Sujet : Analyse, Intégration, Changement de variables

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Changement de variables Exercice 6 [ 01985 ] [correction] a) Montrer que Exercice 1 [ 01982 ] [correction] Z Zπ/2 π/2cost sint π Déterminer les primitives suivantes en procédant par un changement de variable dt = dt = cost+sint cost+sint 40 0adéquat : Z Z Z 2t b) En déduiredt lntdt e dt Z 1a) √ b) c)√ dt2 t3 t+t(lnt) e +1t+ t √ 21−t +t0 Exercice 2 [ 00290 ] [correction] Exercice 7 [ 01986 ] [correction]Déterminer Z Soit f : [a,b]→R continue telle quedt √ 2t t −1 ∀x∈ [a,b], f(a+b−x) =f(x) Montrer que Z ZExercice 3 [ 01983 ] [correction] b ba+b xf(x)dx = f(x)dxCalculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat : 2a a Z Z Ze e 1 dt dt dt a) b) √ c) 2 tt+t(lnt) e +1t lnt+11 1 0 Exercice 8 Centrale MP [ 00188 ] [correction] a) Soit f∈C([0,1],R). Etablir Z Zπ πExercice 4 [ 00260 ] [correction] π tf(sint)dt = f(sint)dtCalculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat 20 0 Z Z Z1 1 2p p lnt b) En déduire la valeur de22 2 √a) 1−t dt b) t 1−t dt c) dt t0 0 1 Z π 2nxsin (x) I = dxn 2n 2nsin (x)+cos (x)0 Exercice 5 [ 01984 ] [correction] a) Observer Z Zπ/4 π/4 Exercice 9 Centrale PSI [ 03337 ] [correction]π 2 3ln(cost)dt = lncos −t dt a) Etudier les variations de la fonction x7→ 3x −2x . 40 0 b) Soit f : [0,1]→R continue.
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Changement de variables

Enoncés

Exercice 1[ 01982 ][correction]
Déterminer les primitives suivantes en procédant par un changement de variable
adéquat :
t
a)Z√t+d√t3b)Zt+nlt(tldntt)2c)Zeet2t+dt1

Exercice 2
Déterminer

[ 00290 ][correction]

Z

dt
t√t2−1

Exercice 3[ 01983 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat :
a)Z1et+t(dltnt)2b)Z1et√lndtt+ 1c)Z01etd+t1

Exercice 4[ 00260 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat
a)Z01p1−t2dtb)Z10t2p1−t2dtc)Z21l√nttdt

Exercice 5[ 01984 ][correction]
a) Observer
Z0π4ln(cost) dt=Z0π4ln cos4π−tdt
b) En déduire

Z0π4ln(1 + tant)dt

Exercice 6[ 01985 ][correction]
a) Montrer que
costdt=2sint
Z0π2cost+ sintZ0πcost+ sintdt=π4

b) En déduire

Z10√1−dtt2+t

Exercice 7[ 01986 ][correction]
Soitf: [a b]→Rcontinue telle que

Montrer que

∀x∈[a b],f(a+b−x) =f(x)

Zabxf(x) dx=a+2bZbaf(x) dx

Exercice 8Centrale MP[ 00188 ][correction]
a) Soitf∈ C([01]R). Etablir
Z0πtf(sint) dt=πZπ
f(sint) dt
20

b) En déduire la valeur de
In=Z

πxsin2n(x)
dx
0sin2n(x) + cos2n(x)

Exercice 9Centrale PSI[ 03337 ][correction]
a) Etudier les variations de la fonctionx7→3x2−2x3.
b) Soitf: [01]→Rcontinue. Montrer
2
Z−132x2−2x3) dx= 2Z10f(3x2−2x3) dx
f(3

1

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Exercice 10CCP MP[ 03193 ][correction]
Pouraetbdes réels tels queab >0, on considère
b) =Zb1−√x2
I(a

a

(1 +x2 +) 1x

dx
4

Enoncés

a) CalculerI(−b−a),I(1a1b)etI(1a a)en fonctionI(a b).
b) Pour >a b1, calculerI(a b)via changement de variablesv=x+ 1xpuis
v= 1t.
c) Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour touta btels queab >0.

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)
Z√t+dt√t3u==√tZ2udu=Z21+duu2= 2 arctanu+Cte arctan= 2√t+Cte
u+u3

b)
Ztln+t(tdt=lnZ
lnt)2u=t

c)

ueudu=Z
eu+euu2

Exercice 4 :[énoncé]
a)
ππ
Z10p1−t2dtt=s=inuZ02cos2udu4
=
b)
Z10t2p1−t2dtt=s=inuZ0π2sin2ucos2udu=41Zπ2sin22udu=π
016

c
1u+duu2ln(1=12+u2) +Cte+1(nl21=nl2t)+Cte)

Z12l√nttdtu==√tZ√22 lnu2du [= 4ulnu−u]1√2= 2√2 ln 2−4√2 + 4
1

Zeet2t+dt1u==etZuu+du1 =Z1−u+11du=u−ln(1 +u) +Cte=et−ln(1 +et) +CteExercice 5 :[énoncé]u=π4−t
a) Par le changement de variable
Exercice 2 :[énoncé]Z0π4ln costdtZπ04−ln cosπ4−udu=Z0π4os4π−tdt
ln c
Par le changement de variableu=√t2−1
Zt√td2t−=1Zu2du =+ 1 arctan(pt2−1) +Cte

