Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Comportement asymptotique des coefficients de Fourier

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Comportement asymptotique des coefficients de a) Justifier que f est continue b) Pour a∈R et n∈Z, exprimer en fonction de c (f) la valeur denFourier Z 2π −intf(t+a)e dtExercice 1 [ 00946 ] [correction] 0 Soit f :R→C une fonction 2π périodique et continue par morceaux.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Comportement
Fourier

asymptotique

des

coefficients

Exercice 1[ 00946 ][correction]
Soitf:R→Cune fonction2πpériodique et continue par morceaux.
Montrer la convergence de la série

X|cn(fn)|

Exercice 2[ 00947 ][correction]
Soitf:R→Cune fonction2π-périodique continue.
a) Montrer que sifde classeC1alors

cn(f) =o(1n)quand|n| →+∞

b) Inversement établir que s’il existeα >2tel que

cn(f) =O(1|n|α)quand|n| →+∞

alorsfsa somme de Fourier et est une fonction de classeest égale à C1.

Exercice 3[ 00948 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction2π-périodique continue.
a) Montrer que sifest de classeCpalors

c|n|(f) =o(1np)quandn→+∞

b) Inversement justifier que si
c|n|(f) =O1np+2quandn→+∞

alorsfest de classeCp.

Exercice 4[ 00949 ][correction]
Soitf:R→C2πpériodique.
On suppose qu’il existeα >0etM∈R+vérifiant

∀x y∈R|f(x)−f(y)|6M|x−y|α

Enoncés

de

a) Justifier quefest continue
b) Poura∈Retn∈Z, exprimer en fonction decn(f)la valeur de
Z2π
f(t+a)e−intdt
0

c) Montrer qu’il existeµ∈R+vérifiant

∀n∈Z|cn(f)|6|nµ|α

1

d) On supposeα >1. Montrer que la série de Fourier defconverge uniformément
versf.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Par Cauchy-Schwarz :
N
n=1(fn)|!26NnX=1|cn(f)|2Nn=X1πZ20π|f(t)|2dt×π62
X|cnn12621

ce qui permet de conclure.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a) On saitcn(f0) =incn(f)etcn(f0)→0donccn(f) =o(1n).
b) On a
n n
Sn(f) =c0e0+Xckek+Xc−ke−k
k=1k=1
avecek:t7→eiktvérifiantkekk∞= 1.
Puisque les sériesP|cn|etP|c−n|convergent, on établit la convergence normale
des séries de fonctionsPcnenetPc−ne−n.
Ainsi la suite(Sn(f))des sommes partielles de Fourier converge uniformément sur
R. NotonsS(f)sa limite.
Puisquekk26kk∞, la convergence de(Sn(f))versS(f)pourkk∞entraîne
aussi cette convergence pourkk2.
Or il est connu(Sn(f))converge versfpour la normekk2et donc par unicité de
limiteS(f) =f.
Puisque les fonctionsensont de classeC1et vérifient

kcne0nk∞=|n| |cn|

on peut par convergence normale affirmer que la fonctionS(f) =fest de
classeC1.

Exercice 3 :[énoncé]
a) On a saitcn(f(p)) = (in)pcn(f)etc|n|(f(p))→0car les coefficients de Fourier
d’une fonction continue par morceaux tendent vers 0.
On en déduitc|n|(f) =o(1np)
b) La série de Fourier def, ainsi que ses dérivées jusqu’à l’ordrepconverge
uniformément surR, donc la somme de la série de Fourier defest de classeCpet
de plus elle est égale àfcar elle converge aussi quadratiquement vers la fonction
continuef.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Soitx∈R. Quandy→x, on a

doncf(y)→f(x).
b) On a

|f(x)−f(y)|6M|x−y|α→0

2π
cn(f21=)πZ0intdt
−
f(t)e

Par2π-périodicité,
cn(f) = 1+a)dt= e−ina2πf(t+a)e−intdt
2πZ02πf(t+a)e−in(t2πZ0

c) Pour touta∈R,
)=21πZ2tπindt
(1−eina)cn(f(f(t)−f(t+a)) e−
0

Pouratel quena=π,
2cn(f=)21πZ20π(f(t)−f(t+πn)) e−intdt

En exploitant l’inégalité proposée en hypothèse

2|cn(f)|6M παα
n

2

puis|cn(f)|6µnαavecµ=21M πα.
d) Puisque les sériesP|cn(f)|etP|c−n(f)|convergent, il y a convergence
normale et donc convergence uniforme des séries de fonctionsPcn(f)eint
etPc−n(f)e−inten déduit qu’il y a convergence uniforme de la série de. On
Fourier defvers une certaine fonctionS(f). Or puisque la fonctionfest
continue, il y aussi convergence quadratique de la série de Fourier versf. Mais la
convergence uniforme entraînant la convergence quadratique, l’unicité de la limite
donneS(f) =f.

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