Sujet : Analyse, Espaces normés, Fonctions lipschitziennes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Fonctions lipschitziennes Exercice 1 [ 00475 ] [correction] Soit E l’espace formé des fonctions réelles définies sur [a,b], lipschitziennes et s’annulant en a. Montrer que l’application N :E→R qui à f∈E associe le réel +N(f) = inf k∈R /∀x,y∈ [a,b],|f(x)−f(y)|6k|x−y| définit une norme sur E. Exercice 2 [ 03052 ] [correction] Soient A une partie bornée non vide d’un espace vectoriel normé (E,N) etL le sous-espace vectoriel des applications lipschitziennes de A dans E. a) Montrer que les élémentsL sont des fonctions bornées. b) Pour f∈L, soit + 2K = k∈R /∀(x,y)∈A ,N(f(x)−f(y))6kN(x−y)f Justifier l’existence de c(f) = infK puis montrer c(f)∈K .f f +c) Soient a∈A et N :L→R définie para N (f) =c(f)+N(f(a))a Montrer que N est une norme surL.a d) Soient a,b∈A. Montrer que les normes N et N sont équivalentes.a b Exercice 3 [ 00476 ] [correction] Soient E un espace vectoriel normé et T :E→E définie par u si kuk6 1 T(u) = u sinon kuk Montrer que T est au moins 2-lipschitzienne. Exercice 4 Centrale MP [ 00477 ] [correction] Soit E un espace vectoriel réel normé. On pose 1 f(x) = x max(1,kxk) Montrer que f est 2-lipschitzienne. Montrer que si la norme sur E est hilbertienne alors f est 1-lipschitzienne. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.
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Fonctions lipschitziennes

Exercice 1[ 00475 ][correction]
SoitEl’espace formé des fonctions réelles définies sur[a b], lipschitziennes et
s’annulant ena.
Montrer que l’applicationN:E→Rqui àf∈Eassocie le réel
N(f) = infk∈R+∀x y∈[a b]|f(x)−f(y)|6k|x−y|

définit une norme surE.

Exercice 2[ 03052 ][correction]
SoientAune partie bornée non vide d’un espace vectoriel normé(E N)etLle
sous-espace vectoriel des applications lipschitziennes deAdansE.
a) Montrer que les élémentsLsont des fonctions bornées.
b) Pourf∈ L, soit
Kf=k∈R+∀(x y)∈A2 N(f(x)−f(y))6kN(x−y)

Justifier l’existence dec(f) = infKfpuis montrerc(f)∈Kf.
c) Soienta∈AetNa:L →R+définie par

Na(f) =c(f) +N(f(a))

Montrer queNaest une norme surL.
d) Soienta b∈A. Montrer que les normesNaetNbsont équivalentes.

Exercice 3[ 00476 ][correction]
SoientEun espace vectoriel normé etT:E→Edéfinie par
T(u) =ukuukinsiskounk61

Montrer queTest au moins 2-lipschitzienne.

Exercice 4Centrale MP[ 00477 ][correction]
SoitEun espace vectoriel réel normé. On pose
f(xax(1)=1mkxk)x

Montrer quefest 2-lipschitzienne.
Montrer que si la norme surEest hilbertienne alorsfest 1-lipschitzienne.

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
L’ensemble
A=k∈R+∀x y∈[a b]|f(x)−f(y)|6k|x−y|

est une partie deR, non vide (carfest lipschitzienne) et minorée par 0.
Par suiteN(f) = infAexiste.
Montrons que cet inf est en fait un min.
Pourx y∈[a b]distincts, on a pour toutk∈A,

|f(x)−f(y)|6k
|x−y|

En passant à la borne inf, on obtient

puis

|f(|xx)−−yf|(y)|6N(f)

|f(x)−f(y)|6N(f)|x−y|

Cette identité est aussi valable quandx=yet doncN(f)∈A.
Par conséquent l’applicationN:E→R+est bien définie.
SupposonsN(f) = 0.
Pour toutx∈[a b],|f(x)|=|f(x)−f(a)|60|x−a|doncf= 0.
Pourλ= 0, on a évidemmentN(λf) =|λ|N(f).
Pourλ6= 0:
Pourx y∈[a b], l’inégalité

entraîne

|f(x)−f(y)|6N(f)|x−y|

|λf(x)−λf(y)|6|λ|N(f)|x−y|

On en déduitN(λf)6|λ|N(f).
Aussi, l’inégalité
|λf(x)−λf(y)|6N(λf)|x−y|

entraîne

(λf)
|f(x)−f(y)|6N|λ| |x−y|

On en déduitN(f)6N(λf)|λ|et finalementN(λf) =|λ|N(f).

