Sujet : Analyse, Nombres réels, Rationnels et irrationnels

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Rationnels et irrationnels Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02647 ] [correction] a) Montrer l’existence et l’unicité des suites d’entiers (a ) et (b ) vérifiantn n∈N n n∈N √ √Exercice 1 [ 02092 ] [correction] n( 2+1) =a +b 2n nMontrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. 2 2b) Calculer a −2b .n n ?c) Montrer que pour tout n∈N, il existe un unique p∈N tel que √ p√nExercice 2 [ 02093 ] [correction] ( 2+1) = p+ p−1√ Montrer que 2 n’est pas un nombre rationnel Exercice 8 [ 01975 ] [correction] Exercice 3 [ 02094 ] [correction] √ [Irrationalité de π] √ 2 ?√ 2 a) Pour a,b∈N , montrer que la fonction polynomialebCalculer 2 . En déduire l’existence d’irrationnels a,b> 0 tels que a soit 1 n nrationnel. P (x) = x (bx−a)n n! et ses dérivées successives prennent en x = 0 des valeurs entières. Exercice 4 [ 02095 ] [correction] b) Etablir la même propriété en x =a/b ?Soit f :Q→Q telle que c) Pour n∈N , on pose Z π I = P (t)sintdt∀x,y∈Q,f(x+y) =f(x)+f(y) n n 0 a) On suppose f constante égale C quelle est la valeur de C? Montrer que I → 0.n On revient au cas général. d) En supposant π =a/b, montrer que I ∈Z. Conclure.n b) Calculer f(0). c) Montrer que∀x∈Q,f(−x) =−f(x). d) Etablir que∀n∈N,∀x∈Q,f(nx) =nf(x) et généraliser cette propriété à Exercice 9 [ 03668 ] [correction] r ?n∈Z. [Irrationalité de e pour r∈Q ] ?e) On pose a =f(1). Montrer que∀x∈Q,f(x) =ax.
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Rationnels et irrationnels

Exercice 1[ 02092 ][correction]
Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un
nombre irrationnel.

Exercice 2[ 02093 ][correction]
Montrer que√2n’est pas un nombre rationnel

Enoncés

Exercice 3[ 02094 ][correction]
Calculer√2√2√2. En déduire l’existence d’irrationnels >a b0tels queabsoit

rationnel.

Exercice 4[ 02095 ][correction]
Soitf:Q→Qtelle que

∀x y∈Q f(x+y) =f(x) +f(y)

a) On supposefconstante égaleCquelle est la valeur deC?
On revient au cas général.
b) Calculerf(0).
c) Montrer que∀x∈Q f(−x) =−f(x).
d) Etablir que∀n∈N∀x∈Q f(nx) =nf(x)et généraliser cette propriété à
n∈Z.
e) On posea=f(1). Montrer que∀x∈Q f(x) =ax.

Exercice 5Centrale MP[ 02472 ][correction]
Montrer que
81413+2r53!13+32−1418r53!13

est un rationnel. On conseille d’effectuer les calculs par ordinateur.

Exercice 6Centrale MP[ 02475 ][correction]
n
Sinest un entier>2, le rationnelHn=P1kpeut-il tre entier ?
k=1

1

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02647 ][correction]
a) Montrer l’existence et l’unicité des suites d’entiers(an)n∈Net(bn)n∈Nvérifiant
(√2 + 1)n=an+bn√2

b) Calculera2n−2b2n.
c) Montrer que pour toutn∈N, il existe un uniquep∈N?tel que
(√2 + 1)n=√p+pp−1

Exercice 8[ 01975 ][correction]
[Irrationalité deπ]
a) Poura b∈N?, montrer que la fonction polynomiale

Pn(x) =n!1xn(bx−a)n

et ses dérivées successives prennent enx= 0des valeurs entières.
b) Etablir la mme propriété enx=ab
c) Pourn∈N?, on pose
In=Z0πPn(t) sintdt
Montrer queIn→0.
d) En supposantπ=ab, montrer queIn∈Z. Conclure.

