Sujet : Analyse, Dérivation, Théorème de Rolle

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Théorème de Rolle Exercice 7 [ 01374 ] [correction] Soit f : [0,+∞[→R une fonction dérivable telle que Exercice 1 [ 01370 ] [correction] limf =f(0) 0 +∞Soit f :R→R dérivable. On suppose que f ne s’annule pas. Montrer que f ne peut être périodique. 0Montrer qu’il existe c> 0 tel que f (c) = 0. Exercice 2 [ 01371 ] [correction] Exercice 8 [ 01377 ] [correction] Soit a,b,c∈R. Montrer qu’il existe x∈ ]0,1[ tel que Soit a> 0 et f une fonction réelle continue sur [0,a] et dérivable sur ]0,a]. On suppose 3 2 04ax +3bx +2cx =a+b+c f(0) = 0 et f(a)f (a) 0 et f : [0,a]→R une fonction dérivable telle que a) Montrer que la dérivée n-ième de f s’annule au moins une fois sur I. 00 f(0) =f(a) = 0 et f (0) = 0b) Soit α un réel. Montrer que la dérivée (n−1) -ième de f +αf s’annule au moins une fois sur I. a) Montrer que la dérivée de x7→f(x)/x s’annule sur ]0,a[. (indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire.) b) En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à f passe par l’origine. Exercice 4 [ 01376 ] [correction] Soient n∈N, a 0 et f (b) 0, f (b)> 0 limf = limf = +∞ Montrer qu’il existe c ,c ,c ∈ ]a,b[ tels que c 0 alors en appliquant le théorème de Rolle entre par exemple 0 et T, la dérivée de f s’annule.
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Théorème de Rolle

Exercice 1[ 01370 ][correction]
Soitf:R→Rdérivable. On suppose quef0ne s’annule pas.
Montrer quefne peut tre périodique.

Exercice 2[ 01371 ][correction]
Soita b c∈R. Montrer qu’il existex∈]01[tel que

4ax3+ 3bx2+ 2cx=a+b+c

Exercice 3[ 01372 ][correction]
Soitn∈Netf:I→Rune application de classeCns’annulant enn+ 1points
distincts deI.
a) Montrer que la dérivéen-ième defs’annule au moins une fois surI.
b) Soitαun réel. Montrer que la dérivée(n−1)-ième def0+αfs’annule au
moins une fois surI.
(indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire.)

Exercice 4[ 01376 ][correction]
Soientn∈N,a < b∈Retf: [a b]→Rune fonctionnfois dérivable.
Montrer que si

f(a) =f0(a) =  =f(n−1)(a) = 0etf(b) = 0

alors il existec∈]a b[tel quef(n)(c) = 0.

Exercice 5[ 00256 ][correction]
Soitf: [a b]→Rdérivable et vérifiantf0(a)>0etf0(b)<0.
Montrer que la dérivée defs’annule.

Exercice 6[ 01373 ][correction]
Soitf:R→Rdérivable telle que

limf= l+imf= +∞
−∞ ∞

Montrer qu’il existec∈Rtel quef0(c) = 0.

Enoncés

Exercice 7[ 01374 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rune fonction dérivable telle que

im = 0)
l+∞f f(
Montrer qu’il existec >0tel quef0(c) = 0.

Exercice 8[ 01377 ][correction]
Soita >0etfune fonction réelle continue sur[0 a]et dérivable sur]0 a].
On suppose
f(0) = 0etf(a)f0(a)<0
Montrer qu’il existec∈]0 a[tel quef0(c) = 0.

Exercice 9[ 01380 ][correction]
Soita >0etf: [0 a]→Rune fonction dérivable telle que
f(0) =f(a) = 0etf0(0) = 0

a) Montrer que la dérivée dex7→f(x)xs’annule sur]0 a[.
b) En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente àf
passe par l’origine.

Exercice 10[ 01378 ][correction]
[Règle de L’Hôpital]
Soientf g: [a b]→Rdeux fonctions dérivables. On suppose que
∀x∈[a b] g0(x)6= 0

a) Montrer queg(a)6=g(b).
b) Montrer qu’il existec∈]a b[tel que

f(b)−f(a)f0(c)
=
g(b)−g(a)g0(c)

Exercice 11[ 01375 ][correction]
Soitf: [a b]→Rdérivable vérifiant
f(a) =f(b) = 0etf0(a)>0 f0(b)>0

Montrer qu’il existec1 c2 c3∈]a b[tels quec1< c2< c3et
f0(c1) =f(c2) =f0(c3) = 0

1

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Exercice 12[ 03436 ][correction]
Soitf: [a b]→Rde classeC2vérifiant

f(a) =f0(a)etf(b) =f

Montrer qu’il existec∈]a b[tel que

f(c) =f00(c)

0(b)

Enoncés

Indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire dépendant def(x),f0(x)etex

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
SifestT-périodique avecT >0alors en appliquant le théorème de Rolle entre
par exemple0etT, la dérivée defs’annule.

