Sujet : Analyse, Etude d'une équation fonctionnelle

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Continuité. Dérivabilité.

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Etude d’une équation fonctionnelle

Thèmes abordés : Continuité et dérivabilité des fonctions numériques.
Les parties I et II sont entièrement indépendantes.
En dehors de la dernière question, la partie III est indépendante de la partie II.
nϕ:ℝ→ℝdéfinieϕ()=ee2+− .11
Dans tout le problème : on considère la fonctio par2

1.a

1.b

1.c

2.a
2.b

2.c

Partie I : Etude de la fonctionϕ

Etudier la parité deϕ.
Etudier les variations deϕsurℝet préciser ses branches infinies en+∞et−∞.
Donner l’allure de la courbe représentative deϕ.
Justifier queϕest une bijection deℝsur un intervalledeℝà préciser.
Observer que pour tout∈ℝ:ϕ′()=1−ϕ2() .
Montrer queϕ−1:→ℝest dérivable et exprimer simplement sa dérivée.

Partie II : Etude d’une première équation fonctionnelle


Le but de cette partie est de déterminer les fonctions:ℝ→ℝ 0 vérifiant :dérivables en
∀∈ℝ,(2)=2() .

On considèreune fonction solution.
1. Calculer(0) .

2.

2.a
2.b
3.


Soit∈ℝ (. On définit une suite réelle) par :∀∈ℕ,=

Montrer que () converge et exprimer sa limite.
Exprimer+1en fonction de.
Conclure qu’il existeα∈ℝtel que∀∈ℝ,()=α..


2
.

2

Partie III : Etude d’une seconde équation fonctionnelle


Le but de cette partie est de déterminer les fonctions:ℝ→ℝdérivable en 0 vérifiant :
∀∈ℝ,(2)=1(2(()2.
+))
1. Montrer queϕest solution du problème posé.
2. On considère dans cette questionune solution du problème posé.
2.a Déterminer les valeurs possibles de(0) .
2.b Montrer que−est aussi solution

2.c

3.

3.a

3.b

3.c

3.d

3.e
3.f

4.
4.a

4.b

Montrer que∀∈ℝ,−1≤()≤1 .
(indice : on pourra exprimer() en fonction de2).

On suppose dans cette question queest solution du problème posé et que(0)=1 .
On considère∈ℝet l’on définit la suite () par∀∈ℕ,=2.

Montrer que la suite () est convergente et préciser sa limite.
Etablir une relation entreet+1.

En déduire que la suite ( un signe constant et préciser celui-ci.) garde
Etudier la monotonie de la suite ( . en déduire que celle-ci est constante égale à 1) et
Qu’en déduire quant à la fonction?
Que peut-on dire si l’hypothèse «(0)=1 » et remplacée par «(0)= −1 » ?

On suppose dans cette question queest solution du problème posé et que(0)=0 .

En raisonnant par l’absurde et en considérant une suite du même type que ci-dessus, montrer que
∀∈ℝ,()≠1 et()≠ −1 .

On introduit la fonction:ℝ→ℝdéfinie par()=ϕ−1(()) .
Montrer que∀∈ℝ,(2)=2() et queest dérivable en 0 .

4.c En déduire une expression de( d’un paramètre) dépendantα∈ℝ.

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