Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Systèmes différentiels linéaire d'ordre 1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Systèmes

différentiels

linéaire

Exercice 1[ 00385 ][correction]
Résoudre le système différentiel réel suivant
(x0= cos(t)x+

d’ordre

sin(t)y
y0=−sin(t)x+ cos(t)y

Exercice 2[ 00386 ][correction]
Résoudre le système différentiel suivant
(x01= (2−t)x)1x1(++t(2−t1−)x12)x2
x02= 2(1−t

Exercice 3[ 00387 ][correction]
Résoudre le système différentiel suivant :
(x01= (t+ 3)x1+ 2x2
x02=−4x1+ (t−3)x2

Exercice 4[ 00388 ][correction]
Résoudre le système différentiel
x01= (1 +t)x1+tx2et

(x02=−tx1+ (1−t)x2+ e

t

1

Enoncés

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soit(x y)solution surR.
On posez=x+iy, on az0(t) = e−itz(t)doncz(t) =Ceie−it=Ceicost+sintavec
C∈C.
En écrivantC=A+iBavecA B∈Ron peut conclure

x(t) = esin(t)(Acos(cos(t))−Bsin(cos(t))

et
y(t) = esin(t)(Bcos(cos(t)) +Asin(cos(t))
Vérification : il suffit de remonter les calculs.

Exercice 2 :[énoncé]
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène défini surRd’équation
matricielleX0=A(t)Xavec
A(t) =2(12−−tt) 2tt−−11etX(t) =xx12((tt))!

χA(t)=X2−(t+ 1)X+t.
Sp(A(t)) ={1 t}.
Sit6= 1,
E1(A(t)) =Vect11!etEt(A(t)) =Vect12!
PourP=2111indépendant det,A(t) =P D(t)P−1avecD(t) =10
et cette relation est aussi vraie pourt= 1.
En posantY=P−1X,

X0=A(t)X⇔Y0=D(t)Y

En écrivant
Y(t) =yy21((tt))!
on a
Y0=D(t)Y⇔(y0=y1⇔(yy21((tt)=)=λµeett
1
y20=ty222

avecλ µ∈R

0
t

Puisque

on obtient

X=P Y=11

12 yy1!
2

X0=A(t)X⇔X(t) =λeett!+µ2eett2222!avecλ µ∈R

Exercice 3 :[énoncé]
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène défini surRd’équation
matricielleX0=A(t)Xavec
1(t)
A(t) =t−43+t−32etX(t) =xx2(t)!.
χA(t)=X2−2tX+ (t2−1), Sp(A) ={t+ 1 t−1}.
Et+1(A) =Vect−11!etEt−1(A) =Vect−21!
.
PourP=−11−21indépendante det,A(t) =P D(t)P−1avec
D(t) =t0+1t−10.
En posantY=P−1X,X0=A(t)X⇔Y0=D(t)Y.
En écrivantY(t) =y1(t)!
y2(t),
Y0=D(t)Y⇔(yy0120(==(tt−)1)1+yy21⇔(yy12==µλee((tt22+−22tt))22avecλ µ∈R.
X=P Y=−11−12 yy21!,
X0=A(t)X⇔X(t) =−ee(t(2t2+2+t)2t2)2!+µ−2e(te2(t−22−t2)t)22!avecλ µ∈R.
λ

Exercice 4 :[énoncé]
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 défini surRd’équation matricielle
X0=A(t)X+B(t)avec
t t
A(t) =1−+t1−tetB(t) =−eett!

2

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Corrections

Commençons par résoudre l’équation homogèneX0=A(t)X.
χA(t)= (X−1)2.
1
E1(A(t)) =Vect−1!.
PourP=−1110indépendante det,A(t) =P T(t)P−1avec
T(t) =011t.
En posantY=P−1X,
X0=A(t)X⇔Y0=T(t)Y
En écrivantY=yy21!,Y0=T(t)Y⇔(yy0210==yy12+ty2⇔yy12==µλeett+λ2t2et
avecλ µ∈K.

Puisque

on obtient

X=P Y=

−1101 yy12!

X0=A(t)X⇔X(t) =λ((1t−2t222)et)et!+µ−eett!

La famille(X1 X2)forme un système fondamental de solutions de l’équation
homogène.
Cherchons une solution particulière.
X(t) =λ(t)X1(t) +µ(t)X2(t)avecλetµfonctions dérivables.
X0=A(t)X+B(t)⇔λ0(t)1((t−2t22)e2t)et!+µ0(t)−etet!=−eett!

λ(t) = 0etµ(t) =−tconviennent
=−tteett!est s
X(t)olution particulière.
Solution générale :
X(t) =λ((1t−2t222e)t)et!

−etet!+−ttetet!

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