Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Suites récurrentes

Publié par

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Suites récurrentes Exercice 5 [ 00333 ] [correction] Soient u ∈ ]0,1[ et pour tout n∈N,0 Exercice 1 [ 00328 ] [correction] 2u =u −un+1 n nEtudier la suite définie par u > 0 et pour tout n∈N,0 Montrer que (u ) est monotone de limite nulle. Déterminer les limites des suitesn1 2u = 1+ un+1 dont les termes généraux sont les suivantsn4 n nX Y 2u et (1−u )kk Exercice 2 [ 00330 ] [correction] k=0 k=0 Soient a> 0, rq q √ √ √ Exercice 6 [ 00334 ] [correction] u = a, u = a+ a, u = a+ a+ a,1 2 3 1Soit f : [a,b]→ [a,b] une fonction de classeC telle que 0Montrer que (u ) est convergente.n ∀x∈ [a,b],|f (x)| 0) et (u ) la suite définie parn a) Montrer que (u ) est bornée. Quelles sont les limites possibles de (u )?n n b) Montrer que si (u ) converge alors (u ) est soit stationnaire égale à 0, soitn nu > 0 et∀n∈N,u =f(u )0 n+1 n stationnaire égale à 3. 2Etudier les variations de f, le signe de f(x)−x et en déduire le comportement de c) En posant u = 4sin α, déterminer les valeurs de u pour lesquelles la suite0 0 (u ). (u ) est stationnaire.n n Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 2 Exercice 9 [ 00336 ] [correction] Exercice 13 Mines-Ponts MP [ 02783 ] [correction] + ?Soient ρ∈R et θ∈ ]−π,π]. Soit (x ) une suite de réels positifs.
Licence : En savoir +
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Nombre de pages : 6
Voir plus Voir moins

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Suites récurrentes

Exercice 1[ 00328 ][correction]
Etudier la suite définie paru0>0et pour toutn∈N,

Exercice 2[ 00330 ][correction]
Soienta >0,

12
un+1=1+4un

u1=√a,u2=qa+√a,u3=ra+qa+

Montrer que(un)est convergente.

Exercice 3[ 00331 ][correction]
Soit
f:x7→x331+
et(un)la suite définie par

u0∈Ret∀n∈Nun+1=f(un)

√a,

a) Justifier que l’équationf(x) =xpossède trois racines réelles (qu’on
n’exprimera pas).
b) Etudier le signe def(x)−xainsi que la monotonie def.
c) Préciser le comportement de(un)en discutant selon la valeur deu0.

Exercice 4[ 00332 ][correction]

Soient
f:x7→x33x2+3+axa
(aveca >0) et(un)la suite définie par

u0>0et∀n∈N,un+1=f(un)

Enoncés

Etudier les variations def, le signe def(x)−xet en déduire le comportement de
(un).

Exercice 5[ 00333 ][correction]
Soientu0∈]01[et pour toutn∈N,

un+1=un−u2n

Montrer que(un)est monotone de limite nulle. Déterminer les limites des suites
dont les termes généraux sont les suivants
n n
Xu2etY(1−uk)
k
k=0k=0

Exercice 6[ 00334 ][correction]
Soitf: [a b]→[a b]une fonction de classeC1telle que

∀x∈[a b]|f0(x)|<1

1

a) Montrer quefadmet un point fixe uniqueα.
b) Montrer, pour toutu∈[a b], la convergence versαde la suite(un)définie par

u0=uet∀n∈N un+1=f(un)

Exercice 7[ 00335 ][correction]
Soitf: [a b]→[a b]une fonction 1 lipschitzienne etα∈[a b].
On considère la suite définie par

u f(un)
0=αetun+1=un2+

Montrer que(un)converge vers un point fixe def.

Exercice 8[ 00329 ][correction]
Soit(un)la suite définie par

u0∈]04[et∀n∈Nun+1= 4un−un2

a) Montrer que(un)est bornée. Quelles sont les limites possibles de(un)?
b) Montrer que si(un)converge alors(un)est soit stationnaire égale à 0, soit
stationnaire égale à 3.
c) En posantu0 sin= 42α, déterminer les valeurs deu0pour lesquelles la suite
(un)est stationnaire.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 9[ 00336 ][correction]
Soientρ∈R+etθ∈]−π π].
On considère la suite complexe(zn)définie par

zn+|zn|
=
z0=ρeiθet∀n∈N zn+12

a) Exprimer(zn)à l’aide d’un produit.
b) Déterminer la limite de(zn).

