Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Applications des séries de Fourier

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Applications des séries de Fourier Exercice 4 [ 03099 ] [correction] a) On note g la fonction 2π-périodique définie par Exercice 1 [ 00969 ] [correction] g(t) =π−t sur [0,2π[ Soient f,g :R→C 2π-périodiques, continues et paires. Pour tout x∈R, on pose Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de g. 1+∞ b) Soit f :R→R une fonction continue,C par morceaux et 2π-périodique.Xa (f)a (g)0 0 h(x) = + a (f)a (g)cos(nx)n n Montrer que 2 Z+∞n=1 2πXb (f) 1n = (π−t)f(t)dt n 2πJustifier que h existe, est continue et calculer ses coefficients de Fourier réels. 0n=1 Etablir que c) Etablir que l’identité est encore vraie pour f seulement continue par morceaux. khk 6 2kfk kgk∞ ∞ ∞ Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02886 ] [correction] 1Soit f∈C ([0,π],R) telle queExercice 2 [ 00970 ] [correction] Z πPour θ∈ ]0,π[, calculer de deux manières la partie réelle de 02f(0) =f(π) = 0 et f = 1 !Z +∞ 01 X n i(n+1)θt e dt Montrer qu’il existe une suite réelle (a ) telle quen n>1 0 n=0 +∞ +∞X X2 an2a = et∀x∈ [0,π],f(x) = sin(nx)afin d’en déduire la valeur de n π n+∞X n=1 n=1cosnθ n n=1 Exercice 6 Centrale MP [ 03250 ] [correction] Soit f la somme surC de la série entière XanExercice 3 X MP [ 00418 ] [correction] n z n!α désigne un réel de l’intervalle ]0,π[ et f la fonction 2π périodique définie sur n>0 ]−π,π] par supposée de rayon de convergence R = +∞.
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Applications des séries de Fourier

Enoncés

Exercice 1[ 00969 ][correction]
Soientf g:R→C2π-périodiques, continues et paires. Pour toutx∈R, on pose

Xan
h(x) =a0(f2)a0(g)++∞(f)an(g) cos(nx)
n=1

Justifier quehexiste, est continue et calculer ses coefficients de Fourier réels.
Etablir que
khk∞62kfk∞kgk∞

Exercice 2[ 00970 ][correction]
Pourθ∈]0 π[calculer de deux manières la partie réelle de,
Z01n+=X∞0tnei(n+1)θ!dt

afin d’en déduire la valeur de

+∞snθ
Xcon
n=1

Exercice 3X MP[ 00418 ][correction]
αdésigne un réel de l’intervalle]0 π[etfla fonction2πpériodique définie sur
]−π π]par
f(x) =10nisis|oxn|6α

a) Etudier la série de Fourier defainsi que sa convergence.
b) Que vaut la somme de cette série pourx= 0, pourx=α?
c) Calculer
+∞sin2(nα)
Xn2
n=1
d) Justifier et calculer
Z+∞2

0sitn2tdt

Exercice 4[ 03099 ][correction]
a) On notegla fonction2π-périodique définie par

g(t) =π−tsur[02π[

1

Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques deg.
b) Soitf:R→Rune fonction continue,C1par morceaux et2π-périodique.
Montrer que
π
n+X=∞1bnn(f2)=1πZ2(π−t)f(t) dt
0
c) Etablir que l’identité est encore vraie pourfseulement continue par morceaux.

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02886 ][correction]
Soitf∈ C1([0 π]R)telle que
π
f(0) =f(π) = 0etZ0f02= 1
Montrer qu’il existe une suite réelle(an)n>1telle que
+∞2et∀x∈[0 π] f(x) =+X∞annsin(nx
Xa2n=π)
n=1n=1

Exercice 6Centrale MP[ 03250 ][correction]
Soitfla somme surCde la série entière
Xanzn
n!
n>0

supposée de rayon de convergenceR= +∞.
Pourr>0, on pose
M(r) = sup|f(z)|
|z|=r

et on suppose l’existence de
lnM(r)
`= lim
r→+∞r
a) On suppose que` >1. Montrer la divergence de la sériePan.
b) En utilisant les coefficients de Fourier de l’applicationt7→f(reit), montrer
|an|6M(r)rnn!
c) En déduire que, si` <1, la sériePanconverge.

