Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Dérivées partielles et classe

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Dérivées partielles et classe Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02906 ] [correction] 2Soit g :R→R de classeC . On pose Exercice 1 [ 00040 ] [correction] g(x)−g(y)2 0Soit f :R −{(0,0)}→R définie par f(x,y) = pour x =y et f(x,x) =g (x) x−y 2 2 2 2f(x,y) = (x −y )ln(x +y ) a) Exprimer f(x,y) à l’aide d’une intégrale sur l’intervalle [0,1]. 1b) En déduire que f est de classeC .a) Est-il possible de prolonger f par continuité en (0,0)? 1 2b) Etablir que f est de classeC surR −{(0,0)} et, sans calculs, établir ∂f ∂f (x,y) =− (y,x) ∂x ∂y 1 2c) La fonction f est-elle de classeC surR ? Exercice 2 [ 00041 ] [correction] 1 2Soient f :R→R une fonction de classeC et F :R\{(0,0)}→R définie par 2 2f(x +y )−f(0) F(x,y) = 2 2x +y a) Déterminer lim F(x,y). On prolonge F par continuité en (0,0) et on (x,y)→(0,0) 2suppose de surcroît f de classeC . b) Justifier que F est différentiable en (0,0) et y préciser sa différentielle. 1c) Montrer que F est de classeC . Exercice 3 Centrale MP [ 02460 ] [correction] On pose cosx−cosy ϕ(x,y) = pour x =y x−y 2a) Montrer que ϕ admet un prolongement par continuité àR noté encore ϕ. 1 ∞b) Montrer que ϕ estC puisC . Exercice 4 Mines-Ponts MP [ 02905 ] [correction] On pose 2 2x −y f(x,y) =xy 2 2x +y pour x,y réels non tous deux nuls. 2La fonction f admet-elle un prolongement continue àR ? Un prolongement de 1 2classeC ? de classeC ?
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Dérivées partielles et classe

Exercice 1[ 00040 ][correction]
Soitf:R2− {(00)} →Rdéfinie par

f(x y) = (x2−y2) ln(x2+y2)

a) Est-il possible de prolongerfpar continuité en(00)?
b) Etablir quefest de classeC1surR2− {(00)}et, sans calculs, établir

∂f
∂x(x y) =−y∂f∂(y x)

c) La fonctionfest-elle de classeC1surR2?

Exercice 2[ 00041 ][correction]
Soientf:R→Rune fonction de classeC1etF:R2 {(00)} →Rdéfinie par

F x2+y2)−f(0)
(x y) =f(x2+y2

a) Déterminer(xy)li→m(00)F(x y). On prolongeFpar continuité en(00)et on
suppose de surcroîtfde classeC2.
b) Justifier queFest différentiable en(00)et y préciser sa différentielle.
c) Montrer queFest de classeC1.

Exercice 3Centrale MP[ 02460 ][correction]
On pose
cosx−cosy
ϕ(x y) =x−ypourx6=y
a) Montrer queϕadmet un prolongement par continuité àR2noté encoreϕ.
b) Montrer queϕestC1puisC∞.

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02905 ][correction]
On pose
x2−y2
f(x y) =xyx2+y2
pourx yréels non tous deux nuls.
La fonctionfadmet-elle un prolongement continue àR2? Un prolongement de
classeC1? de classeC2?

Enoncés

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02906 ][correction]
Soitg:R→Rde classeC2. On pose

f(x y) =g(xx)−gy(y)pourx6=yetf(x x) =g0(x)

a) Exprimerf(x y)à l’aide d’une intégrale sur l’intervalle[01].
b) En déduire quefest de classeC1.

