Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Séries de Fourier et équations différentielles

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Séries de Fourier et équations différentielles Exercice 1 [ 00967 ] [correction] Déterminer les solutions 2π périodiques de l’équation différentielle 00 ity +e y = 0 Exercice 2 CCP MP [ 03331 ] [correction] Soit α∈C\iZ et f continue surR à valeurs dansC et 2π-périodique. Soit y solution de l’équation 0y +αy =f a) Montrer que y est de la forme Z x −αx αty(x) = e y(0)+ f(t)e dt 0 b) Montrer que y est 2π-périodique si, et seulement si, y(0) =y(2π) (on pourra utiliser que z(x) =y(x+2π) est solution de l’équation différentielle). c) En déduire qu’il existe une unique fonction φ, 2π-périodique solution de l’équation différentielle. d) Montrer que φ admet un développement en série de Fourier et l’exprimer en fonction des coefficients complexes de f. Exercice 3 [ 03327 ] [correction] Soit f :R→C 2π-périodique dérivable telle qu’il existe λ∈R vérifiant 0∀t∈R,f (t) =f(t+λ) (*) a) Montrer inλ∀n∈Z,(in−e )c (f) = 0n b) Pour quel(s) λ∈R existe-t-il des fonctions 2π-périodiques, autres que la fonction nulle, vérifiant (*)? Exercice 4 X MP [ 03439 ] [correction] On considère la fonction f :R→C 2π-périodique donnée par ix f(x) = sur ]−π,0[∪]0,π[, f(0) = 1 et f(π) = 0 ixe −1 Développer f en série de Fourier. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 1Corrections d) Cette solution est de classeC donc développable en série de Fourier.
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Séries de Fourier et équations différentielles

Exercice 1[ 00967 ][correction]
Déterminer les solutions2πpériodiques de l’équation différentielle

y00+ eity= 0

Exercice 2CCP MP[ 03331 ][correction]
Soitα∈CiZetfcontinue surRà valeurs dansCet2π-périodique.

Soitysolution de l’équation
y0+αy=f
a) Montrer queyest de la forme
y(x) = e−αxy(0) +Z0xf(t)eαtdt

b) Montrer queyest2π-périodique si, et seulement si,y(0) =y(2π)(on pourra
utiliser quez(x) =y(x+ 2π)est solution de l’équation différentielle).
c) En déduire qu’il existe une unique fonctionφ,2π-périodique solution de
l’équation différentielle.
d) Montrer queφadmet un développement en série de Fourier et l’exprimer en
fonction des coefficients complexes def.

Exercice 3[ 03327 ][correction]
Soitf:R→C2π-périodique dérivable telle qu’il existeλ∈Rvérifiant

∀t∈R f0(t) =f(t+λ)(*)

a) Montrer
∀n∈Z(in−einλ)cn(f) = 0
b) Pour quel(s)λ∈Rexiste-t-il des fonctions2π-périodiques, autres que la
fonction nulle, vérifiant (*) ?

Exercice 4X MP[ 03439 ][correction]
On considère la fonctionf:R→C2π-périodique donnée par

f(x) = eixix−1sur]−π0[∪]0 π[,f(0) = 1etf(π) = 0
Développerfen série de Fourier.

Enoncés

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Une telle fonctionfest nécessairement de classeC∞et donc égale à la somme de
sa série de Fourier. On peut donc écrire

+∞
f(t) =Xcneint
n=−∞

Puisquecn(f0) =incn(f), la satisfaction de l’équation différentielle donne

n2cn(f) =cn−1(f)

On en déduitcn= 0pour toutn <0etcn=c0(n!)2pour toutn∈N.
Inversement, les coefficients proposés définissent une fonction qu’on vérifie tre de
classeC2(par un argument de convergence normale) et par calcul on vérifie que
celle-ci est solution de l’équation différentielle.

Exercice 2 :[énoncé]
a) On vérifie que
˜−αxy(0) +Z0xf(t)eαtdt
y:x7→e
est solution de l’équation différentielle et vérifiey˜(0) =y(0)donc par le théorème
de Cauchy,y˜ =y.
b) Siyest2π-périodique alorsy(0) =y(2π).
Inversement, siy(0) =y(2π)alorsz:x7→y(x+ 2π)est solution de l’équation
différentielle et vérifiez(0) =y(0)doncz=y.
Par suiteyest2π-périodique si, et seulement si,y(0) =y(2π)i.e.
π
y(0)(e2πα−1) =Z2f(t)eαtdt
0

avece2πα−16= 0.
c) Par suite, il existe une unique solutionφ2π-périodique à l’équation
différentielle, solution déterminée par
φ(0) = e2πα1−1Z02πf(t)eαtdt

(avece2πα6= 1carα ∈iZ).

d) Cette solution est de classeC1donc développable en série de Fourier.

avec

et

donc

+∞
φ(x) =Xcneinx
n=−∞

cn=cn(φ 1) =α cn(f−φ0) = 1α(cn(f)−cn(φ0))

cn(φ0) =incn(φ)

Exercice 3 :[énoncé]
a) On a par intégration par parties

c cn(f)
n=
in+α

cn(f0) =incn(f)

et
cn(f0)1=2Z2πf(t+λ)e−intdt=12πeinλZ2πf(t+λ)e−in(t+λ)dt= einλcn(f)
π
On en déduit la relation proposée.
b) Si l’égalité
in= einλ

est vérifiée alors nécessairement|n|= 1et alors
eiλ=i
Si la conditioneiλ=in’est pas vérifiée alors la propriété

∀n∈Z(in−einλ)cn(f) = 0

2

entraîne
∀n∈Z cn(f) = 0
et doncfformule de Parseval ou parce queest la fonction nulle (en vertu de la f
est de classeC1donc développable en série de Fourier. . . )
Inversement, sieiλ=ialors les fonctions

f(t) =αeit+βe−it

vérifient la relation (*) (et ce sont les seules) et parmi celles-ci figurent des
fonctions non nulles.

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On en déduit qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe des
fonctions2π-périodiques non nulles vérifiant (*) est queeiλ=ii.e.

λ π+ 2πZ
∈2

Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
La fonctionfest de classeC1par morceaux et régularisée donc développable en
série de Fourier.
Puisque sur(eix−1)f(x) =ix, on a sur]−π π[

(eix−1)f0(x) +ieixf(x) =i

donc
cn−1(f0)−cn(f0) +icn−1(f) =iδ0n
Par intégration par parties (avec icif(π−)6=f(−π+))

ce qui donne

n+1

cn(f0) =i()1+2incn(f)

(−1)n+n(cn−1(f)−cn(f)) =δ0n

Pourn >0, on obtient

(−1)nc0(f) +Xn(−1)k
cn(f) =cn−1(f) +n=k
k=1

Orcn(f)→0doncc0(f 2) = lnpuis, pourn>0,

cn(f) =
k

De façon analogue, pourn >0

+X∞(−1k)k−1
=n+1

+−1
c−n(f) =X∞(−1k)k
k=n

3

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