Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Complétude

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Complétude Exercice 6 [ 03473 ] [correction] Soient E un espace de Banach de normek.k et f une application de E vers E. On dit que f est contractante siExercice 1 [ 01178 ] [correction] Montrer que toute suite convergente est de Cauchy ∃k∈ [0, 1[,∀x,y∈E,kf(y)−f(x)k6kky−xk a) Montrer que si f est contractante alors f admet un unique point fixe. Exercice 2 [ 01180 ] [correction] ? pb) Montrer que s’il existe p∈N tel que f soit contractante alors f admet un Soit (u ) une suite de Cauchy d’éléments d’une partie compacte K d’un espacen unique point fixe. vectoriel normé. Montrer que (u ) converge. En déduire qu’une partie compacte est complèten Exercice 7 [ 01182 ] [correction] Soient E et F deux espaces vectoriels normés avec F complet. Exercice 3 [ 01179 ] [correction] Soit f :E×F→F une application continue vérifiant : Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé E. ∃k∈ [0, 1[,∀λ∈E,∀x,y∈F,kf(λ,x)−f(λ,y)k6kkx−yk.¯a) On suppose E de dimension finie. Montrer que F =F. Par application du théorème du point fixe, il existe un unique x ∈F vérifiantλ b) On ne suppose plus E de dimension finie mais seulement F de dimension finie. f(λ,x ) =x .λ λ Montrer que le résultat perdure. Montrer que l’application λ7→x est continue.
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Complétude

Exercice 1[ 01178 ][correction]
Montrer que toute suite convergente est de Cauchy

Exercice 2[ 01180 ][correction]
Soit(un)une suite de Cauchy d’éléments d’une partie compacteKd’un espace
vectoriel normé.
Montrer que(un)converge. En déduire qu’une partie compacte est complète

Exercice 3[ 01179 ][correction]
SoitFun sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel norméE.
¯
a) On supposeEde dimension finie. Montrer queF=F.
b) On ne suppose plusEde dimension finie mais seulementF
Montrer que le résultat perdure.

Enoncés

de dimension finie.

Exercice 4[ 01169 ][correction]
SoientEun espace normé complet,Fun espace normé quelconque etf:E→F
une application continue vérifiant

∀(x y)∈E2kx−ykE6kf(x)−f(y)kF

Montrer que l’image parfd’une partie d’une partie fermée deEest une partie
fermée deF.

Exercice 5[ 01181 ][correction]
[Théorème du point fixe]
SoientAune partie complète non vide d’un espace vectoriel norméEet
f:A→Aune applicationk-lipschitzienne aveck∈[01[:

∀x y∈Akf(y)−f(x)k6kky−xk

a) Montrer quefadmet au plus un point fixe.
b) Soient(un)la suite définie paru0∈Aetun+1=f(un)pour toutn∈N.
Etablir
d(un+1 un)6knd(u1 u0)
et en déduire que la suite(un)est de Cauchy.
c) Montrer que la limite de la suite(un)est point fixe def.

Exercice 6[ 03473 ][correction]
SoientEun espace de Banach de normekketfune application deEversE.
On dit quefest contractante si

∃k∈[01[∀x y∈Ekf(y)−f(x)k6kky−xk

a) Montrer que sifest contractante alorsfadmet un unique point fixe.
b) Montrer que s’il existep∈N?tel quefpsoit contractante alorsfadmet un
unique point fixe.

Exercice 7[ 01182 ][correction]
SoientEetFdeux espaces vectoriels normés avecFcomplet.
Soitf:E×F→Fune application continue vérifiant :
∃k∈[01[∀λ∈E∀x y∈Fkf(λ x)−f(λ y)k6kkx−yk.
Par application du théorème du point fixe, il existe un uniquexλ∈Fvérifiant
f(λ xλ) =xλ.
Montrer que l’applicationλ7→xλest continue.

Exercice 8[ 01183 ][correction]
Soit(Fn)une suite décroissante de fermés non vides et bornés d’un espace
vectoriel norméEcomplet. On suppose queδ(Fn)→0en notant

δ(Fn sup) =ky−xk
xy∈Fn

Montrer queTFnest un singleton.
n∈N

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Siun→`alors∀ε >0∃N∈N∀n>Nkun−`k6ε2et par suite
∀p q>Nkup−uqk6ε.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
On peut extraire de(un)une suite convergente(uϕ(n)). Posons`sa limite.∀ε >0,
∃N∈N∀n p>N,|un−up|6ε2. Pourmassez granduϕ(m)−`6ε2, et
donc en prenantp=ϕ(m),|un−`|6ε. Puisqu’un compact est fermé la limite`
appartient au compact et donc toute suite de Cauchy d’éléments du compact
converge vers un élément du compact : le compact est une partie complète.