Exercice 3 :[énoncé]
a)

Z1et+td(ltnt)2u==lntZ011d+uu2=π4

b) On a
π4π
Zln(1 + tant)dt=Z04ln(cost+ sint)−ln costdt
0

or
cost+ sint=√2 cos4π−t
donc
Z0π4ln(1 + tant)dt=Z0π4ln√2 + ln cosπ4−t−ln costdt=π8ln2

b)
Z1edtu==lntZ01√udu+ 1 =2√u+ 101= 2(√2−1)aE)xPeracrilceec6ha:n[géenmoenncté]lx=2π−ton a
t√lnt+ 1de variab e
cZ)01etd+t1u==etZ1eu(udu+ 1) =Z1e1u−u+11du= [lnu−ln(u+ 1)]1e= ln 2−ln(e+1)+1OrZ0π2ccost+ostsintdt=Z0π2cost+snitsintdt

2cost
Z0πcost+ sintdt+Z0π2cost+nsitsintdt=Z0π2dt=π2

3

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donc
ost=π2sintdt=π
Z0π2cost+cnsitdtZ0cost+ sint4
b) Via le changement de variablet= sinx(avecx∈[0 π2])
π
Z01√1−dtt2+t=Z0π2cosxocs+xsinxdx4=

Exercice 7 :[énoncé]
Par le changement de variablet=a+b−x
Zabxf(x) dx=Zab(a+b−t)f(t) dt
donc
ZbZb

2xf(x) dx= (a+b)f(x) dx
a a

Exercice 8 :[énoncé]
a) Par le changement de variableu=π−t, on obtient
I=Z0πtf(sint) dt=Z0π(π−u)f(sinu) du
et donc
Z Z Z

Corrections

π π π
2I=tf(sint) dt+ (π−u)f(sinu) du=π f(sinu) du
0 0 0
puis l’identité proposée.
b) En observantcos2nx= (1−sin2x)n, on peut appliquer la relation précédente
)
In=2πZ0πsin2n(sx)ni2+nc(xos2n(x) dx

En coupant l’intégrale enπ2
ππ2sin2n(x)
In2="Z0sin2n(x) + cos2n(x) dx+Zππ2sin2ns(xin)2+n(cxso)2n(x) dx#

En procédant au changement de variabley=π−xdans la seconde intégrale
In=πZ0π2sin2n(sxni)2+n(cx)os2n(x) dx

Enfin, en procédant au changement de variabley=π2−x, on observe
π
In=πZ02sin2n(cx)so2+nc(xos)2n(x) dx

et on en déduit
πZ"0sin2n(x) + cos2n(x) dx+Z0π2sin2nc(xos)2+n(cxos)2n(x) dx#=
2In=π2sin2n(x)

Finalement

In=π42

Exercice 9 :[énoncé]
a) L’étude des variations deϕ:x7→3x2−2x3est facile et l’on obtient

x−12
ϕ(x) 1

0 1
&0%1&

32
0

b) On remarque
ϕ2+si1= 1 1
nt 32 + 2 sint
car il est connu quesin 3a sin= 3a−4 sin3a.
On a alors
Z01f(3x2−2x3) dxx=12=+sintZ−ππ66f31+21nis2tcostdt

et
1 1
Z−1322f(3x2−2x3) dxx=12=+sintZ−ππ22f 32 + 2 sintcostdt
Par le changement de variableu= 3t,
Z10f(3x2−2x3) dx=13Z−ππ22f12nis21+ucosudu
3

et

3 2
Z−1322f(3x2−2x3) dx=31Z−3ππ2f2sin12+1u3scoudu

π2
2

4

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Corrections

En découpant cette dernière intégrale en trois et en procédant aux changements
de variables affinesv=−π−u,v=uetv=π−u, on obtient
Z−1322f(3x2−2x3) dx3=1Z−ππ22fnis21+21v cosv3+π3sco+v+ cosv3−πd

Enfin, en développant
2π2
Z−1322f(3x2−2x3) dx3Zπ2fn21is1+2vcosv3 dv
=

puis la relation demandée.

Exercice 10 :[énoncé]
a) Par parité de la fonction intégrée, on a

I(−b−a) =I(a b)

Par le changement de variableu= 1t, on obtient
b−dt
I(1a1b) =Za1 +t12−qt121 +t14t2I(a b)
=
1

En particulier

alors que par échange des b

I(1a a) =I(a1a)
ornes

I(1a a) =−I(a1a)

On en déduit
I(1a a) = 0
b) En procédant aux changements de variable proposés
−dv(b2+1)dt
I(a b) =Zab+1b√v2−=Zb
+1av2a(a2+1)√1−2t2

et donc
I(a b) =√12harcsin√2tiba((ba22)1+1)+
c) Le changement de variablev=x+ 1xn’est pas bijectif quandxparcourt
]0+∞[mais dans les calculs précédents, il était possible de l’exploiter sans
exprimerxen fonction dev. L’hypothèse >a b1n’a donc pas été utilisée dans
l’étude qui précède et donc le résultat proposé se généralise immédiatement.

v

5

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