Sujet : Analyse, Intégrales doubles, Intégrale double

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Intégrale double

Exercice 1
Calculer

avec

[ 01947 ][correction]
I=Z Zxydxdy
D
D=(x y)∈R2|x y>0etx+y61

Exercice 2[ 01949 ][correction]
Calculer
I=Z ZDx2dxdy
oùD=(x y)∈R2|x61 y>0ety26x.

Exercice 3[ 01950 ][correction]
Calculer
Z ZD2dxd
x y
oùDest l’intérieur de l’ellipse d’équation
x2y21
2+b2=
a

Exercice 4X MP[ 03373 ][correction]
a) Donner les coordonnées des foyersFetF0de l’ellipseEd’équation
x2y2= 1
a2+b2
(avec0< b < a)
b) Calculer
Z Z

I= (M F+M F0) dxdy
D
oùDdésigne l’intérieur de l’ellipse

Exercice 5[ 03746 ][correction]
Calculer
dxd
IZ ZD(1 +x2)(1y+y2)
=
avecD=(x y)∈R206y6x61.

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Puisque
D=(x y)∈R206x61et06y61−x

on peut calculer l’intégrale
I=Z01Z01−xxydy

dx=Z1021x(1−x)2dx24=1

Exercice 2 :[énoncé]
On peut décrireDsous la forme
D=(x y)∈R206x61et 06y6√x

et ainsi exprimer l’intégrale étudiée
I=Z10Z0√xx2dydx=Z01x52dx72=

Exercice 3 :[énoncé]
RRDx2dxdy=R−aaRyy==−abba√√aa2−−xx22x2dydx=R−aa2abx2√a2−
2x2dx=
Rπ223bsin2tcos2tdt=a34bπ.
−π2a

Exercice 4 :[énoncé]
a)F(c0)etF0(−c0)avecc=√a2−b2.
b) L’intérieur de l’ellipse est la réunion des courbes

Eλ:M F+M F0= 2λ

pourλ∈[c a].
Procédons alors au changement de variable
x=λcost
(y=pλ2−c2sint

qui donne l’intérieur de l’ellipse pour(λ t)parcourant[c a]×[02π].

Corrections

Le jacobien de ce changement de variable est

DD((tλyx)=)√λ2λc−ocs2tsint√λ2−λ−sci2cntost=pλ2−c2cos2t+√2λ2−c2sin2t
λ

et on obtient
I=ZacZ20π2λpλ2−c2cos2t+√λ22λ3−c2sin2tdtdλ

d’où

Après calculs

2πZacλpλ2−c2+√λ2λ3−c2
I= dλ

I= 2π−b2b
3 (3a2)

Exercice 5 :[énoncé]
On peut décrire la partieDsous la forme
D=(x y)∈R206x61et06y6x

On peut alors réexprimer l’intégrale double
I=Z0111+x2Z0xd1+yy2dx

et donc

I= =π2
Z01+1atcraxn2xdx=ntarc(a12x)21032

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