Corrections

Enfin, pourx y∈[a b],

2

|(f+g)(x)−(f+g)(y)|6|f(x)−f(y)|+|g(x)−g(y)|6(N(f) +N(g))|x−y|

doncN(f+g)6N(f) +N(g).

Exercice 2 :[énoncé]
a) Soientx0∈AetM∈Rtels que pour toutx∈A,kxk6M.
Pourf∈ L, en notantkle rapport de lipschitzianité def,

kf(x)k6kf(x0)k+kf(x)−f(x0)k6kf(x0)k+kkx−x0k6kf(x0)k+ 2kM

b) L’ensembleKfest une partie deR, non vide (carfest lipschitzienne) et
minorée par 0.
On en déduit quec(f) = infKfexiste dansR+.
Pourx y∈Adistincts, on a pour toutk∈Kf

N(f(x)−f(y))
N(x−y)6k

En passant à la borne inférieure, on en déduit

N(fN((xx)−−yf)(y))6c(f)

et doncN(f(x)−f(y))6c(f)N(x−y)et cette relation est aussi valable quand
x=y.
Ainsic(f)∈Kf
c) L’applicationNaest bien définie deLversR+.
SiNa(f) = 0alorsc(f) = 0etN(f(a)) = 0.
Par suitefest constante etf(a) = 0doncfest la fonction nulle.
Na(λf) =c(λf) +|λ|N(f(a))
Montronsc(λf) =|λ|c(f).
Pourλ= 0, la propriété est immédiate.
Pourλ6= 0.
Pour toutx y∈A,
N(f(x)−f(y))6c(f)N(x−y)

donne

N(λf(x)−λf(y))6|λ|c(f)N(x−y)

On en déduitc(λf)6|λ|c(f).
De façon symétrique, on obtientc(f)6c(λf)|λ|et on peut conclure
c(λf) =|λ|c(f).

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kf(y)−f(x)k2− ky−xk2= 2− kyk2− kxk2+ 2(kxk kyk −1) =−(kxk − kyk)260

Or|(x|y)|6kxk kykdonc

Au finalfest 1-lipschitzienne.

kf(y)−f(x)k2− ky−xk2= 2− kyk2− kxk2−2kxkkxkkykkyk−(1x|y)

Sikxkkyk>1alors
kf(y)−f(x)k=kyy−kkxxk=yk−ykx+xk1yk−kx1k6ky−kykxk+|kx−kkykkyk|62ky−xk

Au finalfest 2-lipschitzienne.
Supposons maintenant que la normekksoit hilbertienne.

kf(y)−f(x)k=kyyk −x=kyyk −y+y−x6kyk −1 +ky−xk62ky−xk

Exercice 4 :[énoncé]
Sikxkkyk61alorskf(y)−f(x)k=ky−xk.
Sikxk61etkyk>1alors

On en déduitc(f+g)6c(f) +c(g)et on peut conclure
Na(f+g)6Na(f) +Na(g).
FinalementNaest une norme surL.
d)N(f(a))6N(f(b)) +N(f(a)−f(b))6N(f(b)) +ka−bkc(f).
On en déduitNa6(1 +ka−bk)Nbet de façon symétrique,
Na6(1 +kb−ak)Na.

Montronsc(f+g)6c(f) +c(g).
Pour toutx y∈A,

Na(f+g)6N(f(a)) +N(g(a)) +c(f+g)

On en déduitNa(λf) =|λ|Na(f).

Sikxkkyk>1alors

kf(y)−f(x)k2− ky−xk261− kyk2+ 2(kyk −1) =−(1− kyk)260

Or|(x|y)|6kxk kyk6kykdonc

N((f+g)(x)−(f+g)(y))6N(f(x)−f(y))+N(g(x)−g(y))6(c(f) +c(g))N(x−y)

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kf(y)−f(x)k=ky−xk

3

Corrections

kf(y)−f(x)k2− ky−xk2= 1− kyk2−2kykky−k(1x|y)

Exercice 3 :[énoncé]
Pouru v∈B(01), on akT(u)−T(v)k=ku−vk62ku−vk.
Pour u v∈B(01), on akT(u)−T(v)k=kuuk−kvvk=kkvkkuu−kkkuvkkvkor
kvku− kukv=kvk(u−v) + (kvk − kuk)vdonc
kT(u)−T(v)k6kukuk−vk+|kvkku−kkuk|62ku−vkcar|kvk − kuk|6kv−uket
kuk>1.
Pouru∈B(01)etv∈ B(01),
kT(u)−T(v)k=u−kvvk=kkvkkuv−kvk=|kvk−1k|kuvkk+ku−vk62ku−vkcar
|kvk −1|=kvk −16kvk − kuk6kv−uketkvk>1

Sikxkkyk61alors

Sikxk61etkyk>1alors

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