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Exercice 7Centrale MP[ 03257 ][correction]
fdésigne une fonction réelle continue et2πpériodique surR.
a) Démontrer que la suite de fonction(Fn)n>1définie par
1nZ0n
Fn(x) =f(x+t)f(t) dt

Enoncés

converge vers une fonctionF.
On précisera la définition deFen fonction defainsi que le mode de convergence
de la suite(Fn)n>1
b) Démontrer
kFk∞6F(0)

Exercice 8[ 03493 ][correction]
Démontrer que pour toutx∈R

|sin(x)|= 8+X∞4sinn22(n−x)1
π
n=1

Exercice 9[ 03494 ][correction]
Soitfla fonction2π-périodique définie sur[02π[par

−x
f(x) =π2

a) Calculer les coefficients de Fourier de la fonctiongdéfinie par

b) En déduire la valeur de

g(x) =f(x+ 1)−f(x−1)

n=+X∞1sinnn2

Exercice 10[ 03496 ][correction]
Soitf:R→Cde classeC∞et2π-périodique.
On suppose qu’il existeM∈Rvérifiant

Déterminerf.

∀p∈N∀t∈Rf(p)(t)6M

2

Exercice 11[ 03665 ][correction]
Soitf:R→Cune fonction de classeC2nulle en dehors de[−A A](avecA >0).
On définit la transformée de Fourier defpar
+∞
∀x∈R f(ˆx) =Zf(x)e−ixtdx
−∞
a) Montrer que la fonctionfˆest continue et7→2ˆbornée surR.
quet t f(t)est
b) SoitT >2A. Montrer
+∞
∀x∈[−T 2 T 2] f(x) =T1X∞fˆ2Tπke2ikπxT
k=−

c) En déduire la formule d’inversion de Fourier
∀x∈R f(x21=)πZ−+∞∞fˆ(t)eixtdt

Exercice 12[ 03666 ][correction]
On noteC2π?l’espace vectoriel des fonctions2π-périodiques et continues deR
dansC.
a) Soientfetgdeux éléments deC2π. Montrer que pour toutx∈R
+∞
n=−∞f)cn(g)eZ20πf(x−t)g(t) dt
Xcn(inx=12π
On étudie l’équation différentielle

(E) :y−y00=h

avechune fonction élément deC2π.
b) Montrer que l’équation(E)possède au plus une solution2π-périodique.
c) Déterminer la solution2π-périodique de l’équation
y−y00=epavecep:x7→eipx
d) On cherche à déterminer une fonctiong∈ C2πtelle que, pour toute fonction
h:R→Cde classeC12π-périodique, la fonctionfdéfinie par
∀x∈R f(x=12)πZ20πg(x−t)h(t) dt
soit solution de l’équation différentielle(E).
En supposant l’existence degcalculer ses coefficients de Fourier à l’aide de la,
question précédente.
Conclure alors en utilisant le calcul initial.

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Enoncés

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02888 ][correction]
SoitEl’espace desf∈ C0(RC) 2π-périodiques. On normeEen posant, sif∈E:
kfk= 1π|f|
2πZ02
Sif∈E, soit
Z+∞

G(f) :x∈R7→e−tf(x+t) dt∈C
0
a) Montrer queGest un endomorphisme continu deE.
b) L’endomorphismeGest-il inversible ?
c) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deG.

