Sujet : Analyse, Fonctions numériques, Continuité sur segment

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Continuité sur segment Exercice 7 [ 03437 ] [correction] Soit f :R→R une fonction continue et T-périodique (T > 0). a) Montrer que f est bornée.Exercice 1 [ 01813 ] [correction] b) Justifier l’existence de x∈R tel queMontrer qu’une fonction continue et périodique définie sur R est bornée. f([x,x+T/2]) = Imf Exercice 2 [ 01812 ] [correction] Soient f :R→R bornée et g :R→R continue. Exercice 8 [ 03722 ] [correction] Montrer que g◦f et f◦g sont bornées. Soit f : [a,b]→R continue vérifiant f(a) =f(b). Montrer qu’il existe α> 0 tel que Exercice 3 [ 01810 ] [correction] ∀σ∈ [0,α],∃x∈ [a,b−α],f(x+σ) =f(x) Soient f,g : [a,b]→R continues telles que ∀x∈ [a,b],f(x) 0 tel que ∀x∈ [a,b],f(x)6g(x)−α Exercice 4 [ 01811 ] [correction] Soit f :R→R continue telle que limf = limf = +∞ +∞ −∞ Montrer que f admet un minimum absolu. Exercice 5 [ 01814 ] [correction] Soient f,g : [0,1]→R continue. On pose ϕ(t) = sup (f(x)+tg(x)) x∈[0,1] Montrer que ϕ est bien définie surR et qu’elle y est lipschitzienne. Exercice 6 [ 01815 ] [correction] Soit f :R→R continue. On suppose que chaque y∈R admet au plus deux antécédents par f. Montrer qu’il existe un y∈R possédant exactement un antécédent. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.
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Continuité sur segment

Exercice 1[ 01813 ][correction]
Montrer qu’une fonction continue et périodique définie surRest bornée.

Exercice 2[ 01812 ][correction]
Soientf:R→Rbornée etg:R→Rcontinue.
Montrer queg◦fetf◦gsont bornées.

Exercice 3[ 01810 ][correction]
Soientf g: [a b]→Rcontinues telles que

∀x∈[a b] f(x)< g(x)

Montrer qu’il existeα >0tel que

∀x∈[a b] f(x)6g(x)−α

Exercice 4[ 01811 ][correction]
Soitf:R→Rcontinue telle que

limf= limf= +∞
+∞ −∞

Montrer quefadmet un minimum absolu.

Exercice 5[ 01814 ][correction]
Soientf g: [01]→Rcontinue.
On pose
ϕ(t) = sup (f(x) +tg(x))
x∈[01]

Montrer queϕest bien définie surRet qu’elle y est lipschitzienne.

Exercice 6[ 01815 ][correction]
Soitf:R→Rcontinue. On suppose que chaquey∈Radmet au plus deux
antécédents parf.
Montrer qu’il existe uny∈Rpossédant exactement un antécédent.

Enoncés

Exercice 7[ 03437 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction continue etT-périodique(T >0).
a) Montrer quefest bornée.
b) Justifier l’existence dex∈Rtel que

f([x x+T 2]) =Imf

Exercice 8[ 03722 ][correction]
Soitf: [a b]→Rcontinue vérifiantf(a) =f(b).
Montrer qu’il existeα >0tel que

∀σ∈[0 α]∃x∈[a b−α] f(x+σ) =f(x)

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
SoitT >0une période def.
Sur[0 T],fest bornée par un certainMcarfest continue sur un segment.
Pour toutx∈R,x−nT∈[0 T]pourn=E(xT)donc
|f(x)|=|f(x−nT)|6M.
Ainsifest bornée parMsurR.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
SoitM∈Rtel que
∀x∈R|f(x)|6M
Pour toutx∈R,|f(g(x))|6Mdoncf◦gest bornée.
Puisque la fonctiongest continue sur le segment[−M M], elle y est bornée par
un certainM0.
Pour toutx∈R,|g(f(x))|6M0carf(x)∈[−M M]ainsig◦fest bornée.

