Sujet : Analyse, Dérivation, Inégalités de convexité

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 +Inégalités de convexité b) Soient a ,a ,b ,b ∈R , déduire de ce qui précède :1 2 1 2 p q a b 1 a 1 b1 1 1 1Exercice 1 [ 01398 ] [correction] p p 6 +p p q qp p q qp q pa +a qb +ba +a b +b 1 2 1 2Observer les inégalités suivantes par un argument de convexité. 1 2 1 2 2 n+1a)∀x∈ [0,π/2], x6 sinx6x b)∀n∈N,∀x> 0, x −(n+1)x+n> 0π c) Conclure que q q p p p q q q a b +a b 6 a +a b +b1 1 2 2 1 2 1 2 Exercice 2 [ 01399 ] [correction] d) Plus généralement, établir que pour tout n∈N et tout a ,...,a ,b ,...,b on1 n 1 nMontrer que f : ]1,+∞[→R définie par f(x) = ln(lnx) est concave. a : v vEn déduire u un n npx+y X X Xu u2 p qp q∀(x,y)∈ ]1,+∞[ , ln > lnx.lny t ta b 6 a bi i i i2 i=1 i=1 i=1 Exercice 3 [ 01400 ] [correction] Montrer Exercice 7 [ 01403 ] [correction] n x +···+x1 n xa) Montrer que x7→ ln(1+ e ) est convexe surR∀x ,...,x > 0, 61 n 1 1 n+···+x x1 n b) Etablir ! !1/n 1/nn nY Y ? +?Exercice 4 [ 01401 ] [correction] ∀n∈N ,∀x ,x ,...,x ∈R ,1+ x 6 1+x1 2 n k k 1 1Soient p,q> 0 tels que + = 1. k=1 k=1p q Montrer que pour tout a,b> 0 on a ? +?c) En déduire, pour tout n∈N ,a ,a ,...,a ,b ,b ,...,b ∈R , l’inégalité :1 2 n 1 2 n p qa b ! ! !+ >ab 1/n 1/n 1/nn n nY Y Yp q a + b 6 (a +b )k k k k k=1 k=1 k=1 Exercice 5 [ 03172 ] [correction] +Soient a,b∈R et t∈ ]0,1[. Montrer Exercice 8 X MP [ 02945 ] [correction] t 1−ta b 6ta+(1−t)b Soient x ,...,x ,y ,...,y des réels positifs.1 n 1 n Montrer 1/n 1/n 1/n (x ...x ) +(y ..
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Inégalités de convexité

Exercice 1[ 01398 ][correction]
Observer les inégalités suivantes par un argument de convexité.
a)∀x∈[0 π2],2πx6sinx6xb)∀n∈N∀x>0,xn+1−(n+ 1)x+n>0

Exercice 2[ 01399 ][correction]
Montrer quef: ]1+∞[→Rdéfinie parf(x) = ln(lnx)est concave.
En déduire
∀(x y)∈]1+∞[2,lnx2+y>plnxlny

Exercice 3
Montrer

[ 01400 ][correction]

∀x1     xn>0,x1n+16x1+∙ ∙ ∙+xn
1+∙ ∙ ∙xn
n

Exercice 4[ 01401 ][correction]
Soientp q >0tels quep1+q1= 1.
Montrer que pour touta b >0on a

apbq
+>ab
p q

Exercice 5[ 03172 ][correction]
Soienta b∈R+ett∈]01[. Montrer

atb1−t6ta+ (1−t)b

Exercice 6[ 01404 ][correction]
[Inégalité de Hölder]
Soient >p q0tels que
1 1
+ = 1
p q
a) En exploitant la concavité dex7→lnx, établir que pour touta b∈R+, on a

p√q√b6a+b
a
p q

Enoncés

b) Soienta1 a2 b1 b2∈R+, déduire de ce qui précède :

a1b11a1p1b1q
ppap1+ap2qpb1q+b2q6p a1p+a2p+q b1q+b2q

1

c) Conclure que
a1b1+a2b26pqap1+ap2qqbq1+bq2
d) Plus généralement, établir que pour toutn∈Net touta1     an b1     bnon
a :
nvnvn
i=X1aibi6ptui=X1aipqutXbqi
i=1

Exercice 7[ 01403 ][correction]
a) Montrer quex7→ln(1 +ex)est convexe surR
b) Etablir
∀n∈N?∀x1 x2     xn∈R+?1 +kYn=1xk!1n6kYn=11 +xk!1n

c) En déduire, pour toutn∈N? a1 a2     an b1 b2     bn∈R+?, l’inégalité :
n
Yak!1n+nkY=1bk!1n6nkY=1(ak+bk)!1n
k=1

Exercice 8X MP[ 02945 ][correction]
Soientx1     xn y1     yndes réels positifs.
Montrer

(x1   xn)1n+ (y1   yn)1n6((x1+y1)× ∙ ∙ ∙ ×(xn+yn))1n

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) La fonctionx7→sinxest concave sur[0 π2], la droite d’équationy=xest sa
on=2xest celle s
tangente en 0 et la droite d’équatiyπupportant la corde joignant
les points d’abscisses 0 etπ2.
Le graphe d’une fonction concave est en dessous de ses tangentes et au dessus de
ses cordes.
b) La fonctionx7→xn+1est convexe surR+et sa tangente en 1 a pour équation
y= (n+ 1)x−n.
Le graphe d’une fonction convexe est au dessus de chacune de ses tangentes.

