Sujet : Analyse, Fonctions usuelles, Logarithmes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Logarithmes Exercice 7 [ 03626 ] [correction] [Lemme de Gibbs] a) JustifierExercice 1 [ 01827 ] [correction] ∀x> 0,lnx6x−1Etablir, pour tout x> 0, l’encadrement b) Soient (p ,...,p ) et (q ,...

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Logarithmes

Exercice 1[ 01827 ][correction]
Etablir, pour toutx>0, l’encadrement

x−12x26ln(1 +x)6x

Exercice 2[ 01828 ][correction]
a) Montrer que, pour toutx >−1

ln(1 +x)6x

b) En déduire que pour toutn∈N {01}
1 +n1n6e6

Exercice 3[ 01829 ][correction]
Montrer que pour touta b >0

1−n1−n

12(lna+ lnb)6lna2+b

Exercice 4[ 01830 ][correction]
Soit0< a6b. On posef:x7→1+(nlnl1+(axxb))définie surR+?.
Etudier la monotonie defet en déduire queln1 +abln1 +ab6(ln 2)2.

Exercice 5[ 01831 ][correction]
Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entiern >0est
E(log10n) + 1.

Exercice 6[ 01832 ][correction]
a) Etablir que pour toutx y∈R+,√y− √x6p|y−x|.
b) Ce résultat est-il encore vrai en terme de racine cubique ?

Enoncés

Exercice 7[ 03626 ][correction]
[Lemme de Gibbs]
a) Justifier
∀x >0lnx6x−1

b) Soient(p1     pn)et(q1     qn)desn-uplets formés de réels strictement
positifs vérifiant
n n
Xpk=Xqk= 1
k=1k=1
Etablir
n n
X X

pilnqi6pilnpi
i=1i=1
Dans quel(s) cas y a-t-il égalité ?

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
L’étude des variations des fonctionsx7→x−ln(1 +x)etx7→ln(1 +x)−x+1x2
2
montre que celles-ci sont croissantes surR+, puisqu’elles s’annulent en 0, on peut
conclure.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Posonsf: ]−1+∞[→Rdéfinie parf(x) =x−ln(1 +x).fest dérivable,
f(0) = 0etf0(x) =1+x.
x
Le tableau de variation defdonnefpositive.
b) D’une part
1 +n1n=enln(1+1n)6en×n16e
et d’autre part
1−n1−n=e−nln(1−n1)>e
car
ln1−n16−1n

Exercice 3 :[énoncé]
On a
ln

or

donc

a2+b−n(l21a+ lnb2)√ab
= lna+b
a+b=√a2+√b2>2√ab

la+b
n
2√ab>0

Exercice 4 :[énoncé]
f0(x) =g(x)bx)2avecg(x) =a(1 +bx) ln(1 +bx)−b(1 +ax) ln(1 +ax).
(1+ax)(1+bx) ln(1+
g(0) = 0etg0(x) =abln+1+1bxax>0doncgest positive et par suitefcroissante.
b6afb16f1ace qui donne l’inégalité voulue.
1 1donc

Exercice 5 :[énoncé]
Notonsmle nombre de décimale dans l’écriture den.
On a10m−16n <10mdoncm−16log10n < mpuism=E(log10n) + 1.
Exercice 6 :[énoncé]
a) Quitte à échanger, on peut supposery>x.
Par élévation au carré, l’inégalité demandée équivaut ày−2√xy+x6y−x.
Ory>xdonc√xy>xpuisy−2√xy+x6y−xce qui permet de conclure.
b) Quitte à échanger, on peut encore supposery>x.
Par élévation au cube, l’inégalité demandée équivaut à
y−33py2x+ 33pyx−x6y−x.
2
Ory>xdoncy2x>yx2puisy−33py2x+ 33pyx2x6y−x.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Une étude de la fonctionx7→lnx−x+ 1assure l’inégalité écrite.
De plus on observe qu’il y a égalité si, et seulement si,x= 1.
b) On étudie la différence

n n n
i=X1pilnqi−i=X1pilnpi=i=X1pilnqpii

Par l’inégalité précédente
i=nX1pilnqi−i=nX1pilnpi6i=Xn1piqpii−1=i=nX1(qi−pi) = 0

De plus il y a égalité si, et seulement si,

∀16i6n pi=qi

Cette inégalité est fameuse lorsqu’on s’intéresse à l’entropie d’une source
d’information. . .

2

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