Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Coefficients de Fourier

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Coefficients

de

Fourier

Exercice 1[ 03492 ][correction]
Soitf:R→Cune fonction continue par morceauxπ-périodique.
On notean(f)etbn(f)les coefficients de Fourier defcomprise comme une
fonction2π-périodique.
Montrer que
∀n∈N a2n+1(f) =b2n+1(f) = 0

Exercice 2[ 00950 ][correction]
Soitf:R→Ccontinue et2π-périodique.
Montrer quefest constante si, et seulement si,

∀n∈Z?,cn(f) = 0

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On a
a2n+1(f) =π1Z−ππf(t) cos((2n+ 1)t) dt
En coupant l’intégrale en 0 et en procédant à une translation
π
a2n+1(f 1) =Zf(t) (cos((2n+ 1)t) + cos((2n+ 1)(t+π))) dt
π0

car la fonctionfestπ-périodique.
Puisque
cos((2n+ 1)t) + cos((2n+ 1)(t+π)) = 0

on peut conclure

On montre de mme

Exercice 2 :[énoncé]
(⇒) immédiat par calcul.
(⇐) Si

a2n+1(f) = 0

b2n+1(f) = 0

∀n∈Z?,cn(f) = 0

Corrections

alors la série de Fourier defest uniformément convergente et puisqu’elle converge
en norme quadratique versf, la limite uniforme de la série de Fourier defne
peut tre quef.
Ainsi la fonctionfest constante.

2

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