Exercice 14Centrale MP[ 03611 ][correction]
On noteEl’espace vectoriel des fonctions continues sur[01[, à valeurs réelles et
de carré intégrable sur[01[.
On notekfk2la norme définie par
kfk2=Z01f(t)2dt12
a) Pourn∈Netf∈E, justifier quet7→tnf(t)est intégrable sur[01[.
On note alors
Z1) dt
an(f) =tnf(t
0
b) SoitP∈R[X], montrer que
Z1t) dt+iZ0πP(eiθ)eiθdθ= 0
P(
−1
En déduire que
Z1P(t)2dt61ZπP(eiθ)2dθ

02−π
c) Vérifier que, sif∈E, alors
n n
Xak(Xak(
k=0f)2=Z01k=0f)tk!f(t) dt
En déduire que la sériePak(f)2converge et que l’on a

+∞
Xak(f)26πkfk2
2
k=0

d) On pose, pourf∈E,

( ) =k+X=∞0a2!12
N fk(f)

3

Montrer queNest une norme surE.
e) Montrer queNn’est pas équivalente à la normekk2. On pourra considérer les
fonctionsfpdéfinies, pourp>1par
fp(x) =1√p√xsisixx∈∈]0[11p1p][

Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 15[ 02626 ][correction]
a) Etablir
+nt
Z0∞etsi−1 dt=n+X=∞1n2+11
b) Calculer les coefficients de Fourier réels de la fonction2π-périodique définie par

f(t) =chtpourt∈[−π π]

sachant
Z0πchtcos(nt) dt= (−1)nns2h+π1
c) En déduire la valeur de l’intégrale du a).

Exercice 16Centrale PC[ 02542 ][correction]
Soit l’espace vectoriel complexe

E={f∈ C(R E)∀x∈R f(x+ 2π) =f(x)}

muni de la norme définie en posant pourf∈E:

kfk= sup{|f(u)|u∈R}

Sif∈E, on poseG(f) =gla fonction deRversCdéfinie par
Z+∞
g(x e) =−tf(x+t) dt
0

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a) Montrer queGdéfinit un endomorphisme deE.
b) Déterminer une constanteC >0telle que pour toutf∈E

kG(f)k6Ckfk

Interpréter le résultat.
c) Montrer que sig=G(f)avecf∈Ealorsgest de classeC1surRet vérifie
l’équation

f=g−g0

d) En déduire une relation entre les coefficients de Fouriercn(g)etcn(f)pour
toutn∈Z, préciser la série de Fourier degainsi que son mode de convergence.
e) L’applicationGest-elle injective ? surjective ?
f) Préciser, selon le complexeλ, l’ensemble

={f∈EG(f) =λf}

Enoncés

4

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

Corrections

avec

|εN|=Z10n=+NX∞+1tnei(n+1)θdt=Z1tN+1ei(Nei+θ2)θdtZ10tN+1
01−t6mθ

mθ= min1−teiθt∈[01]>0

Xtnei
Z01n=+∞0(n+1)θdt=n+X=∞0ein(n++11)θ
+∞
Re=Xco
Z10n=+X∞0tnei(n+1)θdt!n=1snθn

+∞+∞+∞où
X|an(f)an(g)|6X|an(f)|2X|an(g)|2<+∞
n=1n=1n=1Ai
nsi
La série servant à définirhs’avère donc normalement convergente d’où l’existence,
la continuité dehet la reconnaissance immédiate de ses coefficients de Fourier.
De plus
puis
21|h(x)|6|a0(f4)a0(g)|+21+X∞|an(f)an(g)|6vtu|a04(f)|221+n+=X∞1|an(f)|2uv|a0(g)|21+∞|an(g)|2
n=1t 24 +nX=1
Finalement
Par l’égalité de Parseval :

12|h(x)|6s12πZ02π|f(t)|2dts21πZ|g(t)|2dt6kfk∞kgk∞
0
et on conclut.Exercice 3 :[énoncé]
a) La fonctionfest paire doncbn= 0etan=2πR0πf(t) cos(nt) dt.
On obtienta0=2παetan=2 sinn(αnπ)pourn∈N?.
Exercice 2 :[énoncé]La série de Fourier est alors
D’une part
α2πXsin(nα)ncos(nt)
t=
Z10n+X=∞0tnei(n+1)θdt=Z101−eitθeiθdZ10e−iθ1−tdtEn vertu du théorème de Dirπic+hlet,nc>e1lle-ci converge en tout point v

