Sujet : Analyse, Nombres réels, Equations et systèmes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Equations et systèmes Exercice 1 [ 02115 ] [correction] Résoudre les équations suivantes d’inconnue x∈R : ?

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Equations et systèmes

Exercice 1[ 02115 ][correction]
Résoudre les équations suivantes d’inconnuex∈R:

a)x= 2x−1 [1]

b)3x= 2−x[π]

c)nx= 0

[π](avecn∈N

?)

Exercice 2[ 02116 ][correction]
Observer quex=3p20 + 14√2 +3p20−14√2est solution d’une équation de la
formex3=αx+βavecα β∈R. Résoudre cette dernière et déterminerx.

Exercice 3[ 02117 ][correction]
Résoudre les systèmes d’inconnue(x y)∈R2:
a)(xx22++2xyy20==1b)(x22x+yy211==

c)(xy22==y
x

Exercice 4[ 02118 ][correction]
Résoudre les systèmes suivants d’inconnue(x y z)∈R3:
a) b)x−y+ 2z= 2c
xx+−x2yzyy+−=zz1=0=2x+ 2y−z= 1)x2xx−+−yyy3+++zzz=2==13
3x−y+z= 3

Exercice 5[ 02119 ][correction]
Résoudre le système
x−ay+z= 2
x+ (a+ 1)z= 3
x+ay+ 3z= 4

d’inconnue(x y z)∈R3,adésignant un paramètre réel.

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)x= 2x−1 [1]⇔ −x=−1 [1]⇔x= 1 [1],S=Z.
b)3x= 2−x[π]⇔4x [= 2π]⇔x=214π,S=kπ4+2k∈Z.
c)nx= 0 [π]⇔x= 0πn,S=πknk∈Z.

Exercice 2 :[énoncé]
x3= 6x+ 40.4est solution apparente de cette équation.
x36x−40 = (x−4)(x2+ 4x+ 10)

Les solutions de l’équation sont4−2 +i√6−2−i√6. On conclutx= 4.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Si(x y)est solution alors(2)⇒x(x+y) = 0doncx= 0ouy=−x.
Six= 0alors(1)donney=±1√2.
Siy=−xalors(1)donnex=±1√3.
Inversement : ok
Finalement :S=(01√2)(0−1√2)(1√3−1√3)(−1√31√3).
b) Si(x y)est solution alors(1)−(2)donne(x−y)2= 0d’oùx=ypuis(1)
donnex=y=±√21.
Inversement : ok. FinalementS=(1√21√2)(−1√2−1√2).
c) Si(x y)est solution alors(1)et(2)donnentx4=xd’oùx= 0oux= 1.
Six= 0alorsy= 0. Six= 1alorsy= 1.
Inversement : ok. FinalementS={(00)(11)}.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Si(x y z)est solution alors(3)donnex= 0 y= 0ouz= 0.
Six= 0alorsy= 3 z= 5. Siy= 0alorsx=23 z=21. Siz= 0alors
x=53 y=−31.(23021)(53−130).
Inversement : ok. FinalementS= (035)
b)S=899497. c)S=34581.

8

Exercice 5 :[énoncé]
On a
x−
x++(yayaa+1)+3+zzz=34==2⇔xa−aayy++zay+zz=121==⇔x(a−1ay−+aya+)zzz=20==1
x

Corrections

Sia= 1alors le système a pour solution les triplets

(3−2z1−z z)avecz∈R

Sia6= 1alors le système équivaut à
x−ay= 2
ay= 1
z= 0

Sia= 0, il n’y a pas de solutions.
Sia6= 01alors le système possède pour solution l’unique le triplet

(31a0)

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