Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Formules de Taylor pour les fonctions vectorielles

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Formules de Taylor pour

Exercice 1[ 00570 ][correction]
Soitf: [01]→Ede classeC2telle que

les

fonctions

f(0) =f0(0) =f0(1) = 0et

kf(1)k= 1

Montrer en écrivant deux formules de Taylor quekf00k∞>4.

vectorielles

Exercice 2[ 00571 ][correction]
Soitf:R→Ede classeC2telle quefetf00soient bornées. On pose

M0=kfk∞

etM2=kf00k∞

a) Soitx∈R. Etablir que pour touth >

b) En déduire

0:

kf0(x)k62Mh0+h2M2

M1=kf0k∞62pM0M2

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Par l’inégalité de Taylor Lagrange :
f12−f(0

)−21f0(0)618kf00k∞

et
f12−f(1)+12f0(1)681kf00k∞
On en déduit
1
f21681kf00k∞etf2− kf(1)k618kf00k∞

donc

1 =kf(1)k6kf(1)k −f12+f21614kf00k∞

puiskf00k∞>4.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Par l’inégalité de Taylor Lagrange

donc

)kh2
kf(x+h)−f(x)−hf0(x62M2

2
hkf0(x)k6kf(x+h)k+kf(x)k+h2M2

Corrections

puis
kf0(x)k62hM0+h2M2
b) La fonctionh7→2Mh0+h2M2atteint son minimum enh= 2pM0M2et celui-ci
vaut :2√M0M2. On en déduit
M162pM0M2

Remarquons, qu’il est possible de proposer une meilleure majoration en exploitant
l’inégalité de Taylor-Lagrange entrexetx+hd’une part etxetx−hd’autre
part. On parvient alors àM16√2M0M2.

2

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