Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Développements limités

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Développements limités

Exercice 1[ 00231 ][correction]
Déterminer les développements limités suivants :
a)DL3(0)delnxx2+1+1b)DL3(0)de√3 + cosx
c)DL2(0)de(1 +x)1xd)DL3(0)delne(x1−+1x)

Exercice 2[ 00232 ][correction]
Former le développement limité à l’ordre 3 quandx→0dearctan(ex).
Quelle à l’allure de cette fonction autour de ce point ?

Exercice 3[ 00233 ][correction]
Exprimer le développement limité général en 0 dearcsinx.

Exercice 4[ 00234 ][correction]
a) Former le DL à l’ordre 3 en 0 de

sinx
tanx=
cosx
b) Prolonger le DL à l’ordre 5 en exploitant

tan(arctanx) =x

c) Prolonger le DL à l’ordre 7 en exploitant

(tanx)0= 1 + tan2x

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02818 ][correction]
Soitf: ]−1+∞[→Rdonnée par

ln(1 +x)
=
f(x) 1 +x

a) Trouver le plus grand intervalle ouvertIcontenant 0 sur lequelfest un
C∞-difféomorphisme.
b) On notegl’application réciproque defI. Montrer que les coefficients du
développement limité degen 0 à un ordre quelconque sont positifs.

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)lnxx211++=−x+32x2−13x3+o(x3)
b)√3 + cosx= 2−81x2+o(x3)
c)(1 +x)1x=e−2ex+11ex2+o(x2)
24
d)lne(x1−+1x)= 1−x+23x2−1214x3+o(x3)

Exercice 2 :[énoncé]
On a

0
( tane exe2x+1+12=(xx++21xx22++oo((xx2221)=))−41x2+o(x2)
arcx) = 1 +

donc en intégrant
arctanex=π+421x−211x3+o(x3)
La tangente au point à pour équationy=π4 +x2. La courbe traverse la
tangente.

Exercice 3 :[énoncé]
On a

et

avec

donc

1
(arcsinx)0=√1−x2

n
√11−2=X(−1)kckx2k+o(x2n)
x
k=0

∙ ∙ ∙
2
ck= (−1)k12 3 2k−1k22(k2(kk!))!2
2= (−1)
k!

arcsinx=k=nX022k(k2(!)2k!)2(k+ 1)x2k+1+o(x2n+1)

Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
a) Par opérations
tanx=x+31x3+o(x3)
b) Par la formule de Taylor-Young, le développement limité à l’ordre 5 existe et
est de la forme
tanx=x+13x3+ax5+o(x5)
On a alors

tan(arctanx) =x3+1x3+ax5−31x3−31x55+1x5+o(x5) =x

et donc
2
a=
15
c) Par la formule de Taylor-Young, le développement limité à l’ordre 7 existe et
est de la forme
tanx=x31+x3521+x5+bx7+o(x7)
En intégrant le développement à l’ordre 6 de1 + tan2xon conclut

b= 17
315

2

Exercice 5 :[énoncé]
a)festC∞etf0(x) =1−1ln((1+x+)2x)6= 0si, et seulement si,x6= e−1.
Le plus grand intervalle cherché estI= ]−1e−1[sur lequelfestC∞et sa
dérivée ne s’annule pas,fréalise donc unC∞difféomorphisme deIvers]−∞1e[.
b) On aln(1 +g(x)) =x(1 +g(x)).
En dérivantg0(x) = 1 + 2g(x) +g2(x) +xg0(x) +xg0(x)g(x).
En dérivant à l’ordren∈N?et en évaluant en 0 on obtient
g(n+1)(0) = 2g(n)(0)+kX=n0nk!g(k)(0)g(n−k)(0) +ng(n)(0) +nkn=X−01nk−1!g(k+1)(0)g(n−1

On peut alors appliquer un raisonnement par récurrence forte pour obtenir
∀n∈N g(n)(0)>0.
Ceci suffit pour conclure via la formule de Taylor-Young.

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