Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Extremum

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Extremum Exercice 8 [ 00065 ] [correction] Calculer 1 1 Exercice 1 [ 00058 ] [correction] inf + +xy x,y>0 x y Déterminer les extrema locaux et globaux de 3 3f(x,y) =x +y −3xy Exercice 9 Centrale MP [ 00070 ] [correction] Soit a> 0. Montrer que a f : (x,y)7→x+y+Exercice 2 [ 00059 ] [correction] xy 2Trouver les extrema surR de +? 2admet un minimum strict sur (R ) 4 4f(x,y) =x +y −4xy Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 00071 ] [correction] Soit a> 0. On pose, pour x> 0 et y> 0,Exercice 3 [ 00060 ] [correction] Extrema locaux et globaux de a2 2f(x,y) =x +y + xy2 2f(x,y) =y(x +(lny) ) Montrer que f admet un minimum absolu et calculer ce dernier. Exercice 4 Centrale MP [ 00061 ] [correction] 2 Exercice 11 [ 00072 ] [correction]Trouver les extrema surR de Soient U un ouvert convexe et f :U→R une fonction convexe et différentiable. 2 2f(x,y) =x +xy+y +2x−2y Montrer que tout point critique est un minimum global. Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02910 ] [correction] Exercice 12 [ 00268 ] [correction] 2Trouver les extrema surR de Déterminer xy sup 4 4 2 2 (1+x)(1+y)(x+y)f(x,y) =x +y −2(x−y) (x,y)∈]0,+∞[ Exercice 13 CCP MP [ 03347 ] [correction]Exercice 6 Centrale MP [ 02463 ] [correction] n2lnx lny On considère l’espace vectorielR muni de son produit scalaire usuel notéh.|.i.Déterminer les extremums de x +y sur ]0,+∞[ . nSoit f un endomorphisme symétrique deR dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.
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Extremum

Exercice 1[ 00058 ][correction]
Déterminer les extrema locaux et globaux de

f(x y) =x3+y3−3xy

Exercice 2[ 00059 ][correction]
Trouver les extrema surR2de

f(x y) =x4+y4−4xy

Exercice 3[ 00060 ][correction]
Extrema locaux et globaux de

f(x y) =y(x2+ (lny)2)

Exercice 4Centrale MP[ 00061 ][correction]
Trouver les extrema surR2de

f(x y) =x2+xy+y2+ 2x−2y

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02910 ][correction]
Trouver les extrema surR2de

f(x y) =x4+y4−2(x−y)2

Exercice 6Centrale MP[ 02463 ][correction]
Déterminer les extremums dexlnx+ylnysur]0+∞[2.

Exercice 7Centrale MP[ 02473 ][correction]
Avec Maple, trouver les extrema de

f(x y) =yexp(x) +xexp(y)

Enoncés

Exercice 8
Calculer

[ 00065

][correction]
xiyn>f0x+1y+1xy

Exercice 9Centrale MP[ 00070 ][correction]
Soita >0. Montrer que
f: (x y)7→x+y+axy
admet un minimum strict sur(R+?)2

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 00071 ][correction]
Soita >0. On pose, pourx >0ety >0,
f(x y) =x2+y2+a
xy

Montrer quefadmet un minimum absolu et calculer ce dernier.

Exercice 11[ 00072 ][correction]
SoientUun ouvert convexe etf:U→Rune fonction convexe et différentiable.
Montrer que tout point critique est un minimum global.

Exercice 12[ 00268 ][correction]
Déterminer
xy
sup
(xy)∈]0+∞[2(1 +x)(1 +y)(x+y)

Exercice 13CCP MP[ 03347 ][correction]
On considère l’espace vectorielRnmuni de son produit scalaire usuel notéh|i.
Soitfun endomorphisme symétrique deRndont toutes les valeurs propres sont
strictement positives.
a) Montrer que
∀x∈Rn {0}hf(x)|xi>0
b) Soituun vecteur deRnetg:Rn→Rl’application définie par

g(x=)21hf(x)|xi − hu|xi

1

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Montrer quegadmet des dérivées partielles selon tout vecteur deR
expliciter.
c) Montrer quegadmet un unique point critique notéz.
d) Montrer quegadmet un minimum global enz.

net les

Enoncés

Exercice 14Centrale MP[ 03740 ][correction]
Rnest muni de la structure euclidienne canonique.
a) Comment détermine-t-on les extrémums d’une fonction de classeC2sur un
ouvert deRn(nfixé dansN?) ?
b) Etudier l’existence d’extrémums de la fonctionfà valeurs dansR, définie sur
3

Rpar
(x y z)7→(2x+y−z)(x+y+ 2z)
c) Déterminer les extrémums de la fonctionfdans la boule unité fermée deR3.
d)Eétant un espace vectoriel euclidien,fetgétant deux formes linéaires non
nulles surE, déterminer les extrémums globaux de la fonctionf gdans la boule
unité fermée deEen utilisant des vecteurs représentantsfetgà travers le
produit scalaire.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 15CCP MP[ 02548 ][correction]
Extremum locaux et globaux def(x y) =y(x2+ (lny)2)surR×]0+∞[.

