Sujet : Analyse, Etude d'une suite de racines d'équations algébriques

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4.e

Etude d’une suite de racines d’équations algébriques

2+, montrer que l’équation

Pour∈ℕ∗, on considère l’équation+−1+⋯+2+=1 ..
En étudiant la fonctionϕ:ℝ+→ℝdéfinie parϕ()=+−1+⋯+
possède une unique solution positive.
Justifier que∈0,1 et qu’on a la relation(1−)=1−.
Etablir que la suite ( décroissante puis convergente.) est
Etablir que→0 et en déduire la limite de () .
On écrit=12(1+ε)avecε→0 .
En observant que (1+ε)+1=2+1ε,
établir la relation (+1)εln(1+ε)=(+1)εln 2+εlnε.
Déterminer alors la limite de (+1)εpuis celle de (1+ε)+1.
En déduire un équivalent simple de (ε) .
Dans cette question, on suppose=2 .
Par commodité on noteα=2au lieu de∀∈ℕ,∈1 2,1 .
On considère la fonction réelledéfinie pour≥0 par()=1+.
1
Simplifier(α) .
Montrer que si∈1 2,1 alors()∈1 2,1 .
On considère la suite récurrente réelle ( par :) définie
0=1 et∀∈ℕ,+1=() .
Justifier∀∈ℕ,+1−α≤23−α.
En déduire :−α≤23,
et déterminer la limite de la suite () .
Dans cette question, on suppose: 1 2,1→ et1 2,1=1 .
Par commodité, on poseβ=3.
On introduit la fonction réelledéfinie par()=2+1+1et o nsidn cos al erècér etiue ntreur leelré
 
( par :) définie0=1 et∀∈ℕ,+1=() .
Dresser le tableau de variation desurℝ+.
En déduire que∀∈ℕ,∈0,1 .
Justifier que (2 ( décroissante, que) est2+1) est croissante puis que ces deux suites sont convergentes.
On poseℓ=lim2et0∈1 2,1 .
Etablir(ℓ)=ℓ′et(ℓ′)=ℓ.
En déduire queℓest solution de l’équation : (ℓ2+1)(ℓ3+ℓ2+ℓ−1)=0 .
Conclure queℓ=β,ℓ=′βpuis déterminer la nature () .

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