n+X=∞1cosnθn=−ln2 sinθ2

5

dt=mθ(N+)21→0

ers la
ce qui justifie l’existence de l’intégrale. On peut alors calculer sa partie réelle régularisée defcar la fonctionfest de classeC1par morceaux.
ReZ01e−iθdt−t=ReZ10|e−eiθθi−−tt|2d!=Z10cosθ−tin2θdt=−ln (2 sin(bPucθ)un)iifP2Los)raqa)euledformrlauelaugé.riermalreaélsugérdeéeisfpedsPrreeaflavte1s’rnuetaplessvcloeanstmienvnett,iceuceocvnteetreegsprend1nc2tte0enpeeuneαpas.tre
t(cosθ−t)2+ s
D’autre part
+X∞ei(n+1)θdt+Z10n=+XN∞1tnei(n+1)θdt12πZ2πf(t)2dt=a420+12n+=X∞1an2
Z01n=0tnei(n+1)θdt=Z10nN=X0tn+On en déduit après calculs

donc

Z10n+X=∞0tnei(n+1)θdt=n=XN0ein(n++11)θ+εN

+∞sin2(nα)α(−α)
X=π
n22
n=1

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Corrections

d) La fonctionϕ:t7→sitn22test intégrable sur]0+∞[car continue, prolongeable
par continuité en 0 et dominée part7→t12en+∞.
En découpant l’intégrale
Z0+∞sitn22tdt=n=+X∞0Zn(nα+1)αsitn22tdt=n+X=∞0Z0αns(in2(nα+αt+)2t)dt

et donc
+
Z0+∞sitn22tdt=n+X=∞0sin2(nα)nX=∞Z0α(insn2α(n+tα+)2t)−(snin2α(n)2α)dt
n2α+
0

On a
ϕ0(t s) = 2ti3nt(tcost−sint)
Puisqueϕ0est continue et puisque

−−−−→
t32ϕ(t)t−→−0−+→0ett32ϕ(t)t→+∞0

il existeM∈R+vérifiant
∀t∈]0+∞[|ϕ0(t)|6t3M2
et en particulier

∀t∈[nα(n+ 1)α]|ϕ0(t)|6(nαM)32
Par l’inégalité des accroissements finis, on a alors
Z0α(snin2α(n+tα)+2t)−(insn2α(n)2α)dt6Z0αt(Mαn)32dt=n√3α2M
puis

n=+X∞0Z0αsin2(nα+t)−(nisn2α(n)2α)dt6M√αn=+X∞1n312=C√α
(nα+t)2

Ainsi
Z0+∞sitn22tdt=π−2α+O(√α)
et quandα→0+, on obtient
in2tdt=π
Z0+∞st22

6

Exercice 4 :[énoncé]
a) En représentant la fonctiong, on peut voit qu’à la valeur en0 [2π]près, cette
fonction est impaire.
Par suite

an(g) = 0etbn(πgZ0π−t) sin(nt) dt= 2n
) = (
b) Puisquefest continue etC1par morceauxfest développable en série de
Fourier et donc
∀t∈[02π] f(t) =a0(2f)++X∞(an(f) cos(nt) +bn(f) sin(nt))
n=1
De plus, il y a convergence normale de cette série de Fourier. On a alors

+∞
∀t∈[02π](π−t)f(t) =a0(2f)(π−t) +X(π−t) (an(f) cos(nt) +bn(f) sin(nt))
n=1
avec convergence normale de la série de fonctions sous-jacente. On peut donc
intégrer terme à terme sur le segment[02π]cette série de fonctions continues et
ainsi obtenir
f)2
21πZ02π(π−t)f(t) dt=a0(4fπ)(π−t) dt+n+X=∞1an2(πZ0π(π−t) cos(nt) dt+bn2(πf)Z02π(π
En reconnaissant les coefficients de Fourier degdéjà calculés
+∞
21πZ20π(π−tn=1
)f(t) dt=Xbnn(f)
c) Par polarisation
Z02πf(t)g(t) dt14=Z20π(f(t) +g(t))2dt−Z2π(t)−g(t))2dt
(f
0
Par la formule de Parseval
21πZ20π(f(t)±g(t))2dt=a0(f4±g)21+2+X∞an(f±g)2+bn(f±g)2
n=1
avecan(f±g) =an(f)±an(g)etbn(f±g) =bn(f)±bn(g).
On en déduit
2πa0(f)a0(g
21πZf(t)g(t) dt=24)1+n+X∞1(an(f)an(g) +bn(f)bn(g))
0=
puis la relation voulue.