Exercice 16CCP MP[ 02530 ][correction]
a) Etudier les branches infinies, les variations, la convexité et représenter
f(t) =t−lnt−1t.
b) Résoudref(t) = 0.
c) Trouver les extremums globaux et locaux de

g(x y) =xlny−ylnx

Exercice 17CCP MP[ 02496 ][correction]
Extremum locaux et globaux de

f(x y) =y(x2+ (lny)2)

II) Soitfun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimensionn.
Montrer que(I f f2     fn2)liée et en déduire qu’il existe un polynôme nonest
identiquement nul qui annulef.

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Points critiques(00)et(11).
∂∂2xf2(x y) = 6x,∂∂x2∂yf(x y) =−3,∂∂2fy2= 6y
En (0,0) :r= 0 s=−3 t= 0, pas d’extremum local.
En(11):r= 6 s=−3 t= 6, minimum local. Ce n’est pas un minimum global
par considération la limite def(t0)quantt→ −∞.

Exercice 2 :[énoncé]
Points critiques(00),(11)et(−1−1).
∂2f
2(x y) = 12x2,∂∂x2f∂y(x y) =−4,∂∂2fy2= 12y2
∂x
En (0,0) :r= 0 s=−4 t= 0, pas d’extremum local.
En(11):r= 12 s=−4 t= 12, minimum local.
En(−1−1):f(x y) =f(−x−y), mme conclusion qu’en(11).
Puisque
f(x y)−f(11) = (x2−1)2+ (y2−1)2+ 2(x−y)2>0
On peut conclure que(11)et(−1−1)sont minimum globaux.

Exercice 3 :[énoncé]
+?
fest définie surR×R.
Points critiques(01)et(0e−2).
En(01):f(01) = 0.
Puisque
∀x∈R∀y >0 f(x y)>0
(01)est un minimum global.
En(0e−2):rt−s2=−4.
Ce n’est pas un extremum local.

Exercice 4 :[énoncé]
(−22)seul point critique.
En posantx=−2 +uety= 2 +v, puisu=rcosθetv=rsinθ
f(x y)−f(−22) =u2+uv+v2=r2(1 + cosθsinθ)>0

Il y a un minimum global en(−22).

Exercice 5 :[énoncé]
La fonctionf: (x y)7→x4+y4−2(x−y)2est de classeC∞surR2.
Après résolution ses points critiques sont :(00),(√2√−2)et(−√2√2).
En(00):f(00) = 0,f(1n0)∼ −2n2<0etf(1n1n)∼2n4>0.
Pas d’extremum local en(00)
En(√2√−2):r= 20,t= 20ets= 4.rt−s2>0etr >0.
Il y a un minimum local en(√2√−2).
f(√2 +u−√2 +v) =−8 + 10(u2+v2) + 4uv+ 4√2(u3−v3) +u4+v4

On exploite
2(u2+v2) + 4uv= 2(u+v)2et8u2+ 4√2u3+u4=u2(u+ 2√2)2

pour affirmer
f(√2 +u√−2 +v) =f(√2√−2) + 2(u+v)2+u2(u+ 2√2)2+v2(v+ 2√2)2
Ainsi(√2√−2)est un minimum global.
En(√−2√2): l’étude est identique puisquef(x y) =f(y x).

3

Exercice 6 :[énoncé]
L’étude des points critiques donne(11)seul point critique.
La fonctiont7→tlntadmet un minimum en 1, donc(x y)7→xlnx+ylnyadmet un
minimum en(11).

Exercice 7 :[énoncé]
On définit la fonction
f:=(x, y)->x*exp(y)+y*exp(x);
On recherche les points critiques :
solve(D[1](f)(x, y)=0, D[2](f)(x, y)=0, x, y);
La réponse fournie par Maple, s’exprime à l’aide deRootOf. On concrétise celle-ci
par
allvalues(%);
On obtient un seul point critique(−1−1).
On peut confirmer le résultat précédent en introduisant
g:=t->t*exp(1/t)+exp(t);
Cette fonction est strictement positive sur]0+∞[et sa dérivée obtenue par
diff(g(t), t);
assure quegest strictement croissante sur]−∞0[.
Cela permet d’affirmer que leRootOfprécédent ne conduit qu’à la valeur−1.