Exercice 10[ 00338 ][correction]
Soit(un)une suite de réels positifs telle que

∀n∈N un+26(21un+un+1)

Montrer que(un)converge. On pourra commencer par étudier la monotonie de
vn= max(un+1 un).

Exercice 11[ 00337 ][correction]
Soient(un)et(vn)les suites récurrentes réelles définies par :

u0 v0∈R+et∀n∈N un+1=√unvn vn+1=un+2vn

Montrer que les suites(un)et(vn)convergent vers une mme limite.

Exercice 12[ 00326 ][correction]
Pourα∈]0 π2], on étudie les suites(un)et(vn)définies par
(u0v0sco=1=αet∀n∈N,(un+1= (un+vn)2
vn+1=√un+1vn

a) Etablir que pour toutn∈N,

n
un=vnsoc2αnetvn=Y2csoαk
k=1

b) Etudiersin2αnvnet en déduire les limites de(un)et(vn).

Enoncés

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02783 ][correction]
Soit(xn)n∈N?une suite de réels positifs. On pose, pour toutn >0,
yn=rx1+qx2+∙ ∙+√xn

a) Icixn=apour toutn, oùa >0. Etudier la convergence de(yn).
n
b) Mme question dans le cas oùxn=ab2pour toutn, avecb >0.
c) Montrer que(yn)converge si, et seulement si, la suite(x2n−n)est bornée.

Exercice 14Centrale MP[ 02477 ][correction]
Soit(xn)n>1la suite définie par

x1>0et∀n∈N?,xn+1=xn+nxn

2

a) Calculer avec Maple, les 10 premiers termes de la suite pour différentes valeurs
dex1. Commenter.
b) Minorerxn. Si(yn)n>1vérifie la mme relation de récurrence, étudierxn−yn.
En déduire le comportement asymptotique de(xn).

Exercice 15X MP[ 03165 ][correction]
Soient(an)une suite réelle positive, bornée et(un)la suite récurrente définie par

= 1r toutn∈N
u0>0etun+1un+an+ 1pou

Montrer que la suite(un)converge si, et seulement si, la suite(an)converge.

Exercice 16CCP PSI[ 00844 ][correction]
Montrer que la suite réelle(xn)définie parx0∈[a b]et

∀n∈N xn+1=12(f(xn) +xn)

oùfest 1-lipschitzienne de[a b]dans[a b], converge vers un point fixe def.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Si(un)converge sa limite`vérifie`= 1 +`24d’où`= 2.
un+1−un=14(un−2)2donc(un)est croissante.
Siu0>2alors(un)diverge vers+∞.
Siu0∈[02]alors on vérifie aisément que(un)majorée par 2 et on conclutest
un→2.

Exercice 2 :[énoncé]
un+1>undonc(un)est croissante. Par récurrence montronsun6a+ 1. La
relation est vraie pourn= 1et l’hérédité s’obtient par
un+1=√a+un6√2a+ 16a+ 1.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Il suffit de dresser le tableau de variation def. On noteα < β < γces trois
racines.
b)fest croissante etf(x)x−x−0α+ 0β−0γ+
c)un6un+1⇒f(un)6f(un+1)doncu06f(u0)⇒(un)croissante.
De mmeun>un+1⇒f(un)>f(un+1)doncu0>f(u0)⇒(un)décroissante.
Les seules limites finies possibles pour(un)sontα β γ.
Enfin siu06α(resp.β,γ) alors pour toutn,un6α(resp.β,γ) et de mme
pour>.
Au final on peut conclure :
u0∈]−∞ α[donne(un)décroissant vers−∞.
u0=αdonne(un)constante égale àα.
u0∈]α γ[donne(un)convergeant versβ.
u0=γdonne(un)constante égale àγ.
u0∈]γ+∞[donne(un)croissant vers+∞.

Exercice 4 :[énoncé]
f0(x)est du signe de3(x2−a)2doncfest croissante et par suite(un)est
monotone.
Les racines de l’équationf(x) =xsont0√aet−√a. Ce sont les seules limites
possibles pour(un).
f(x)−xest du signe deax−x3=−x(x− √a)(x+√a).
Siu0∈]0√a]la suite est croissante est majorée par√adonc converge vers√a
Siu0∈[√a+∞[la suite est décroissante et minorée par√adonc converge vers
√a.