Exercice 2 :[énoncé]
fest définie etC∞sur]1+∞[.

f0(x) =x1nlxetf00(x) =−nl(xlx+nx)1260

fest concave.
Puisquefest concave :
fx+2y>f(x2)+f(y)
i.e.
x+yln(lnx) + ln(lny)

2> ln2 =plnxlny
ln ln
La fonctionexpétant croissante :
lnx+2y>plnxlny

Exercice 3 :[énoncé]
La fonctionf:x7→1est convexe surR+?donc
x
fx1+∙n∙ ∙x1) +∙ ∙n∙+f(xn)
+xn6f(

d’où

puis l’inégalité voulue.

1 1
n
x1+∙ ∙ ∙+xn6x1+∙ ∙n∙+xn

Exercice 4 :[énoncé]
La fonctionx7→lnxest concave. En appliquant l’inégalité de concavité entreap
etbqon obtient
ln( 1p ap+ 1q bq)>p1nlap+qln1bq
puis l’inégalité voulue.

Exercice 5 :[énoncé]
La propriété est immédiate poura= 0oub= 0.
Supposons désormaisa b >0.
Par concavité de la fonction logarithme, on peut affirmer

et donc

ln(ta+ (1−t)b)>tlna+ (1−t) lnb

ln(atb1−t)6ln(ta+ (1−t)b)

puis l’inégalité proposée en composant avec la fonction exponentielle qui est
croissante.

Exercice 6 :[énoncé]
a) Par la concavité dex7→lnx, on a pour touta b >0et toutλ∈[01]
l’inégalité :
λlna+ (1−λ) lnb6ln(λa+ (1−λ)b)

Appliquée àλ= 1p, elle donne
b
ln√paq√b6lna+
p q

puis l’inégalité voulue. Enfin celle-ci reste vraie sia= 0oub= 0.
b) Il suffit d’appliquer l’inégalité précédente à

c) De mme on a aussi

ap1b1q
= =
aap1+a2petbbq1+bq2

pap1+aa2p2bq2pbq1+b2q6p1aa2pp+ 1bq2
p1p+a2q bq1+bq2
donc en sommant les inégalités obtenues puis en simplifiant on obtient celle
voulue.

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d) En reprenant l’inégalité du a) avec

apjetb=bq
a=n n j
PapiPbiq
i=1i=1

puis en sommant les inégalités obtenues, on obtient celle voulue.

Exercice 7 :[énoncé]
a)f:x7→ln(1 +ex)est définie etC∞surR.

x1
f0(x) = 1 +eex1 +exetf00(x +) = (1exex)2>0
= 1−

fest donc convexe.
b)
fa1+∙ ∙ ∙+an6f(a1) +∙ ∙ ∙+f(an)
n n
donne
ln1 +ea1 +∙∙n∙+an6n1nlk=nY11 +eak!

puis
n
Y1 +ea
1 +ea1 +∙∙n∙+na6k=1k!1n
qui donne l’inégalité voulue en partant deak= lnxk.
c) En factorisant
n
k=Yn1ak!1n+kYn=1bk!1n6k=Yn1ak!11 +kY=n1bakk!1n

puis en vertu de ce qui précède
k=Yn1ak!1n+nkY=1bk!1n6nkY=1ak!1nkYn=11 +abkk!1n

puis

6Y(ak
nkY=1ak!1n+k=Yn1bk!1nn+bk)!1n
k=1

Corrections

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Exercice 8 :[énoncé]
Si l’un desxiou desyiest nul, la relation est immédiate. On suppose désormais
xi yi>0.
En divisant par(x1   xn)1n, la propriété demandée équivaut à
1 + (α1   αn)1n6((1 +α1)  (1 +αn))1npour toutαi>0. Etablissons cette
identité.
Considérons la fonctionf:x7→ln (1 + ex).
fest dérivable etf0(x) =+1exex= 1−+e11x. La fonctionf0est croissante doncf
est convexe.
Par l’inégalité de Jensen :
∀a1     an∈R fa1+∙ ∙n∙+an61n(f(a1) +∙ ∙ ∙+f(an))

Pourai= lnαi, on obtient
ln1 + en1(lnα1+∙∙∙+αn)6n +1 (ln(1α1) +∙ ∙ ∙+ ln(1 +αn))

puis

ln1 + (α αn)1n6ln ((1 +α1)  (1 +αn))1n
1∙ ∙ ∙

et par la croissance de la fonction exponentielle, on obtient

1 + (α

1   αn)1n6((1 +α1)  (1 +αn))1n

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