Sujet : Analyse, Fonctions de deux variables réelles, Continuité

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Continuité

Exercice 1[ 01738 ][correction]
Soitf:R2→Rdéfinie par
f(y) =21x2+y2−1six2+y2>1
x12s
−xinon
2

Montrer quefest continue.

Exercice 2[ 01739 ][correction]
Soientf:R→Rune fonction de classeC1etF:R
(f(x)−f(y)

F(x y) =

x−y
f0(x)

Montrer que la fonctionFest continue.

Enoncés

2→Rla fonction définie par

siy6=x
siy=x

Exercice 3[ 01741 ][correction]
SoitAune partie convexe non vide deR2etf:A→Rune fonction continue.
Soitaetbdeux points deAetyun réel tels quef(a)6y6f(b).
Montrer qu’il existex∈Atel quef(x) =y.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
NotonsD=(x y)∈R2x2+y2<1etE=(x y)∈R2x2+y2>1.
fest continue surDetE.
Soit(x0 y0)tel quex02+y02= 1.
Si(x y)→(x0 y0)avec(x y)∈Dalors
fSi(x(xy)y)→→12(xx020+yy00)2a−ve1c=(x− y12)x20∈=fEa(lxo0rsfy0)(.x y)→1
−2x20=f(x0 y0).
Donclim)f(x y) =f(x0 y0)et finalementfest continue surR2.
(xy)→(x0y0

Exercice 2 :[énoncé]
Soita= (α β)∈R2.
Siα6=βalors au voisinage dea,

F(x y) =f(yy)−fx(x)−(x−y−)−→−a→f(ββ)−−αf(α=)F(α β)

Siα=βalors :
Quand(x y)→aavecx=y,F(x x) =f0(x)→f0(α) =F(a).
Quand(x y)→aavecx6=ypar le théorème des accroissements finis,

F(x y) =f0(c)

avecccompris entrexety. Par le théorème des gendarmes,c→αet par
composition
F(x y)→f0(α) =F(a)

FinalementFest continue en touta∈R2.

Exercice 3 :[énoncé]
Soitϕ: [01]→R2définie parϕ(t) =a+t(b−a).
Par compositionf◦ϕest continue sur le segment[01].
Comme(f◦ϕ)(0) =f(a)et(f◦ϕ)(1) =f(b), par le théorème des valeurs
intermédiaire, il existet∈[01]tel que(f◦ϕ)(t) =y.
Pourx=ϕ(t)∈Aon ay=f(x).

Corrections

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