Exercice 9[ 03668 ][correction]
[Irrationalité deerpourr∈Q?]
a) Poura b∈N?, montrer que la fonction polynomiale

Pn(x) =n!1xn(bx−a)n

et ses dérivées successives prennent enx= 0des valeurs entières.
b) Etablir la mme propriété enx=ab
c) On poser=abet pourn∈N?
In=Z0rPn(t)etdt

Montrer queIn→0.
d) En supposanter=pqavecp q∈N?, montrer queqIn∈Z. Conclure.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitxun rationnel etyun irrationnel.
Par l’absurde : Siz=x+yest rationnel alorsy=z−xest rationnel par
différence de deux nombres rationnels. Oryest irrationnel. Absurde.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Par l’absurde supposons√2∈Q.
On peut alors écrire√2 =pqavecp q∈N?et, quitte à simplifier,petqnon
tous les deux pairs.
On a alors2q2=p2.
pest alors nécessairement pair carp2est pair. Cela permet d’écrirep= 2kavec
k∈Npuisq2= 2k2.
Mais alorsqest pair. Par suitepetqsont tous les deux pairs.
Absurde.

Exercice 3 :[énoncé]

√2√2√2=√22= 2

Si√2√2est rationnel, c’est gagné aveca=b=√2. Sinon, on prenda=√2√2et
b=√2.

Exercice 4 :[énoncé]
a) La relationf(x+y) =f(x) +f(y)avecfconstante égale àCdonne
C=C+Cd’oùC= 0.
b) Pourx=y= 0, la relationf(x+y) =f(x) +f(y)impliquef(0) = 0.
c) Poury=−x, la relationf(x+y) =f(x) +f(y)donne0 =f(−x) +f(x)d’où
f(−x) =−f(x).
d) Par récurrence :
∀n∈N∀x∈Q f(nx) =nf(x)

Pourn∈Z− n=−pavecp∈Net

f(nx) =f(−px) =−f(px) =−pf(x) =nf(x)

e) On peut écrirex=pqavecp∈Zetq∈N?.

or

donc

puis

f(x) =f(p×q =1 )pf( 1q)

1
=
a=f(1) =f(q×q)qf(q)1

f =( 1 )aq
q

a
f(x) =qp=ax

Exercice 5 :[énoncé]
On définit le nombrexétudié
x:=(2/3+41/81*sqrt(5/3))ˆ(1/3)+(2/3-41/81*sqrt(5/3))ˆ(1/3);
Attention à définir les racines cubiques par des exposants13avec parenthèses.
On peut commencer par estimer la valeur cherchée
evalf(x);
Nous allons chercher à éliminer les racines cubiques. Pour cela on calculex3
expand(xˆ3);
Dans l’expression obtenue, on peut faire apparaîtrexpar factorisation du terme
23+41243√151332−34214√1513

Simplifions ce terme
simplify((2/3+41/243*sqrt(15))ˆ(1/3)*
(2/3-41/243*sqrt(15))ˆ(1/3), assume=positive);
On obtient
811486 + 123√1513486−123√1513
Développons selon(a−b)(a+b) =a2−b2
(486ˆ2-123ˆ2*15)ˆ(1/3);
donne 9261. Enfin
ifactor(9261);
permet de conclure que
32+31442√151323−34124√1513727=

2

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Ainsixest solution de l’équation

4 7
x
x393+=

En factorisant le polynôme sous-jacent
factor(xˆ3-7/9*x-4/3);
on obtient
(3x−4)(3x2+ 4x+ 3) = 0

Puisque3x2+ 4x+ 3>0, on peut conclure

x= 43

Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
On définit la suite
H:=n->sum(1/k, k=1..n);
puis on regarde les premiers termes de celle-ci
seq(H(n), n=2..10);
On peut conjecturer queHnest le rapport d’un entier impair par un entier pair.
Ceci assureraHn∈Z.
Démontrons la propriété conjecturée par récurrence forte.
Pourn= 2, c’est immédiat.
Supposons la propriété établie jusqu’au rangn−1>2.
Casnimpair.
On peut écriren= 2k+ 1et puisque par hypothèse de récurrenceHn−1s’écrit
(2p+ 1)2q, on obtientHn=Hn−1+ 1négale au rapport d’un entier impair par
un entier pair.
Casnest pair.
On peut écriren= 2kaveck>2puis

H12Hk 1+ 1
n + 3 += 1∙ ∙ ∙2+k−1

Par hypothèse de récurrence,Hkle rapport d’un entier impair par un entierest
pair, donc21Hkaussi.
De plus, comme entrevu dans l’étude du cas précédent, l’ajout de l’inverse d’un
entier impair conserve la propriété.
AinsiHnest le rapport d’un entier impair par un entier pair.
Récurrence établie.