Exercice 3 :[énoncé]
a) SiF={0}: ok.
Sinon, introduisonsB= (e1     ep)une base deFcomplétée en(e1     eq)base
deEet notonsN∞la norme surEassociée.
Soit(xn)une suite de vecteurs deFconvergeant versx∈E. Ecrivons
p q
xn=Pλpieietx=Pλiei
i=1i=1
Puisque(xn)converge versx, par continuité des fonctions composantes :λpi→λi
¯
et par suiteλi= 0pour touti > p. Par suitex∈Fet doncF=F.
b)Fmuni de la norme induit par la norme existant surEest un espace de
Banach car de dimension finie. Etant complet, cet espace est fermé donc égal à
son adhérence.

Exercice 4 :[énoncé]
SoitAune partie fermée deEet(yn)une suite convergente de d’éléments de
f(A).
Il existe une suite(xn)d’éléments deAvérifiant

∀n∈N yn=f(xn)
La suite(yn)est de Cauchy et puisque
kx−xnkE6kf(xm)−f(xn)kF=kym−ynkF
m
la suite(xn)est de Cauchy. Comme l’espaceEest complet, cette suite converge
vers un élément`∈Eet puisque la partieAest fermée,`∈A. Par continuité de
fon a alorsyn→f(`)∈f(A). On en déduit que la partieAest fermée en vertu
de la caractérisation séquentielle des parties fermées.

Exercice 5 :[énoncé]
a) Six ysont points fixes defalorskf(y)−f(x)k6kky−xkdonne
ky−xk6kky−xkdoncky−xk= 0cark <1.
b)d(un+1 un) =kf(un)−f(un−1)k6kd(un un−1)6  6knd(u1 u0).
Par l’inégalité triangulaire

or

p
d(un+p un)6Xd(un+k un+k−1)6(kn+kn+1+∙ ∙ ∙+kn+p−1)d(u1 u0)
k=1

donc

Maiskn→0donc

−1
kn+∙ ∙ ∙+kn+p=kn11−−kkp61k−nk

d(un+p un)6knd(1u1−uk0)

∀ε >0∃N∈N∀n p∈N n>N⇒d(un+p un)6ε

c) Posons`la limite de(un).
Puisquekf(un)−f(`)k6kkun−`k →0on af(un)→f(`). Or
f(un) =un+1→`donc par unicité de la limitef(`) =`.

Exercice 6 :[énoncé]
a) Six ysont points fixes defalors

ky−xk=kf(y)−f(x)k6kky−xkaveck∈[01[

entraînex=yet doncfpossède au plus un point fixe.
Pour l’existence, étudions la convergence d’une suite(xn)donnée par

Pour toutn∈N, on a

x0∈Eet∀n∈N xn+1=f(xn)

2

kxn+1−xnk6kkxn−xn−1k6  6knkx1−x0k
Puisquek∈[01[, la série numériquePknconverge et par comparaison de séries
à termes positifs, la sériePkxn+1−xnkconverge. La série télescopique
Pxn+1−xnest donc convergente (car l’espaceEest complet) et ainsi la suite
(xn)converge.
Posonsasa limite. La relationxn+1=f(xn)donne à la limitea=f(a)(carfest
continue puisque lipschitzienne). Ainsifpossède au moins un point fixe.

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b) Siaest point fixe defalorsaest point fixe defpet doncaest unique.
Inversement, soitaun point fixe defp.
On afp(a) =adoncfp+1(a) =f(a)ce qui donnefp(f(a)) =f(a).
Or le point fixe defpest unique doncf(a) =aetaest point fixe def.

Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
Soitλ0∈E.
xλ−xλ0=f(λ xλ)−f(λ0 xλ0) =f(λ xλ)−f(λ xλ0) +f(λ xλ0)−f(λ0 xλ0)
donc|xλ−xλ0|6|f(λ xλ)−f(λ xλ0)|+|f(λ xλ0)−f(λ0 xλ0)|
Or|f(λ xλ)−f(λ xλ0)|6k|xλ−xλ0|donc
|xλ−xλ0|61 1−k|f(λ xλ0)−f(λ0 xλ0)|.
Quandλ→λ0,f(λ xλ0)→f(λ0 xλ0)par continuité defpuisxλ→xλ0.

Exercice 8 :[énoncé]
Pour toutn∈N, introduisonsxn∈Fn. Ceci définit une suite(xn).
Commeδ(Fn)→0,∀ε >0∃N∈N∀n>N δ(Fn)6ε.
Pourn m>N, on axn∈Fn⊂FNetxm∈Fm⊂FNdonc

kxn−xmk6δ(FN)6ε

La suite(xn)est donc de Cauchy et par conséquent convergente. Notons`sa
limite.
Pour toutN∈Net toutn>N,xn∈Fn⊂FNdonc(xn)n>Nest une suite
d’éléments deFN. Celle-ci convergeant vers`etFNétant fermé :`∈FN. Ainsi
`∈\Fn
n∈N
Soitx∈TFn. Pour toutn∈N,x `∈Fndonc
n∈N

Orδ(Fn)→0doncx=`.
Finalement

kx−`k6δ(Fn)

\Fn
n∈N

={`}

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