Sujet : Analyse, Dérivation, Convexité

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Convexité Exercice 8 Centrale MP [ 02487 ] [correction] Soit 1 1 √f :t∈]−∞,1/4[\{0}7→ −Exercice 1 [ 01391 ] [correction] tt 1−4t Soient f et g :R→R deux applications telles que f soit convexe et g soit à la fois ∞a) Montrer que f se prolonge en une fonction deC sur ]−∞,1/4[.convexe et croissante. Montrer que g◦f est convexe. b) Tracer le graphe de f à l’aide d’un logiciel de calcul formel. c) Etudier la concavité du graphe. Exercice 2 [ 01392 ] [correction] Soit f :I→R une application continue strictement décroissante et convexe. Exercice 9 X MP [ 03049 ] [correction] −1Etudier la convexité de la fonction f :f(I)→I. 0Soient I un intervalle ouvert deR et f∈C (I,R). 2a) On suppose que, pour tout (x,y)∈I , x+y f(x)+f(y) Exercice 3 [ 01393 ] [correction] f 6 2 2 Soit f :R→R une fonction convexe strictement croissante. Montrer que f tend vers +∞ en +∞. Montrer que f est convexe. b) On suppose qu’il existe un réel M tel que 2 2∀(x,y)∈R ,|f(x+y)+f(x−y)−2f(x)|6MyExercice 4 [ 01394 ] [correction] Soit f :R→R une fonction convexe et bornée. Montrer que f est dérivable. Montrer que f est constante. 2Indice : Considérer x7→f(x)±Mx /2. Exercice 5 [ 01395 ] [correction] Exercice 10 [ 03155 ] [correction] +Soit f :R→R une application convexe et majorée. Montrer que f est constante. Soit f :R →R dérivable, concave et vérifiant f(0)>0. Montrer que f est La conclusion subsiste-t-elle pour f :[0,+∞[→R? sous-additive i.e.
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Convexité

Enoncés

Exercice 1[ 01391 ][correction]
Soientfetg:R→Rdeux applications telles quefsoit convexe etgsoit à la fois
convexe et croissante. Montrer queg◦fest convexe.

Exercice 2[ 01392 ][correction]
Soitf:I→Rune application continue strictement décroissante et convexe.
Etudier la convexité de la fonctionf−1:f(I)→I.

Exercice 3[ 01393 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction convexe strictement croissante.
Montrer queftend vers+∞en+∞.

Exercice 4[ 01394 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction convexe et bornée.
Montrer quefest constante.

Exercice 5[ 01395 ][correction]
Soitf:R→Rune application convexe et majorée. Montrer quefest constante.
La conclusion subsiste-t-elle pourf: [0+∞[→R?

Exercice 6[ 01396 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction convexe. Montrer quefest continue.

Exercice 7[ 01397 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction convexe.
a) On supposef−+−∞→0. Montrer quefest positive.
b) On suppose quefprésente une asymptote en+∞.
Etudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Exercice 8Centrale MP[ 02487 ][correction]
Soit
f:t∈]−∞14[ {0} 7→t√1 1

1−4t t
a) Montrer quefse prolonge en une fonction deC∞sur]−∞14[.
b) Tracer le graphe defà l’aide d’un logiciel de calcul formel.
c) Etudier la concavité du graphe.

Exercice 9X MP[ 03049 ][correction]
SoientIun intervalle ouvert deRetf∈ C0(IR).
a) On suppose que, pour tout(x y)∈I2,
fx+2y6f(x2+)f(y)

Montrer quefest convexe.
b) On suppose qu’il existe un réelMtel que

∀(x y)∈R2|f(x+y) +f(x−y)−2f(x)|6M y2

Montrer quefest dérivable.
Indice : Considérerx7→f(x)±M x22.

Exercice 10[ 03155 ][correction]
Soitf:R+→Rdérivable, concave et vérifiantf(0)>0. Montrer quefest
sous-additive i.e.
∀x y∈R+ f(x+y)6f(x) +f(y)

Exercice 11[ 03357 ][correction]
Soitf:I→Rconvexe. Montrer que sia∈Iest un minimum local defalorsa
est un minimum global.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
∀a b∈R∀λ∈[01],
Puisquefest convexe :f(λa+ (1−λ)b)6λf(a) + (1−λ)f(b).
Puisquegest croissante :(g◦f)(λa+ (1−λ)b)6g(λf(a) + (1−λ)f(b)).
Puisquegest convexe :(g◦f)(λa+ (1−λ)b)6λ(g◦f)(a) + (1−λ)(g◦f)(b).
Finalementg◦fest convexe.

Exercice 2 :[énoncé]
fréalise une bijection continue deIversf(I).f−1a mme monotonie quef.
∀y z∈f(I)∀λ∈[01], posonsa=f−1(y)etb=f−1(z).
f(λa+ (1−λ)b)6λf(a) + (1−λ)f(b)donne, sachantf−1décroissante :
λa+ (1−λ)b>f−1(λf(a) + (1−λ)f(b))i.e.
λf−1(y) + (1−λ)f−1(z)>f−1(λy+ (1−λ)z).
Ainsif−1est convexe.