Exercice 7 :[énoncé]
a) L’existence s’obtient par la formule du binôme de Newton :
an=062Xk6n2kn!2ketbn=062kX+16n2kn+ 1!2k
L’unicité provient de l’irrationalité de√2.
b) Par la formule du binôme de Newton,
(1√−2)n=an√2bn

3

puisq
an2−2bn2= (1 +√2)n(1√−2)n= (−1)n
c) L’unicité est évidente compte tenu de la stricte croissance dep7→ √p+√p−1.
2
Sinest pair alorsa2n= 1 + 2bn2. Pourp=an,
(√2 + 1)n=an+√2bn=√p+pp−1

Sinest impair alors2bn2=an2+ 1. Pourp= 2b2n,
(√2 + 1)n=√2bn+an=√p+pp−1

Exercice 8 :[énoncé]
a) 0 est racine de multipliciténdePndonc

∀ Pm < nn(m)(0) = 0

Le polynômePnest de degré2ndoncPn(m)= 0pour toutm >2net ainsi

∀m >2n Pn(m)(0) = 0

Reste à traiter le casn6m62n.
En développant par la formule du binôme
Pn(x) =k=Xnn!1kn!(−a)n−kbkxn+k
0

PuisquePn(m)(0)est donné par la dérivation du termexm, on obtient
Pn(m)(0) =n1!nm−n!(−a)2n−mbm−n(n+m)!∈Z

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b) On remarque

∀x∈R Pn(ab−x) =Pn(x)

donc
∀m∈N Pn(m)(ab) = (−1)mP(nm)(0)∈Z
c) On a
|In−0|=n1!Z0πtn(bt−a)nsintdt61πn+1(|b|π+|a|)nn−→−+−−∞→0
n!

d) Par l’absurde, supposonsπ=ab.

Corrections

b) On remarque

donc

c) On a

∀x∈R Pn(ab−x) =Pn(x)

∀m∈N P(nm)(ab) = (−1)mP(nm)(0)∈Z

|In−0|=n1!Z0rtn(bt−a)netdt6n!1rn+1(br+a)nn−→−−+−∞→0

d) Par intégration par parties

Par intégration par parties successives
Xm(−In=Pn(t)etZ0rt
0r−P0n(t)etd
In="k=11)k−1sin(t+kπ2)P(nk−1)(t)#π0+ (−1)mZ0πsin(t+mπ2)P(nm)(t)dt
et en répétant l’opération
Donc
r
In="2nkX+2=1(−1)k−1sin(t+kπ2)P(nk−1)(t)#0π=2kn=X12+(−1)ksin(kπ2In="m2X=n0(−1)mPn(m)(t)et#
)(Pn(k−1)(π)+P(nk−1)(0))∈Z0
CommeIn∈ZetIn→0, la suite (In en déduit On) est stationnaire égale à 0.2n
Or sur[0 π]la fonctiont7→Pn(t) sin(t)est continue, positive sans tre nulle etqI0)q
0< πdoncIn>0. Absurde.n=mX=0(−1)mPn(m)(r)p−Pnm(∈Z
Or sur[0 r]la fonctiont7→Pn(t)etest continue, positive sans tre nulle et0< r
Exercice 9 :[énoncé]doncIn>0.
a) 0 est racine de multipliciténdePnAotoNdnoiisncnqsIqnu’→on0en,qIdnéd>ui0mteitqmInéd∈iatZerationalmentl’ir:cdséutaibst’ee.edrlnrpourr∈Q+? {1}.
∀m < n P(m)(0) = 0
n

Le polynômePnest de degré2ndoncPn(m)= 0pour toutm >2net ainsi
∀m >2n Pn(m)(0) = 0

Reste à traiter le casn6m62n. En développant par la formule du binôme
Pn(x) =k=Xn0n!1kn!(−a)n−kbkxn+k

m
PuisqueP(nm)(0)est donné par la dérivation du termex, on obtient
P(nm)(0) =n1!mn−n!(−a)2n−mbm−n(
n+m)!∈Z

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