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Exercice 5 :[énoncé]
Soitgla fonction impaire2π-périodique obtenue à partir def.
gest continue etC1par morceaux donc développable en série de Fourier.
+∞
Ceci permet d’écrireg(x) =Pbnsin(nx)pourx∈R.
n=1
+∞
En posantan=nbn, on a la relationf(x) =Pannsin(nx)pourx∈[0 π]
n=1
Les coefficients de Fourier deg0se déduisant de ceux degpar intégration par
parties et sachantR02πg02= 2, la formule de Parseval appliquée àg0donne
+∞
Pa2n=π2
.
n=1

Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
a) Par contraposée, supposons la convergence dePan. La suite(an)tend alors
vers 0 et est donc bornée par un certainm∈R+?. On a alors

donc

puis

donc`61.
b) Pour toutr∈R+, on a

+∞| |nme|z|
|f(z)|6mXzn! =
n=0

M(r)6mer

lnM(r)6lnm+r→1
r r

+∞
f(reit) =Xnan!rneint
n=0
Par convergence normale de la série de fonctions sous-jacente
+∞
21πZ02πf(reit)e−intdt=Xakk!rkδkn=ann!rn
k=0

puis
nan!rn612πZ02πf(reit)dt6M(r)
et enfin l’inégalité demandée.

c) Supposons` <1et introduisonsq∈]`1[. Pourrassez grand, on a

et donc

lnM(r)6q
r

M(r)6eqr

7

En prenantr=n, on a pournassez grand
nq
|an|6ennn!√∼2πneeqnn=√2πnαn
avecα= eqevérifiant|α|<1.
Puisque la série de terme général√2πnαnconverge, un argument de comparaison
de série à termes positifs assure l’absolue convergence et donc la convergence de
Pan.

Exercice 7 :[énoncé]
Posonsknla partie entière den2π. On peut écrire
12πkn
nZ0+t)f(t) dt+εn(x)
Fn(x) =f(x
avec
n
)|6n1Z2πknkfk2∞62nπkfk2∞
|εn(x
En introduisant le produit scalaire hermitien usuelle sur l’espace des fonctions
complexes continues2πpériodiques
21πZ20πknf(x+t)f(t) =knhfx|fi

avecfx:t7→f(x+t).
En notant(cn)n∈Zla suite des coefficients de Fourier exponentiels def, celle de
fxestcneinxn∈Zet donc

Posons

+∞
hfx|fi=X|cn|2einx
n=−∞

+∞π
n=X−∞|cn|2einx21=πZ02x+t)f(t)
F(x) =f( dt

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ce qui définit une fonction continue2π-périodique.
On a
(x) = 2nπkn(x) +ε(x)
FnF
et donc
n−2πk

|Fn(x)−F(x)|6nn|F(x)|+|ε(x)|

puis
|Fn(x)−F(x)|62nπkFk∞+ 2nπkfk2∞
Puisque ce majorant ne dépend pas dex,

kFn−Fk∞62πnkFk∞+ 2πnkfk2∞→0

et donc la suite(Fn)n>1converge uniformément versFsurR.
b) On a
+∞+∞
|Fn(x)|6X|cn|2einx=X|cn|2=F(0)
n=−∞n=−∞

donc

kFk∞6F(0)

Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
La fonctionx7→ |sinx|est2π-périodique, continue et de classeC1par morceaux,
elle est donc égale à sa somme de Fourier (qui converge normalement).
Puisque cette fonction est pairebn= 0et
πsinxcos(nx) dx= 1
an=π2Z0πZ0πsin(n+ 1)x−sin(n−1)xdx

donc

ce qui donne

On en déduit

2(1 + (−1)n)
an=−π(n2−1)