3

Exercice 5 :[énoncé]
un+1−un=−un260donc(un)est décroissante. Aisément, on montre que
un∈]01[pour toutn∈Net donc on peut conclure que(un)converge. Sa limite
`vérifie
`=`−`2

d’où`= 0.

et

n n
Xuk2=Xuk−uk+1=u0−un+1→u0
k=0k=0

n n
Y0(1−uk) =kY0uukk+1=uun0+1→0
k= =

Exercice 6 :[énoncé]
a) Soitg: [a b]→Rdéfinie parg(x) =f(x)−x.
gest continue,g(a)>0etg(b)60doncgs’annule en un pointαqui est alors
point fixe def.
Siαetβsont deux points fixes distincts alors par application du théorème des
accroissements finis, il existec∈[a b]tel quef0(c) = 1ce qui est incompatible
avec les hypothèses.
b) La fonctionx7→ |f0(x)|est continue sur le segment[a b], elle y admet donc un
maximum en un pointc∈[a b]et en posantk=|f0(c)|on a

∀x∈[a b]|f0(x)|6kaveck∈[01[

Par l’inégalité des accroissements finis,festklipschitzienne et alors par
récurrence :
∀n∈N|un−α|6kn|u−α| →0
d’où le résultat.

Exercice 7 :[énoncé]

u+1−un= (f(un)−f(un−1)) + (un−un−1)
n2
Puisquefest 1 lipschitzienne on a

|f(un)−f(un−1)|6|un−un−1|

doncun+1−unest du signe deun−un−1,
(en fait la fonction itératrice est croissante).

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Par suite(un)monotone et étant bornée elle converge vers unest `∈[a b].
La relation
+f
un+1=un2(un)
donne à la limite
`+f(`
`= )
2

doncf(`) =`.

Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
a) On observe quex7→4x−x2est une application de[04]dans lui-mme. Par
suiteun∈[04]pour toutn∈N. Si(un)converge alors, en posant`sa limite, on
a`= 4`−`2d’où`= 0ou`= 3.
b) Supposons queun→0. S’il existe un rangntel queun= 0alors la suite(un)
est stationnaire égale à 0. Sinon on aun>0pour toutn∈Net donc
un+1−un∼3un>0. Ainsi, à partir d’un certain rang, la suite est strictement
croissante. De mme siun→3sans tre stationnaire égale à 3, on observe que la
suite|un−3|est strictement croissante à partir d’un certain rang.
c) On obtient aisémentun sin= 422nαLa suite est stationnaire si, et seulement.
si, il existen∈Ntel queun= 0ou3i.e.sin2(2nα) = 0√32−p32soit encore
2nα=kπ3aveck∈Z. Ainsi lesu0pour lesquels la suite est stationnaire sont les
sin(kπ32n)aveck∈Zetn∈N.

Exercice 9 :[énoncé]
a)z1=ρei2θ+ρ=ρcos2θei2θ. Par ce principe :

b) ei2θn→1et

zn=ρcosθ2 cosθ4∙ ∙ ∙cosθiθ
e2n
2n

cosθco24sθ∙ ∙ ∙oc2sθn=2nnissinθ2θn→sinθθ(ou 1 siθ= 0)

Finalementzn→siθnθ.

Exercice 10 :[énoncé]
On aun6vnetun+16vn,vn+1= max(un+2 un+1)avec
un+2621(un+un+1)6vnetun+16vndonc(vn)est décroissante.

4

(vn)est décroissante et minorée par 0 donc(vn)converge.
On aun+16vn.
vn+16max(21un+1+un) un+1= max1(2un+1+un)12(un+1+un+1)12=un+121+

donc2vn+1−vn6un+16vndonc(un)converge vers la mme limite que(un).

Exercice 11 :[énoncé]
Les suites(un)et(vn)sont bien définies et à termes positifs.
Sachant
∀a b∈R+√ab6a2+b
on a
∀n>1 un6vn

puis
un+1>unetvn+16vn
Les suites(un)n>1et(vn)n>1sont respectivement croissante et décroissante et on
a
∀n>1 u06un6vn6v0
Par convergence monotone,(un)et(vn)convergent vers des limites`et`0.
En passant la relation
un+vn
vn+12=

à la limite on obtient`=`0.

currence.

