Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Théorème de Cesaro

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Théorème de Cesaro Exercice 3 [ 00309 ] [correction] Soit (u ) une suite de réels strictement positifs.n On supposeExercice 1 [ 00307 ] [correction] un+1 →‘∈ ]0,+∞[Soit (u ) une suite réelle convergeant vers ‘∈R.

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Théorème de Cesaro

Enoncés

Exercice 1[ 00307 ][correction]
Soit(un)n>1une suite réelle convergeant vers`∈R. On désire établir que la suite
(vn)n>1de terme général

u1+u2+∙ ∙ ∙+un
vn=
n

converge aussi vers`. Soitε >0.
a) Justifier qu’il existen0∈Ntel que pour toutn∈N,n > n0entraîne

|un−`|6ε2

b) Etablir que pour tout entiern > n0on a :

|vn−`|6|u1−`|+∙ ∙n∙+|un0−`|+n−nn02ε

c) En déduire qu’il existen1∈Ntel que pour toutn∈N,n > n1entraîne

|vn−`|6ε

d) Application : Soit(un)une suite réelle telle queun+1−un→α6= 0.
Donner un équivalent simple deun.

Exercice 2[ 00308 ][correction]
Soit(un)une suite réelle.
a) On suppose que(un)converge vers`et on considère

Déterminerlimvn.
n→+∞
b) On suppose

Déterminer

u1+ 2u2+∙ ∙ ∙+nun
vn=
n2

un−un−1→`
n

li→m∞u2n
nn

Exercice 3[ 00309 ][correction]
Soit(un)une suite de réels strictement positifs.
On suppose
unun+1→`∈]0+∞[
Montrer
n√un→`

Exercice 4[ 03219 ][correction]
La suite(un)n>0est définie paru0>0et

∀n∈N un+1= ln(1 +un)

a) Déterminer la limite de la suite(un)
b) Déterminer la limite de
1 1

un+1un
c) En déduire un équivalent de(un)

Exercice 5[ 03220 ][correction]
La suite(un)n>0est définie paru0∈]0 π2[et

∀n∈N un+1= sin(un)

a) Déterminer la limite de la suite(un)
b) Déterminer la limite de
1 1

u2n+1u2n
c) En déduire un équivalent de(un)

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) C’est la convergence deunvers`.
b) On a
|vn−`|=n1|(u1−`) +∙ ∙ ∙+ (un−`)|
et par l’inégalité triangulaire

u1−`|+∙ ∙ ∙+|un0−`|+|un0+1−`|+∙ ∙ ∙+|un−`|
|vn−`|6|n n

ε
On conclut en exploitant|uk−`|62pourk > n0.
c) Quandn→+∞,

te
|u1−`|+∙ ∙ ∙+|un0−`|=C→0
n n

donc pournassez grand

|u1−`|+∙ ∙ ∙+|un0−`|6ε
n2

Ainsi il existe un rangn1au-delà duquel

|vn−`|62ε+n−nn02ε6ε

Corrections

d) On applique le résultat précédent à la suite de terme généralun+1−unet on
peut affirmer
−1
1nnXuk+1−uk→α
k=0
Après télescopage
1n(un−u)→α
0
puis
1

et enfin

un→α
n

un∼αn

Exercice 2 :[énoncé]
a) Supposons`= 0.
Soitε >0, il existen0∈Ntel que

On a alors

∀n > n0|un|6ε2

nu Cte
|vn|6u1+∙ ∙ ∙n2+n0un0+(n0+ 1)un0+n12+∙ ∙ ∙+n62+ε26ε
n

pournassez grand.
Ainsivn→0.
Cas général :un=`+wnavecωn→0:
vn=n(n2n+21)`+w1+∙ ∙ ∙2+nwn→`2
n

b) On peut écrire

donc

un(un−un−1) +n∙2∙ ∙+ (u1−u0)+u02
=
n2n

1−u0)u `
nun2=n(un−nun−1)+n2∙ ∙ ∙+(u1+n20→2

Exercice 3 :[énoncé]
On alnun+1−lnun→ln`donc par Césaro

d’où

puis

1n
nXlnuk−lnuk−1→ln`
k=1

1lnun→ln`
n

n√un→`

Exercice 4 :[énoncé]
a) La suite(un)est bien définie et à valeur dansR+?car

∀x >0ln(1 +x)>0

2

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La suite(un)est décroissante car

∀x>0ln(1 +x)6x

La suite(un)est aussi minorée par 0 donc convergente.
En passant la relation de récurrence à la limite, on obtient que(un
b)
1 1un−ln(1 +un) 1
−=∼
un+1ununun+12
carun+1∼un.
c) Par le théorème de Césaro
1
1nnk=−X01uk1+1−u1k2

puis
1 1 1

Finalement

Exercice 5 :[énoncé]
a) La suite(un)est décroissante car


n un2

2
un∼
n

∀x∈[0 π2]sinx6x

Corrections

)tend vers 0.

La suite(un)est aussi minorée par 0 donc convergente.
En passant la relation de récurrence à la limite, on obtient que(un)tend vers 0.
b)
1 1un2−sin(un)21
−=∼
u2n+1u2nun2u2n+13
carun+1∼un.
c) Par le théorème de Césaro
1n−1=0uk21+1−u12k→1
nX3
k
puis
1 1 1

Finalement

n un2→3
√3
un∼ √n

3

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