4 4
a0=π,a2p=−π(2p2−1)eta2p+1= 0

∀x∈R,|sin(x)|= 2 4+X∞cos(2nx)

π π4n2−1
n=1

Or
cos(2nx) = 1−2 sin2x
et par convergence des séries introduites on obtient

∀x∈R|sin(x)|2 4+∞4n21−81+π+X∞4isnn22(−nx1)
=π−πX
n=1n=1
Enfin, en évaluant cette relation enx= 0, on obtient

et on peut conclure.

+∞
π2−π4X4n21−1 = 0
n=1

8

Exercice 9 :[énoncé]
a) Modifions la valeur defen2kπ(k∈Z) en posantf(2kπ) = 0. La fonction
obtenue est2π-périodique et impaire. On a doncan(f) = 0et par intégration par
parties
π
bn(f) =π2Z0π2−xsin(nx) dx=n1
La fonctiongest paire doncbn(g) = 0et par translation de la variable
πZ02πf(x) cos(n(x−1)) dx−1πZ20πf(x) cos(n(x+ 1)) dx
an(g) = 1
puis en développant les expressions trigonométriques
an(g sin) = 2π(n)Z20πf(x) sin(nx) dx sin(= 2n)bn(f) = 2 sinn(n)
b) Par la formule de Parseval
21πZ2πg(x)2dx a0(g)21n+X∞1an(g)2
0= 4 + 2=

Pourx∈[01[,g(x) =π−1et pourx∈]1 π],g(x) =−1donc

2πZ02g(x)2dx=π1Z0πg(x)2dx=12(π−1)2+ (π−1)=π−1
d’où
+∞i2π−1
Xs nn

=
n2
n=1

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Exercice 10 :[énoncé]
On sait
∀p∈N∀n∈Z cn(f(p)) = (in)pcn(f)

Or

cn(f(p))621πZ02πf(p)(t)dt62πM

Corrections

donc pour toutp∈N
M
|cn(f)|62πnp
on anp−−−−→+∞et on en déduitcn(
Pour|n|>2,p→+∞f) = 0.
Puisquefest au moins de classeC1,fest égale à sa somme de Fourier et donc de
la forme
f(t) =c−1e−it+c0+c1eit

La réciproque est immédiate.

Exercice 11 :[énoncé]
a) Posonsu(x t) =f(x)e−ixtde sorte que
f(x) =Z−+∞∞u(x t) dt
ˆ

La fonctionuest définie et continue surR×Ret

∀(x t)∈R2|u(x t)|=|f(x)|=ϕ(x)

avecϕ:R→R+continue par morceaux et intégrable puisque nulle en dehors de
[−A A].
ˆ
Par domination, on peut affirmer que la fonctionfest continue.
Par deux intégration par parties
t2Z−AAf(x)e−ixtdx=−Z−AAf00(x)e−ixtdx

et donc
t2fˆ(t)6Z−AA|f00(x)|dx=M
˜
b) Considérons la fonctionf,Tpériodique et égale àfsur[−T 2 T 2].

9

˜
La fonctionfest de classeC2et donc sa série de Fourier converge vers elle-mme.
On peut alors écrire

+∞
∀x∈R f(˜x) =Xck(f˜e)2ikπxT
k=−∞
avec
1T
ck(f)=˜TZ−T22f˜(x)e−2ikTπxdx=T1Z−+∞∞f(x)e−2ikTπxdx=T1fˆ2kπT

c) On peut découper l’intégrale convergente
Z−+∞∞fˆ(t)eixtdt=k+X∞∞−Z2(k+1)πTˆ
f(t)eixtdt
= 2kπT

et donc par la relation qui précède
Z−+∞∞fˆ(t)eixtdt−2πf(x) =k=+X−∞∞Z2k2(πk+T1)πTf(ˆt)−fˆ2(kπT)eixtdt

