Sujet : Analyse, Intégration, Calcul de primitives

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Calcul de primitives

Exercice 1[ 01960 ][correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a)Ztet2dtb

)Z

Exercice 2[ 00279 ][correction]
Déterminer les primitives suivantes :

a)Zcostsintdt

b)Z

Exercice 3[ 00280 ][correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a)Z1t+2t3dtb)Z

Exercice 4[ 01962 ][correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a)Zitd+t1b)Z

lntdt
t

tantdt

√1tdt
+t2

etcostdt

Exercice 5[ 01961 ][correction]
Soitλ∈CR,a=Re(λ)etb=Im(λ). Etablir
Zdt

c)Z

c)Z

dt
tlnt

c)Z

c)Z

cos3tdt

td
t
1 +t4

tsintetdt

t−λ= ln|t−λ|+iarctant−ba+Cte

Exercice 6[ 03774 ][correction]
Calculer pour toutx∈Rl’intégrale
Zx

0

dt
3 + cos2t

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) On reconnaît une formeu0eu
Z

b) On reconnaît une formeu0u
Z

tet2dt=21et2+Cte

lntdt1ln
=
t2 (t)2+Cte

c) On reconnaît une formeu0u
Ztldt= ln|lnt|+Cte
nt

Exercice 2 :[énoncé]
a) C’est une formeu0udonc
Z

costsintdt2sin=12t+Cte

b) C’est une formeu0udonc
Z

tantdt=−ln|cost|+Cte

c) On se ramène à une formeu0u2viacos2t= 1−sin2t
Zcos3tdt=Zcost−Zcostsin2t= sint−31isn3t+Cte

Exercice 3 :[énoncé]
Dans chaque cas on reconnaît une formeu0f(u)
a)R1t+2t3dt=13ln1 +t3+Ctesur]−∞−1[ou]−1+∞[.
b)R√1t+t2dt=√1 +t2+CtesurR.
c)R1+tt4dt=21arctant2+CtesurR.

Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
a) En isolant partie réelle et imaginaire
Zitd+t1=1iZtd−ti=−iZtt2++i1dt

puis

b) On observe

et

donc

c) On observe

Zitd+t arctan1 =t−i2 ln(t2+ 1) +Cte

Z

Z

etcostdt=ReZe(1+i)tdt

Ze(1+i)tdt1+=1ie(1+i)t+Cte
et
t=
etcostd2 (cost+ sint) +Cte

Z

tsintetdt=ImZte(1+i)tdt

et par intégration par parties
+i(1−t)i)
Zte(1+i)tdt=t2e(1+t+Cte

donc

Z

t
tsintetdt=e2 (tsint+ (1−t) cost) +Cte

Exercice 5 :[énoncé]
On peut écrire
1t−a+ib t−a b
= = (t−a)2+b2+i
t−λ(t−a)2+b2(t−a)2+b2

or
Zt−2a+b2dtnl21=(t−a)2+b2+Cte= ln|t−λ|+Cte
(t−a)
et
Z(t−ba)2+b2dt= arctant−ab+Cte
puis la formule proposée.

2

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Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
L’intégrale est bien définie et détermine la primitive s’annulant en 0 de la fonction

continue
1
x7→3 + cos2x
NotonsFcette primitive.
Pour calculer, l’intégrale on est tenté de procéder au changement de variable
u= tantmais celui-ci n’est possible que pourx∈]−π2 π2[et alors
F(x) =Znat0xd+4(u3u2=)2√ctaran31√ta32nx

Par continuité
F(π 42) =π√3etF(−π2) =−4√π3
Puisque la fonction intégrée estπ-périodique, on a

F(x+π)−F(x) =Cte

avec
π
Cte=F(π2)−F(−π 22) =√3
On peut alors calculerF(x)en commençant par déterminerk∈Ztel que

puis en exploitant

avec

x+kπ∈]−π2 π2]

+k
F(x) =F(x π)−2k√π3
F(x+kπ 2) =√3ar1ctan√nat32x

3

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