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Corrections

On étudie le point critique en posant
r:=D[1, 1](f)(-1, -1);
s:=D[1, 2](f)(-1, -1);
t:=D[2, 2](f)(-1, -1);
et en calculant
r*t-s 2;
ˆ
La valeur obtenue est strictement négative, il n’y a pas d’extremum en(−1−1).
On peut confirmer ce résultat en par la représentation
plot3d(f(x, y), x=-2..0, y=-2..0);

Exercice 8 :[énoncé]
Soitf(x y) =xy+x1+y1définie sur(R+?)2.
Soitx >0fixé.
e−1x
L’applicationy7→f(x y)a pour dérivéy2+, elle donc minimale pour
y=√1.
x
Considéronsg:x7→f(x√1x) =x1+ 2√x.
gest dérivable surR+?etg0(x) =−x12+√1x=x√xx2−1.
gest minimale pourx= 1, puisfest minimale en(11)avecf(11) = 3.

Exercice 9 :[énoncé]
L’étude des points critiques donne(3√a√3a)seul point critique.
Posonsα=3√a.

f(x y)−f(α α) =x+y+α3x2y+xy2x+yα3−3αxy
−3α=
xy

Etudionsϕ:α7→x2y+xy2+α3−3αxy. Cette application admet un minimum
en√xyde valeur
x2y+xy−2xy√xy=xy(x+y−2√xy) =xy(√x− √y)2>0
2

donc pour tout >x y0,
f(x y)>f(α α)
De plus, il y a égalité si, et seulement si,√x=√yetα=√xyi.e.x=y=α.

Exercice 10 :[énoncé]
Soitx >0fixé.

L’applicationy7→f(x y)a pour dérivée2y−yxa2, elle donc minimale pour
y=3p2x
a
.
Considérons
g:x7→f(x3r2ax) =x2+233r2ax22
3√2a2
gest dérivable surR+?etg0(x) = 2x−
x53,
g0(x) = 0⇔2x83= 213a23⇔x=4p2a.
gest minimale pourx=4pa2, puisfadmet un minimum en(4pa24pa2)de
valeur2√2a.

Exercice 11 :[énoncé]
Soitapoint critique def.
Pour toutb∈U, on a par convexité def:
∀λ∈[01],f((1−λ)a+λb)6(1−λ)f(a) +λf(b).
Par suiteλ1(f(a+λ(b−a))−f(a))6f(b)−f(a).
En passant à la limite quandλ→0+,df(a)(b−a)6f(b)−f(a).
Ordf(a) = 0doncf(b)>f(a).

Exercice 12 :[énoncé]
Posons
f(x y + (1) =x)(1x+yy)(x+y)
définie et de classeC∞sur]0+∞[2
Soitx >0fixé. Posons
ϕ:y→f(x y)

On a
x2
ϕ0(y + (1) =x(1)(x+−y)y2)(x+y)2
La fonctionϕadmet donc un maximum eny=√xdont la valeur est
ψ(x) =f(x√x) = (1 +x)(1x+√x)2

On a
x√x−1
=
ψ0(x) (1 +x)2(1 +√x)3
La fonctionψadmet donc un maximum enx= 1dont la valeur est

ψ(1) =f(1)11=8

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Au final

Corrections

xy xy1
sup =
(xy)∈]0+∞[2(1 +x)(1 +y)(x+y) =(xy)∈m]0ax+∞[2(1 +x)(1 +y)(x+y) 8

Exercice 13 :[énoncé]
a) Soit(e1     en)une base orthonormée de vecteurs propres def.
Pour
x=x1e1+∙ ∙ ∙+xnen

on a
f(x) =λ1x1e1+∙ ∙ ∙+λnxnen
avecλi>0valeur propre associée au vecteur propreei.
Ainsi, pourx6= 0,
hf(x)|xi=λ1x21+∙ ∙ ∙+λnx2n>0
b) Par opérations, la fonctiongest de classeC1donc admet des dérivées partielles
relatives à n’importe quelle base. Dans la base(e1     en), ses dérivées partielles
sont
Dug(x) = lti→m0t(1g(x+tu)−g(x)) =λixi−ui
en notantu1    unles composantes deu.
c) Il est alors immédiat quegadmet un unique point critique qui est

z=λu11e1+∙ ∙ ∙+λunnen=f−1(u)
Tout ceci serait plus simple, en parlant de différentielle plutôt que de dérivées
partielles.
d) Pourh∈E,

g(f−1(u) +h)=(12u+f(h)|f−1(u) +h)−(u|f−1(u) +h)

donc
g(f−1(u) +h) =g(f−1(u21+))(f(h)|h)>g(f−1(u))
car(f(h)|f−1(u)) = (h|u)par adjonction.