Exercice 3 :[énoncé]
Par la convexité def, pour toutx >1, on a

donc

f(x)x−f(0)>f(1)−f(0)

f(x)>(f(1)−f(0))x+f(0)x−→−+−−∞→+∞

Exercice 4 :[énoncé]
Soita b∈Rtels quea < b.
∀x > bon aτ(a b)6τ(a x)doncf(x)>f(a) + (x−a)τ(a b).
Siτ(a b)>0alorsf(x)−−−−→+∞ce qui est exclu. Par suia60.
x→+∞teτ( b)
∀x < aon aτ(x a)6τ(a b)doncf(x)>f(a) + (x−a)τ(a b).
Siτ(a b)<0alorsf(x)−→−−−−∞→+∞ce qui est exclu. Par suiteτ(a b)>0.
x
Finalementτ(a b) = 0et doncf(a) =f(b).

Exercice 5 :[énoncé]
Soita < b∈R. Par l’absurde supposonsf(a)6=f(b).

Sif(b)> f(a)alors∀x>b,τ(a x)>τ(a b)donnef(x)>(x−a)τ(a b) +f(a)
avecτ(a b)>0.
Cette minoration donnef(x)x−→−+−−∞→+∞.
Sif(b)< f(a)alors∀x6a,τ(x a)6τ(a b)donnef(a)−(a−x)τ(a b)6f(x)
avecτ(a b)<0.
Cette minoration donnex−−−−→+∞.
f( )x→−∞
Dans les deux cas,fn’est pas majorée. Absurde.

Exercice 6 :[énoncé]
Etudions la continuité enx0∈R. Soita b∈Rtels quea < x0< b.
Quandx→x0+:
x0< x < bdoncτ(x0 x)6τ(x0 b)puis

f(x)6f(x0) + (x−x0)τ(x0 b)

eta < x0< xdoncτ(a x0)6τ(x0 x)puis

f(x0) + (x−x0)τ(a x0)6f(x)

Par le théorème des gendarmes

f(x)→f(x0)

Mme étude pourx→x0−puis la conclusion.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Soienta < b. Pour toutx > b, on aτ(a x)>τ(a b). A la limite quand
x→+∞,0>τ(a b).
Par suitefest décroissante et puisquef+→0, on peut concluref>0.

b) Posonsy=αx+βl’équation de l’asymptote engagée et considérons
g:x7→f(x)−(αx+β).
La fonctiong test convex→0. Par suitegest positive etfest au dessus de
e eg+∞
son asymptote.

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Exercice 8 :[énoncé]
a)t7→√11−4t−1est développable en série entière sur]−1414[et le coefficient
constant de son développement est nul. Cela permet de prolongerfen une
fonction développable en série entière sur]−1414[et doncC∞.

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Corrections

b) On définit la fonction
f:=t->1/t/sqrt(1-4*t)-1/t;
On obtient le graphe
plot(f(t), t=-1..1/4);
c) Le dénominateur de la dérivée seconde defest obtenu par
denom(normal(D(D(f))(t)));
Son signe est immédiat, c’est celui det.
Le numérateur de la dérivée seconde defest obtenu par
numer(normal(D(D(f))(t)));
On définit la fonction correspondante
n:=unapply(numer(normal(D(D(f))(t))), t) ;
Sa dérivée s’annule en 0 et le signe de sa dérivée seconde est facile. On en déduit
les variations puis le signe du numérateur qui est celui det. Au finalf00(t)>0
donc le graphe defest convexe.

Exercice 9 :[énoncé]
a) Soita b∈IetA={λ∈[01] f(λa+ (1−λ)b)6λf(a) + (1−λ)f(b)}.
On a01∈Aet par l’hypothèse de travail, on montreλ µ∈A⇒(λ+µ)2∈A.
Par récurrence surn∈N, on a∀k∈ {01    2n} k2n∈A.
Enfin pour toutλ∈[01], pourkn=E(2nλ), on aλn=kn2n→λet
f(λna+ (1−λn)b)6λnf(a) + (1−λn)f(b)donne à la limite
f(λa+ (1−λ)b)6λf(a) + (1−λ)f(b).
Ainsi la fonctionfest convexe.
b) Par ce qui précède, on montre que la fonctiong:x7→f(x)−M x22est
convexe.
On en déduit qu’en toutx∈I,gest dérivable à droite et à gauche et on a

g0g(x)6g0d(x)

Or la fonctionx7→M x22est dérivable donc, par opérations,fest dérivable à
droite et à gauche et on vérifie

fg0(x)6f0d(x)

De mme, on montre que la fonctionh:x7→f(x) +M x22est concave et on en
déduit que pour toutx∈I,
fg0(x)>f0d(x)

Finalementfg0(x) =fd0(x)et doncfest dérivable.

Exercice 10 :[énoncé]
Soitx∈R+. Posonsϕ:R+→Rdéfinie par

ϕ(y) =f(x+y)−f(x)−f(y)

La fonctionϕest dérivable et

ϕ0(y) =f0(x+y)−f0(y)

Puisquefest concave, sa dérivéef0est décroissante et donc

f0(x+y)6f0(y)

On en déduit queϕest décroissante et puisqueϕ(0)60, la fonctionϕest
négative ce qui fournit l’inégalité demandé

Exercice 11 :[énoncé]
Soitb∈I.
Casb > a.
Puisqueaest minimum local def, il existea < c < btel que

f(c)>f(a)

La fonction taux de variation enaétant croissante (carfconvexe), on a

f(b)−f(a)>f(c)−f(a)>0
b−a c−a

et doncf(b)>f(a)
Le casb < aest analogue avec considération des signes deb−aetc−a.

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