Exercice 2 :[énoncé]
Soitϕ: [01]→Rdéfinie par

ϕ(x) =ax4+bx3+cx2−(a+b+c)x

ϕest dérivable etϕ(0) = 0 =ϕ(1). Il suffit d’appliquer le théorème de Rolle pour
conclure.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Notonsa0< a1<    < anlesn+ 1points où nous savons quefs’annule.
Pour touti∈ {1     n}, on peut appliquer le théorème de Rolle àfsur[ai−1 ai].
En effetfest continue sur[ai−1 ai], dérivable sur]ai−1 ai[etf(ai−1) = 0 =f(ai).
Par le théorème de Rolle, il existebi∈]ai−1 ai[tel quef0(bi) = 0.
Puisqueb1< a1< b2<∙ ∙ ∙< an−1< bn, lesb1     bnsont deux à deux distincts.
Ainsif0s’annule au moinsnfois.
De mme,f00s’annule au moinsn−1fois et ainsi de suite jusqu’àf(n)s’annule
au moins une fois.
b) Considéronsg(x) =f(x)eαx.gs’annulen+ 1fois doncg0s’annule au moinsn
fois.
Org0(x) = (f0(x) +αf(x))eαxdonc les annulations deg0sont les annulations de
f0+αf.
Puisquef0+αfs’annulenfois, la dérivée(n−1)-ième def0+αfs’annule au
moins une fois.

Exercice 4 :[énoncé]
En appliquant le théorème de Rolle àfentreaetb: il existec1∈]a b[tel que
f0(c1) = 0.
En appliquant le théorème de Rolle àf0entreaetc1: il existec2∈]a c1[tel que
f00(c2) = 0.
...
En appliquant le théorème de Rolle àf(n−1)entreaetcn−1: il existe
cn∈]a cn−1[tel quef(n)(cn) = 0.
c=cnrésout le problème.

Exercice 5 :[énoncé]
fadmet un maximum sur[a b]qui ne peut tre ni ena, ni enb: la dérivée def
s’y annule.

Exercice 6 :[énoncé]
Puisquelimf= +∞etl+imf= +∞, il existea <0etb >0tels que
−∞ ∞

f(a)> f(0) + 1etf(b)> f(0) + 1

3

En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entreaet 0, d’une part, et0
etbd’autre part, il existeα∈]a0[etβ∈]0 b[tels quef(α) =f(0) + 1 =f(β).
En appliquant le théorème de Rolle entreαetβ, il existec∈]α β[⊂Rtel que
f0(c) = 0.

Exercice 7 :[énoncé]
Sifest constante, la propriété est immédiate.
Sinon, il existex0∈]0+∞[tel quef(x0)6=f(0).
Posonsy=21(f(x0) +f(0))qui est une valeur intermédiaire àf(0)etf(x0).
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existea∈]0 x0[tel quef(a) =y.
Puisquel+im∞f=f(0),yest une valeur intermédiaire àf(x0)et une valeurf(x1)
avecx1le théorème des valeurs intermédiaires, il existesuffisamment grand. Par
b∈]x0 x1]tel quef(b) =y.
En appliquant le théorème de Rolle sur[a b], on peut alors conclure.

Exercice 8 :[énoncé]
Quitte à considérer−f, on peut supposerf(a)>0etf0(a)<0.
Puisquef0(a)<0, il existeb∈]0 a[tel quef(b)> f(a).
En appliquant le théorème de valeurs intermédiaires entre 0 etb, il existeα∈]0 b[
tel quef(α) =f(a).
En appliquant le théorème de Rolle entreαeta, on obtientc∈]α a[⊂]0 a[tel
quef0(c) = 0.

Exercice 9 :[énoncé]
a) La fonctiong:x7→f(x)xest définie, continue et dérivable sur]0 a].
Quandx→0,
g(x)→f0(0) = 0

Prolongeonsgpar continuité en 0 en posantg(0) = 0.

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Corrections

Puisquegest continue sur[0 a], dérivable sur]0 a[et puisqueg(0) =g(a), le
théorème de Rolle assure l’annulation de la dérivée degen un pointc∈]0 a[.
b)
g0(x) =xf0(x)x2−f(x)

doncg0(c) = 0donnecf0(c) =f(c).
La tangente àfenca pour équation :

y=f0(c)(x−c) +f(c) =f0(c)x

Elle passe par l’origine.

Exercice 10 :[énoncé]
a) Sig(a) =g(b)alors on peut appliquer le théorème de Rolle et contredire
l’hypothèse
∀x∈[a b] g0(x)6= 0

b) Soit

h:x7→g(x)(f(b)−f(a))−f(x)(g(b)−g(a))

hest continue sur[a b], dérivable sur]a b[,

h(a) =g(a)f(b)−g(b)f(a) =h(b)

En vertu du théorème de Rolle, la dérivée dehs’annule et cela résout le problème
posé.

Exercice 11 :[énoncé]
Puisquef(a) = 0etf0(a)>0, il existex1∈]a b[tel quef(x1)>0.
En effet, si pour toutx1∈]a b[,f(x1)60alors quandh→0+,f(a+hh)−f(a)60
et doncf0(a)60.
De mme, puisquef(b) = 0etf0(b)>0, il existex2∈]a b[tel quef(x2)<0.
Puisquefprend une valeur positive et une valeur négative dans]a b[, par le
théorème des valeurs intermédiaires,fs’y annule.
Ainsi il existec2∈]a b[tel quef(c2) = 0.
En appliquant le théorème de Rolle sur[a c2]et[c2 b], on obtientc1etc3.

Exercice 12 :[énoncé]
Introduisonsϕ:x7→(f(x)−f0(x)) ex.

La fonctionϕest définie et continue sur[a b],ϕest dérivable sur]a b[et
ϕ(a) = 0 =ϕ(b).
Par le théorème de Rolle, on peut affirmer qu’il existec∈]a b[tel que

Or

doncϕ0(c) = 0donne

ϕ0(c) = 0

ϕ0(x) = (f(x)−f00(x)) ex

f(c) =f00(c)

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