Exercice 3 :[énoncé]
Posonsϕ: [a b]→Rdéfinie par

ϕ(x) =g(x)−f(x)

ϕest continue sur le segment[a b]donc y admet un minimum en un certain
c∈[a b].
Posonsα=ϕ(c) =g(c)−f(c)>0. Pour toutx∈[a b],ϕ(x)>αdonc
f(x)6g(x)−α.

Exercice 4 :[énoncé]
PosonsM=f(0) + 1.
limf += l∞, il existeA B∈Rte
Puisque+∞ −i∞mf=ls que

∀x6A f(x)>Met∀x>B f(x)>M

On aA606Bcarf(0)< M.
Sur[A B],fadmet un minimum en un pointa∈[A B]car continue sur un
segment.
On af(a)6f(0)car0∈[A B]doncf(a)6M.
Pour toutx∈[A B], on af(x)>f(a)et pour toutx∈]−∞ A]∪[B+∞[,
f(x)>M>f(a).
Ainsifadmet un minimum absolu ena.

Exercice 5 :[énoncé]
L’applicationx7→f(x) +tg(x)est définie et continue sur le segment[01]elle y
est donc bornée et atteint ses bornes. Par suiteϕ(t)est bien définie et plus
précisément, il existext∈[01]tel queϕ(t) =f(xt) +tg(xt).
Puisquegest continue sur[01]elle y est bornée par un certainM:
On a
ϕ(t)−ϕ(τ) =f(xt) +tg(xt)−(f(xτ) +τ g(xτ))
or
f(xt) +τ g(xt)6f(xτ) +τ g(xτ)

donc

ϕ(t)−ϕ(τ)6tg(xt)−τ g(xt) = (t−τ)g(xt)6M|t−τ|

De mme
ϕ(τ)−ϕ(t)6M|t−τ|
et finalementϕestMlipschitzienne.

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Exercice 6 :[énoncé]
Soityune valeur prise parf. Si celle-ci n’a qu’un antécédent, c’est fini.
Sinon, soita < bles deux seuls antécédents dey.
fest continue sur[a b]donc y admet un minimum encet un maximum end, l’un
au moins n’étant pas en une extrémité de[a b]. Supposons que cela soitc.
Sif(c)possède un autre antécédentc0quec.
Sic0∈[a b]alorsfne peut tre constante entrecetc0et une valeur strictement
comprise entref(c) =f(c0)et[mcac0x]fpossède au moins 3 antécédents.
Sic0∈[a b]alors une valeur strictement intermédiaire àyetf(c)possède au
moins 3 antécédents. Impossible.

Exercice 7 :[énoncé]
a) PuisquefestT-périodique, on a

Imf=f(R) =f([0 T])

Orfest continue, doncf([0 T])est bornée et donc Imfaussi.
b) Plus précisémentf([0 T])est un segment de la forme[f(a) f(b)]avec
a b∈[0 T].
Pour fixer les idées, supposonsa6b. On ab∈[a T]⊂[a a+T].
Sib∈[a a+T 2]alorsf(a) f(b)∈f([a a+T 2])et donc pourx=a

Imf=f([x x+T 2])

Sib∈[a+T 2 a+T]alorsx=a+T 2convient.
Le raisonnement dans le casb6aest analogue.

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Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
Si la fonctionfest constante, l’affaire est entendue.
Sifadmet un minimum ou un maximum global dansn’est pas constante elle ]a b[.
Quitte à considérer−fsupposer qu’il s’agit d’un maximum en, on peut c∈]a b[.
Posons alorsα= min{c−a b−c}>0et considéronsσ∈[0 α].
Considérons enfing:x7→f(x+σ)−f(x)définie et continue sur[a b−σ].
On ag(c)60etg(c−σ)60carfest maximale enc.
Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut affirmer quegs’annule ce qui
résout le problème posé.

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