Sujet : Analyse, Nombres réels, Nombres réels

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Nombres réels Exercice 1 [ 02098 ] [correction] Soit a∈[1,+∞[.

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Nombres réels

Exercice 1[ 02098 ][correction]
Soita∈[1+∞[. Simplifier
q

a+ 2√a−1 +q

Exercice 2[ 02099 ][correction]
Soitf:R→Rune application telle que :
1))2∀∀((xyyx))∈∈RR22ff((xx

3)

a−

2√a−1

+y) =f(x) +f(y)
y) =f(x)f(y)
∃x∈R f(x)6= 0

a) Calculerf(0),f(1)etf(−1).
b) Déterminerf(x)pourx∈Zpuis pourx∈Q.
c) Démontrer que∀x>0 f(x)>0. En déduire quefest croissante.
d) Conclure quef=IdR.

Exercice 3[ 03404 ][correction]
Soientn∈N?etx1     xn∈R. On suppose

n n
Xxk=Xx2=n
k
k=1k=1

Montrer que pour toutk∈ {1     n},xk= 1.

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Posons
x=qa+ 2√a−1 +qa−2√a−1

On a
x2= 2a+ 2pa2−4(a−1) = 2a+ 2p(a−2)2
Sia∈[12]alorsx2= 2a+ 2(2−a) = 4doncx= 2.
Sia∈[2+∞[alorsx2= 4(a−1)puisx= 2√a−1.

Exercice 2 :[énoncé]
a)f(0) =f(0 + 0) =f(0) +f(0)doncf(0) = 0.

∀x∈R f(x) =f(1x) =f(1)f(x)

Commefest non nulle, on af(1) = 1.
f(1) +f(−1) =f(0) = 0doncf(−1) =−1.
b) Par récurrence surn∈N:f(n) =n. De plus
f(−n) =f((−1)×n) =f(−1)×f(n) =−f(n) =−ndonc

∀x∈Z f(x) =x

x=pave
Pourx∈Q,qcp∈Z q∈N?,

Orf(p) =pet

f(x) =f(p×1q) =f(p)×f(q1)

1 =f(1) =f(q×q1 ) =f(q)×f( 1q) =q×

f( 1q)

doncf(1q) =1q. Par suitef(x) =x.
c)
∀x>0 f(x) =f(√x√x) =f(√x)2>0

Pourx y∈R, six6yalors

f(y) =f(x+y−x) =f(x) +f(y−x)>f(x)

Ainsifest croissante.

Corrections

d) Pourx∈Retn∈N:

Commefest croissante :

E(nx)6 Ex <(nx) + 1
n n

f(E(nnx))6f(x)< f(E(nnx) + 1 )

puis
E(nxn)6f(x)< E(nx) + 1
n
A la limite, quandn→+∞, on obtientx6f(x)6xi.e.f(x) =x. Finalement
f=IdR.

Exercice 3 :[énoncé]
On a
n n n n
X(xk−1)2=Xx2k−2Xxk+X1 = 0
k=1k=1k=1k=1
et puisqu’une somme de quantités positives n’est nulle que si chaque quantité est
nulle, on obtient
∀16k6n xk= 1

2

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