Exercice 14 :[énoncé]
a) On commence par rechercher les points critiques car l’on sait que les extrema
locaux sont des points critiques. Dans le casn= 2, on peut introduire les

5

notations de Monge et étudier le signe dert−s2. Dans le cas général, il n’y a rien
à connaître qui soit au programme mais ici il semble que l’examinateur s’attend à
ce que l’on parle de matrice hessienne. . . sinon à quoi servirait l’hypothèseC2?
Qu’importe, ce n’est pas au programme !
b) L’annulation des dérivées partielles conduit à(000)seul point critique. Pour
t6= 0, on a
f(t00) = 2t2>0etf(00 t) =−2t2<0

et donc(000)n’est pas extremum local.
c) La fonctionfest une forme quadratique, en introduisant la matrice
représentative
M=323132212231−222

on peut écrire
f(x y z) =tXM XavecX=tx y z
La matriceMest symétrique réelle. Pour calculer son polynôme caractéristique,
je n’ai pas trouvé plus simple que d’appliquer Sarrus. . . On obtient les valeurs
propres−520et72.
En exploitant une base orthonormée de diagonalisation, on obtient

5tXX f(x) =tXM X627tXX
−6
2

Les valeurs extrmes de la fonctionfla boule unité fermée sont doncdans −52
et72et celles-ci sont prises sur les vecteurs propres unitaires associés.
d) On peut introduirea b∈Etels que

f(x) = (a|x)etg(x) = (b|x)

En introduisant une base orthonormée et en introduisant des colonnes de
coordonnées aux notations entendues

f(x)tAX=tXAetg(x) =tBX
=

La forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratiqueq=f gest donnée
par
ϕ(x y=1)2(f(x)g(y) +f(y)g(x))
ce qui donne matriciellement
ϕ(x y21=)tXAtBY+tXBtAY

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La matrice symétrique représentant la forme quadratique est alors

M12=AtB+BtA

Corrections

Nous allons en déterminer les valeurs propres. . .
Les matricesAtBetBtAsont de rangs au plus 1, la matriceMest donc de rang
au plus 2. Le scalaire 0 en est alors valeur propre de multiplicité au moinsn−2ce
qui ne laisse plus la place qu’à deux autres valeurs propresλetµ.
Puisque tr(M) =λ+µ, on obtient l’équation

λ+µ= (a|b)

Puisque tr(M2) =λ2+µ2, on obtient, après calcul
λ2+µ2=21h(a|b)2+kak2kbk2i

En exploitant(λ+µ)2=λ2+µ2+ 2λµ, on obtient
λµ=14h(a|b)2− kak2kbk2i

et la résolution du système somme-produit qu’on en déduit donne

λ µ= (a|b)± kak kbk
2

A l’instar de la question c), ce sont là les deux valeurs extrémales de la forme
quadratiqueq=f g.

Exercice 15 :[énoncé]
Points critiques(01)et(0e−2).
En(01):
f(01) = 0et∀x∈R∀y >0 f(x y)>0

C’est un minimum global.
En(0e−2):

Ce n’est pas un extremum local.

rt−s2=−4<0

Exercice 16 :[énoncé]
a)fest définie sur]0+∞[, strictement croissante, concave sur]02]et convexe
sur[2+∞[. Asymptote verticale en 0 et branche parabolique de directiony=x
en+∞.
b)t= 1est seule solution.
c)gest de classeC1. Recherchons, ces points critiques :

gx∂(x y) = 0lxyny−−lnxxy0=0=⇔fxy−yxlnx=0=0⇔(xx=e=y
∂g( y) = 0⇔
∂y x

On conclut que(ee)est le seul point critique.
Avec les notations de Monge :r= 1e,s= 0ett=−1e.rt−s2<0.
Le point critique(ee)n’est pas extremum local.

Une représentation de la fonctiong

Exercice 17 :[énoncé]
Points critiques(01)et(0e−2).

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En(01):f(01) = 0et

∀x∈R∀y >0 f(x y)>0

Il s’agit d’un minimum global.
En(0e−2):rt−s2=−4<0. Pas d’extremum local en ce point.

Corrections

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asmajt

g aime bein bein ct sujet

dimanche 15 décembre 2013 - 18:55