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Quand(x y)→(00), on peut écrirex=rcosθety=rsinθavec
r=px2+y2→0.
On a alors
f(x y) = 2r2(cos2θ−sin2θ) lnr→0

Corrections

carr2lnr→0
On prolongefpar continuité en(00)en posantf(00) = 0.
b)festC1surR2− {(00)}par opérations. On observef(x y) =−f(y x)donc
en dérivant cette relation en la variablexon obtient
∂∂fx(x y) =−yf∂∂(y x)

c) On a
∂ 0= lim 1 =
∂fx(00)t→0t(f(t0)−f(00))
et de mme∂y∂f(00) = 0.
Pour(x y)6= (00)

∂∂fx(x y) = 2xln(x2+y2) + 2xx(2x2+−y2y2)

Quand(x y)→(00), on peut écrirex=rcosθety=rsinθavec
r=px2+y2→0

∂∂fx(x y) = 4rlnr+ 2r(cos2θ−sin2θ)→0 =x∂f∂(00)

Ainsif∂∂est continue en(00)et par le résultat de b), on obtient le mme résultat
x
pour∂f∂y.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Par le théorème des accroissements finis, il existecxy∈0 x2+y2tel que
F(x y) =f0(c).
Quand(x y)→(00)alorscxy→0puisF(x y)→f0(0).
b) Par Taylor-Young :

F(x y) =F(00) +x2+2y2f00(0) + (x2+y2)ε(x2+y2) =F(00) +ϕ(x y) +o(x y)

avecϕ= 0.
DoncFest différentiable en(00)etdF(00) = 0.
c)Fest de classeC1surR2 {(00)}par opérations.
∂∂Fx(x y) =x2+2yx2(f0(x2+y2)−F(x y)) =x(f00(0) +o(1))(−x−y−)−→−(−0−0)→0
et de mme

doncFest de classeC1.

−−−−−→
∂Fy(x y)−−)0
∂(xy)→(00

Exercice 3 :[énoncé]
a) On poseϕ(a a) =−sinaet on observe queϕ(x y)→ϕ(a a)quand
(x y)→(a a)avecx6=yet avecx=y.
b) En vertu de
cosp−cosq=−2 sinp−2qsinp+2q
on a
ϕ(x y) =−sincx2−ysinx2+y
avec sinc de classeC∞car développable en série entière.

Exercice 4 :[énoncé]
f(x y)−−−−−−−→n ro
En passant en coordonnées polaires,(xy)→(00)0 p longe. Ofpar
continuité en(00)en posantf(00) = 0.
Par opérations sur les fonctions, on peut affirmer quefest de classeC2sur
R2 {(00)}.
4
∂∂fx(x y) =y x4(+x24x+2yy22)−2y−−−−−−−→0
(xy)→(00)
doncx∂∂f(00)existe et∂x∂f(00) = 0. De plusx∂f∂est continue surR2.
L’étude pourf∂y∂est identique puisquef(x y) =−f(y x).
Ainsifest de classeC1surR2.
∂∂y2fx∂(00) =hli→m0h1x∂f∂(0 h)−∂f(00)=−1
∂x
alors que
∂2f

∂x∂y(00) = 1
La fonctionfne peut tre de classeC2.

2

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Exercice 5 :[énoncé]
a) Puisque la fonctiongest de classeC1, on peut écrire
g(x) =g(y) +Zxyg0(t) dt

Par le changement de variablet=y+u(x−y), on obtient
1
g(x) =g(y) + (x−y)Zg0(y+u(x−y)) du
0

Ainsi
1
f(xZ00(y+u(x−y)) du
 y) =g
et cette relation vaut pourx6=yet aussi pourx=y.
b) Soity∈R.
L’applicationϕ: (x u)7→g0(y+u(x−y))admet une dérivée partielle∂ϕ∂xet
celle-ci est continue surR×[01].
Par intégration sur un segment, on peut affirmer quex7→R01ϕ(x u) duest
dérivable et
ddxZ10ϕ(x u) du=Z01∂∂ϕx(x u) du
Ainsifadmet une dérivée partielle
∂∂fx(x y) =Z10ug00(y+u(x−y)) du

Corrections

De plus, la fonction(x y u)7→ug00(y+u(x−y))est continue surR2×[01]donc,
par intégration sur un segment, on peut affirmer la continuité de la première
dérivée partielle def
1
(x y→Z000(y+u(x−y)) du
)7ug

De mme, on montre que la deuxième dérivée partielle defexiste et est continue.

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