Découpons la somme

+∞N
X  =X  +X  
k=−∞k=−N|k|>N

Puisquefˆ(t)6Mt2, on obtient

|k|X>NZ22k(kπ+T1)πTf(ˆt)−f(ˆ2kπT)eixtd62k=+X∞N2πT(2k2MTπ)2= 2πTMk+=X∞Nk1262M
tπ(N

ˆ
Commefest continue surRet tend vers 0 en±∞, cette fonction est
uniformément continue.
Soitε >0, il existeη >0tel que

ˆ ˆ
∀t s∈R|t−s|6η⇒f(t)−f(s)6ε

et alors si2πT6η, on a
)πT
k=XN−NZ2k2(πk+T1f(ˆt)−fˆ(2kπT)eixtdt6ε(2N+ 1) 2πT

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

puis
Z+∞fˆ(t)eixtdt−2πf( )6ε(2N 2+ 1)π4M T
−∞xT+πN
Considérons alorsT=√εNet pourNassez grand,2πT6ηet l’on obtient
Z−+∞∞f(ˆt)eixtdt−2πf(x)6√ε(2NN+ 1) 2π+√ε4M6C√ε
π
Ceci valant pour toutε >0, on peut conclure. . .

Corrections

Exercice 12 :[énoncé]
a) Soitx∈R. Notonsfxla fonction définie parfx(t) =f(x−t).
Par changement de variableu=x−tet la2π-périodicité on obtient
cn(fx1)2=Z02πf(x−t)e−intdt21=πZ02πf(t)e−in(x−t)dt= e−inxcn(f)
π

Par calcul du produit scalaire dansC2πvia les coefficients de Fourier

1fx(t)g(t)
2πZ0dt=n+=X∞∞−cn(fx)cn(g) =n+=X∞−∞cn(f)cn(g)einx

b) Soienty1une solution2π-périodique de l’équation(E), s’il en existe.
Les autres solutions de(E)sont de la forme

y(x) =y1(x) +λex+µe−xavecλ µ∈C

Si une telle fonction est2π-périodique, elle est nécessairement bornée et donc
λ=µ= 0, d’où l’unicité.
c) Puisque(ep)00=−p2ep, la fonction donnée par

y(x) =p21e1+ipx

est solution de l’équationy−y00=ep.
d) Sigest solution alors pourh=ep, on obtient
p21e+1ipx12=πZ02πg(x−t)eiptdt21=πZ02π)eip(x−t)dt
g(t

On obtient donc

cp(g12)=πZ20πg(t)e−iptdt=p211+

Suite à cette analyse, considérons la fonctiong:R→Cdéfinie par

+∞1
g(t) =X2+ 1 eipt
n=−∞p

10

On vérifie aisément par convergence normale quegest continue,2π-périodique et

1ip
∀p∈Z cp(g) =p2 e+ 1t

Considérons ensuite la fonctionfdéfinie par

f(x12)=Zg(x−t)h(t) dt
π0
Par les calculs initiaux


f(x) =+X∞cn(g)cn(h)einx=+Xcn2n(+h)e1inx
n=−∞n=−∞
Comme la fonctionhest de classeC1, elle est égale à sa somme de Fourier et, plus
précisément, les termescn(h)sont sommables. On peut alors démontrer par
convergence normale que la fonctionfest de classeC2avec

de sorte que

n2cn
+∞−(he)inx
f00(x) =Xn2+ 1
n=−∞

+∞
f(x)−f00(x) =Xcn(h)einx=h(x)
n=−∞

Exercice 13 :[énoncé]
a) On observe que|e−tf(x+t)|6kfk∞e−t. Cette domination permet d’affirmer
queG(f)est définie et continue surR. La2π-périodicité deG(f)est évidente et
la linéarité de l’applicationf7→G(f)l’est aussi. AinsiGest un endomorphisme
deE. De plus,
21πZ02π|G(f)|621πZ02πZ0+∞e−t|f(x+t)|dtdx
On peut appliquer le théorème de Fubini et affirmer
21πZ20π|G(f)|621πZ+0∞e−tZ2π|f(x+t)|dxdt
0

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