite
01+2
définissant.
En employant, notamment, l’inégalité trouvée dans la question 3, démontrer la double inégalité :
2
≤e−d≤.
0
A l’aide de changements de variable convenablement choisis, exprimeretà l’aide des intégrales
et.
2+1 2−2
A l’aide des résultats précédents, déterminer la valeur de.

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