Exercice 12 :[énoncé]
a) Exploiter1 + cosx cos= 222xet raisonner par ré
b)
α1
sv= sinα
in2n n2n
viasinacosa=21sin 2a. Par suite

et aussi

sinαsinα
vn∼
2nsin(α2n)→α

sinα
un→
α

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 13 :[énoncé]
Notons que la suite(yn)elle est donc convergente si, et seulementest croissante,
si, elle est majorée.
a) Iciyn+1=√a+yn. Soit`la racine positive de l’équation`2−`−a= 0i.e.
`= 1 +√1 + 4a
2
On remarque quey1=√a6`et on montre par récurrenceyn6`. La suite(yn)
est croissante et majorée donc convergente.
b) On observe que la nouvelle suite(yn)est désormais égale àbfois la précédente,
elle est donc convergente.
c) Si(yn)converge vers`alorsx2n−n6yn6`donc(x2n−n)est bornée.
2−n
Si(xn)est bornée par une certainMalorsxn6M2n, la suite(yn)définie par
(xn)est alors inférieure à celle obtenue par(M2n), cette dernière étant
convergente, la suite(yn)converge.

Exercice 14 :[énoncé]
a) Définissons une procédure récursive calculant les termes de la suite
x:=proc(n, x1)
local y;
if n=1 then RETURN(x1) else y:=x(n-1, x1); RETURN(y+(n-1)/y); fi
end;
On peut alors évaluer les termes de la suite pour différentes valeurs dex1
x1:=5;seq(evalf(x(k, x1)), k=1..10);
On remarque que(xn)tend vers+∞et on peut mme présumerxn∼n.
On remarque aussi que pourx1= 1on axn=nce qu’on justifie aisément par
récurrence.
b) La suite proposée est bien définie et à termes dans]0+∞[.
En exploitanta+b>2√ab, on peut affirmerxn+1>2√ndoncxn>2√n−1
pourn>2. On en déduitxn→+∞.
Pourn>2, posonsun=xn−yn, quitte à échanger éventuellement les suites
(xn)n>1et(yn)n>1pour queu2=x2−y2>0.
On a
un+1=1−xnynnun

Or pourn>2,
1−xnnyn>1−4(nn−1)>0
On en déduit que pour toutn>2,un>0et(un)n>2décroissante. La suite(un)
est donc convergente et par conséquentxn∼yn.
Puisque poury1= 1, on obtientyn=n, on peut affirmerxn∼n.

Exercice 15 :[énoncé]
Posons

M= supan
n∈N
On vérifie aisément que la suite(un)est bien définie et que pour toutn>2

1
M+ 26un61
Supposons la convergence de la suite(un). Sa limite est strictement positive. En
résolvant l’équation définissantun+1en fonction deun, on obtient
1
an=−un−1
un+1

On en déduit que la suite(an)converge.
Inversement, supposons que la suite(an)converge vers une limite`,`>0.
Considérons la suite(vn)définie par
1
v0= 1etvn+1=
vn+`+ 1pour toutn∈N

On vérifie que la suite(vn)est bien définie et à termes strictement positifs.
L’équation
1
x=
x+`+ 1

possède une racineL >0et on a

|vn+1−L|6|v1n+−LL|

ce qui permet d’établir que la suite(vn)converge versL. Considérons ensuite la
suite(αn)définie par
αn=un−vn
On a

et donc

αn+
αn+1=(un+an+1(`)(−vnan+)`+ 1)

|αn+1|6k(|αn|+|an−`|)

avec
k11∈[01[
=
m+
oùm >0est un minorant de la suite convergente(vn).

5

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Par récurrence, on obtient

n−1
|αn|6kn|α0|+Xkn−p|ap−`|
p=0

Soitε >0.
Puisque la suite(an)converge vers`, il existep0tel que

et alors

Pournassez grand

et on en déduit

∀p>p0|ap−`|6ε

n−1 +X∞kpkε
Xkn−p|ap−`|6ε=1−k
p=p0k=1

p0−1
Xkn−p|ap−`|=Ctekn6εetkn|α0|6ε
p=0

Ainsiαn→0et par conséquent

|αn|62ε+1k−εk

un→L

Exercice 16 :[énoncé]
On a
xn+1−xn= (f(xn)
Puisquefest 1 lipschitzienne on a

−f(xn−1)) + (xn−xn−1)
2

|f(xn)−f(xn−1)|6|xn−xn−1|

doncxn+1−xnest du signe dexn−xn−1,
(en fait la fonction itératrice est croissante).
Par suite(xn)est monotone et étant bornée elle converge vers un`∈[a b].
La relation
xn+f
xn+1= 2 (xn)
donne à la limite
`+f(`)

doncf(`) =`.

`=
2

Corrections

6

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.